Begyndelser (Euklid)

Begyndelser
anden græsk Στοιχεῖα
Venetiansk udgave, 1505
Forfatter	Euklid
Originalsprog	oldgræsk
Original udgivet	3. århundrede f.Kr e.
Tekst i Wikisource
Tekst på et tredjepartswebsted ​(  engelsk  ) Tekst på et tredjepartswebsted ​(  engelsk) Tekst  på et tredjepartswebsted
Mediefiler på Wikimedia Commons

"Begyndelser" ( græsk Στοιχεῖα , lat.  Elementa ) er Euklids hovedværk , skrevet omkring 300 f.Kr. e. og dedikeret til den systematiske konstruktion af geometri og talteori . Det anses for at være toppen af ​​oldtidens matematik , resultatet af dens tre hundrede års udvikling og grundlaget for efterfølgende forskning. Elementerne er sammen med de to værker af Autolycus af Pitana  det ældste af de antikke matematiske værker, der er kommet ned til nutiden; alle værker af Euklids forgængere kendes kun fra referencer og citater fra senere kommentatorer.

"Begyndelser" havde en enorm indflydelse på udviklingen af ​​matematik op til moderne tid , værkets høje intellektuelle niveau og dets grundlæggende betydning for videnskaben som helhed bemærkes af nøglevidenskabsmænd i vor tid [2] . Bogen er blevet oversat til mange sprog i verden, med hensyn til antallet af genoptryk af "Begyndelsen" har de ingen side blandt sekulære bøger.

Historie

Proclus rapporterer (med henvisning til Eudemus ), at lignende skrifter blev skrevet før Euklid: Elementerne blev skrevet af Hippokrates fra Chios , såvel som af platonisterne Leontes og Theeudius . Men disse skrifter gik tilsyneladende tabt i antikken.

Teksten til "Begyndelsen" har været genstand for diskussion i århundreder, og der er skrevet talrige kommentarer til dem. Fra gamle kommentarer er teksten til Proclus [3] bevaret , som er den vigtigste kilde til den græske matematiks historie og metodologi. I den giver Proclus et kort resumé af den græske matematiks historie (det såkaldte "Eudemiske katalog over geometre"), diskuterer forholdet mellem Euklids metode og Aristoteles' logik og fantasiens rolle i beviser. Gamle kommentatorer omfatter Theon af Alexandria , Pappus af Alexandria ; de vigtigste renæssancekommentatorer  er Pierre de la Ramais [4] , Federigo Commandino [5] , Christoph Schlussel (Clavius) [6] og Henry Saville .

Indhold

Planimetri , solid geometri , aritmetik , talteori , Eudoxus- relationer er forklaret i Elementerne . I Heibergs klassiske rekonstruktion består hele værket af 13 bøger. Disse er traditionelt forbundet med to bøger om fem regulære polyedre, der tilskrives Hypsicles of Alexandria og Isidore of Miletus skole .

Præsentationen i Elements er strengt deduktiv . Hver bog begynder med definitioner. I den første bog efterfølges definitioner af aksiomer og postulater. Derefter følger sætninger, som er opdelt i problemer (hvor noget skal bygges) og sætninger (hvor noget skal bevises). Definitioner, aksiomer, postulater og propositioner er nummereret, for eksempel er referencen " I, Definitions, 2 " den anden definition af den første bog. Der er 130 definitioner, 5 postulater, 5 (i form af udgaver - 9) aksiomer, 16 lemmaer og 465 teoremer (inklusive konstruktionsproblemer) i 13 bøger af "Begyndelser" [7] .

Første bog

Den første bog begynder med definitioner, hvoraf de første syv ( I, Definitioner, 1-7 ) lyder:

1. Et punkt er det, der ikke har nogen dele. ( Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν  - lit. "Et punkt er det, hvoraf en del ikke er noget")
2. En linje er længde uden bredde.
3. Kanterne af linjen er prikker.
4. En lige linje er en, der ligger ligeligt på alle sine punkter. ( Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆοια ἑαυτῆοι τ
5. En overflade er den, der kun har længde og bredde.
6. Kanterne på overfladen er linjer.
7. En flad overflade er en, der ligger lige på alle sine linjer.

Renæssancekommentatorer foretrak at sige, at et punkt er et sted uden forlængelse. Moderne forfattere anerkender tværtimod umuligheden af ​​at definere de grundlæggende begreber, i særdeleshed er dette tilgangen i Hilberts Foundations of Geometry [8] .

For definitioner citerer Euklid postulater ( I, Postulater, 1-5 ):

1. En linje kan tegnes fra ethvert punkt til ethvert punkt.
2. En afgrænset linje kan forlænges kontinuerligt langs en lige linje.
3. En cirkel kan beskrives fra ethvert center med en hvilken som helst radius.
4. Alle rette vinkler er ens med hinanden.
5. Hvis en linje, der skærer to linjer, danner indre ensidede vinkler mindre end to linjer, så vil disse to linjer, forlænget på ubestemt tid, mødes på den side, hvor vinklerne er mindre end to linjer.

