Isomorfi


Et eksempel på to isomorfe grafer. Isomorfi forbinder hjørner af en graf med hjørner af en anden graf af samme farve: to hjørner er forbundet med en kant i en graf, hvis og kun hvis hjørner af samme farver er forbundet med en kant i en anden graf.

Isomorfisme (fra andre græske ἴσος - lige, identiske, lignende og μορφή - form) - forholdet mellem matematiske objekter, der udtrykker almenheden af deres struktur; bruges i forskellige grene af matematikken og i hver af dem bestemmes afhængigt af de strukturelle egenskaber af de undersøgte objekter. Normalt er isomorfisme defineret for sæt udstyret med en vis struktur , for eksempel for grupper , ringe , lineære rum ; i dette tilfælde er det defineret som en inverterbar mapping ( bijektion ) mellem to sæt med en struktur, der bevarer denne struktur, dvs. viser, at objekterne er "tilsvarende konstrueret" i betydningen af denne struktur. Hvis der er en isomorfi mellem objekter, så siges de at være isomorfe . En isomorfisme definerer altid et ækvivalensforhold på klassen af sådanne strukturer.

For eksempel kaldes to grafer isomorfe, hvis der er en isomorfi mellem dem: det vil sige, at hjørnerne på en graf kan associeres med hjørnerne på en anden graf, så de forbundne spidser i den første graf svarer til de forbundne spidser i den første graf. anden graf og omvendt. Med andre ord er to grafer isomorfe, hvis de er "det samme" (op til omdøbning af vertex).

Et andet klassisk eksempel på isomorfe systemer er mængden af alle reelle tal med additionsoperationen defineret på den, og sættet af positive reelle tal med multiplikationsoperationen defineret på den. Kortlægningen i dette tilfælde er en isomorfi. $\mathbb {R}$ ${\mathbb R}_{+}$ $x\mapsto\exp(x)$

Begrebet isomorfisme opstod i matematik i forhold til grupper , efterfølgende overført til andre klasser af objekter.

Generel algebra

Generelt algebra er en isomorfisme en invertibel kortlægning, der er en homomorfisme .

For eksempel kaldes for grupper og en bijektion en isomorfi, hvis . Hvis grupperne er topologiske , så tilføjes tilstanden for homeomorfisme for de tilsvarende topologiske rum [1] . $G$ $H$ $f\colon G\to H$ $a,\;b\i G$ $f(a)f(b)=f(ab)$

For felter og en bijektion kaldes en isomorfi , hvis den bevarer begge feltoperationer, det vil sige for enhver den har: $F_{1}$ $F_{2}$ ${\displaystyle f\colon F_{1}\to F_{2))$ $a,b\in F_{1}$

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ .

For eksempel er kvotientringen for en polynomialring med reelle koefficienter modulo polynomiet et felt, der er isomorft [2] til feltet af komplekse tal : $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb {C}$

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

For felter med yderligere struktur ( ordnede , topologiske felter ) kan der tilføjes en betingelse om, at bijektionen også bevarer disse yderligere strukturer.

Den mest generelle definition af isomorfisme er i kategoriteori : objekter i en kategori er isomorfe, hvis der er en invertibel morfisme mellem dem, det vil sige en morfisme, for hvilken der eksisterer en morfisme , således at sammensætningerne og er identiske morfismer. Definitionerne af kategorien af grupper, kategorien af ringe, kategorien af vektorrum og andre strukturer er konstrueret på en sådan måde, at de klassiske definitioner af isomorfi af grupper, ringe, vektorrum falder sammen med den generelle definition af isomorfi i en kategori . Samtidig introduceres også begrebet kategori isomorfisme , det vil sige en en-til-en-korrespondance mellem kategorier med inverterbare funktorer. $\varphi$ $\varphi ^{{-1}}$ $\varphi ^{{-1}}\circ \varphi$ $\varphi \circ \varphi ^{{-1}}$

Mængde teori

I mængdeteori er enhver bijektion en isomorfi.

For eksempel er to delvist ordnede sæt isomorfe, hvis der er en ordensbevarende bijektion mellem dem [3] .

Lineære mellemrum

To lineære rum og over det samme felt kaldes isomorfe , hvis det er muligt at etablere en en-til-en overensstemmelse mellem vektorerne og på en sådan måde, at betingelserne [4] er opfyldt : $V'(F)$ $V''(F)$ $F$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

hvis vektor svarer til vektor , og vektor svarer til vektor , så svarer vektor til vektor . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
hvis en vektor svarer til en vektor og er et element i feltet , så svarer vektoren til en vektor . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Normerede mellemrum

For normerede rum kaldes en kortlægning fra den ene af dem til den anden en normeret rumisomorfi , hvis den er lineær , kontinuert og bijektiv , og den inverse mapping også er kontinuert. I denne forstand bevarer en isomorfisme den lineære rumstruktur og topologi , men bevarer ikke nødvendigvis normen. Hvis en isomorfi også bevarer normen, så kaldes den en isometrisk isomorfi eller en isometri [5] .

Grafteori

En graf kaldes isomorf i forhold til en graf, hvis der er en bijektion fra sættet af toppunkter i grafen til sættet af toppunkter i grafen , som har følgende egenskab: hvis grafen har en kant fra toppunkt til toppunkt , så grafen skal have en kant fra toppunkt til toppunkt og omvendt - hvis grafen har en kant fra toppunkt til toppunkt , så skal grafen have en kant fra toppunkt til toppunkt . I tilfælde af en rettet graf skal denne bijektion også bevare kantens orientering. I tilfælde af en vægtet graf skal bijektionen også bevare kantens vægt. $G$ $H$ $f$ $G$ $H$ $G$ $EN$ $B$ $H$ $f(A)$ $f(B)$ $H$ $EN$ $B$ $G$ $f^{-1}(A)$ $f^{-1}(B)$

I teorien om beregningsmæssig kompleksitet er spørgsmålet om kompleksiteten af grafisomorfiproblemet stadig åbent . I øjeblikket er hverken dets medlemskab af klassen $P$ eller dets fuldstændighed bevist . $NP$

Relaterede definitioner

En isomorfi af et algebraisk system på sig selv kaldes en automorfi . Sættet af alle automorfier af et eller andet algebraisk system med kompositionsoperationen og identitetskortlægningen som et neutralt element danner en gruppe . Automorfigruppen i et algebraisk system er betegnet med . Det enkleste eksempel på automorfi er en sæt automorfi , det vil sige en permutation af elementerne i dette sæt. $K$ $\operatørnavn {Aut}K$

Ethvert element i gruppen definerer følgende automorfi, som kaldes indre automorfi : hvert element i gruppen er forbundet med dets konjugerede element : $g$ $x$ ${\displaystyle gxg^{-1))$

{\displaystyle f(x)=gxg^{-1))

Isomorfi-sætninger

Isomorfismesætninger i algebra er en række sætninger , der relaterer til begreberne faktor , homomorfi og indlejret objekt . Udtalelsen af sætningerne er en isomorfi af nogle par af grupper , ringe , moduler , lineære rum , Lie algebraer eller andre algebraiske strukturer (afhængigt af applikationen). Der er normalt tre isomorfismesætninger , kaldet den første (også den grundlæggende homomorfisætning ) , den anden og den tredje. Selvom sådanne sætninger ganske let følger af definitionen af faktoren, og ingen er særligt krediteret med deres opdagelse, menes det, at Emmy Noether gav de mest generelle formuleringer .

Noter

↑ L. S. Pontryagin Kontinuerlige grupper. S. 392
↑ Faddeev D.K. Forelæsninger om algebra. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 s.
↑ Vereshchagin N. K., Shen A. Forelæsninger om matematisk logik og teorien om algoritmer. Del 1. Begyndelse af mængdelære. side 48
↑ Shilov G. E. Introduktion til teorien om lineære rum. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - s. 70
↑ Pyotr Borodin, A. Savchuk, I. Sheipak. Problemer i funktionsanalyse . - MTSNMO, 2017. - S. 28. - 337 s. — ISBN 9785040485147 .

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. St. Petersborg: Lan, 2004, 624 sider, ISBN 5-8114-0552-9 .
Pontryagin, Lev Semyonovich . Kontinuerlige grupper. — M .: URSS , 2004. — 520 s. — ISBN 5-354-00957-X .
Isomorphism - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . O.A. Ivanova, D.M. Smirnov

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007565408405171 LCCN : sh85068654