Det sidste postulat af Euklids aksiomatik - det berømte femte postulat - blandt andre intuitivt åbenlyse postulater, ser fremmed ud. Dens besværlige formulering fremkalder en vis følelse af protest, et ønske om at finde et bevis for det og udelukke det fra listen over aksiomer. Sådanne beviser blev allerede forsøgt i oldtiden af ​​Ptolemæus og Proclus ; og i moderne tid udviklede ikke-euklidisk geometri sig ud fra disse forsøg . De første 28 sætninger i bog I henviser til absolut geometri , det vil sige, at de ikke er afhængige af V-postulatet.

Postulaterne efterfølges af aksiomerne ( I, Axioms, 1-9 ), som har karakter af generelle udsagn, der gælder ligeligt for både tal og kontinuerte størrelser:

1. Lige til en og samme er lig med hinanden.
2. Og hvis lige lægges til lige, så bliver helheden lige.
3. Og hvis lige trækkes fra lige, så vil resten være lige.
4. (Og hvis lige lægges til ulige, vil heltal ikke være ens.)
5. (Og fordoblinger af det samme er lige store.)
6. (Og halvdelene af det samme er lige store.)
7. Og dem, der er kombineret med hinanden, er lig med hinanden.
8. Og helheden er større end delen.
9. (Og de to linjer indeholder ikke mellemrum.)

Aksiomer er taget i parentes, hvis tilhørsforhold til Euklid Geiberg, forfatteren til den klassiske rekonstruktion af teksten til "Begyndelsen", anses for tvivlsom. Postulater 4-5 ( I, Postulater, 4-5 ) fungerer som aksiomer i en række lister ( I, Aksiomer, 10-11 ).

Aksiomerne efterfølges af tre sætninger, som er konstruktionsproblemer, der længe har været kontroversielle. Så den anden af ​​dem ( I, Propositioner, 2 ) foreslås "fra et givet punkt at udskyde en ret linje svarende til en given ret linje." Ikke-trivialiteten af ​​dette problem ligger i det faktum, at Euklid ikke overfører segmentet til en lige linje med den tilsvarende løsning af kompasset, idet han betragter en sådan operation for at være ulovlig, og bruger det tredje postulat ( I, Postulates, 3 ) i en uventet snæver forstand.

Når man beviser den fjerde sætning ( I, Proposals, 4 ), som udtrykker kriteriet for trekanters lighed, bruger Euklid superpositionsmetoden, som ikke er beskrevet på nogen måde i postulater og aksiomer. Alle kommentatorer bemærkede denne lakune, Hilbert fandt ikke noget bedre end at gøre tegnet på lighed af trekanter på tre sider ( I, Propositioner, 8 ) til et aksiom III-5 i sit system. På den anden side er det fjerde postulat ( I, Postulater, 4 ) nu sædvanligvis bevist, som Christian Wolff gjorde det for første gang [9] , Hilbert udleder dette udsagn fra kongruensaksiomer [10] .

Derefter overvejes forskellige tilfælde af lighed og ulighed i trekanter; sætninger om parallelle linjer og parallelogrammer; de såkaldte "lokale" sætninger om ligheden af ​​arealerne af trekanter og parallelogrammer på samme base og under samme højde. Bog I slutter med Pythagoras sætning .

Bøger II–XIII

Bog II  - teoremer af den såkaldte "geometriske algebra".

III bogforslag  om cirkler , deres tangenter og akkorder , centrale og indskrevne vinkler .

Bog IV  - forslag om indskrevne og omskrevne polygoner , om konstruktion af regulære polygoner .

Bog V  er en generel teori om relationer udviklet af Eudoxus af Cnidus .

VI bog  - læren om ligheden mellem geometriske figurer. Denne bog fuldender euklidisk planimetri .

Bøgerne VII, VIII og IX er afsat til teoretisk aritmetik. Euklid betragter udelukkende naturlige tal som tal ; for ham "Antal er en samling af enheder." Her er teorien om delelighed og proportioner angivet , uendeligheden af ​​sættet af primtal bevises , Euklids algoritme er givet til at finde den største fælles divisor af to tal, selv perfekte tal er bygget . Euklid beviser også formlen for summen af ​​en geometrisk progression .

Bog X  er en klassificering af inkommensurable mængder. Dette er den mest omfangsrige af "Begyndelser"-bøgerne.

XI bog  - begyndelsen af ​​stereometri: teoremer om den gensidige indretning af linjer og planer; sætninger om rumvinkler , volumen af ​​et parallelepipedum og prisme , sætninger om parallelepipedernes lighed og lighed.

XII bogsætninger  om pyramider og bekræftet ved hjælp af udmattelsesmetoden . Her er for eksempel sætningen bevist, at rumfanget af en kegle er en tredjedel af volumenet af en cylinder med samme base og højde.

XIII bog  - konstruktion af regulære polyedre ; bevis på, at der er præcis fem regulære polyedre.

Euklids refererer ingen steder i bogen til andre græske matematikere, selvom han utvivlsomt stoler på deres resultater. Videnskabshistorikere [11] [12] har vist, at prototypen for Euklids arbejde var de gamle matematikeres tidligere skrifter:

• Bøgerne I-IV og XI - "Begyndelsen" af Hippokrates fra Chios .
• Bøgerne V-VI og XII er værker af Eudoxus af Cnidus .
• Bøger VII-IX - skrifter af Archytas fra Tarentum og andre pythagoræere . Ifølge van der Waerden er dette den ældste del af "Begyndelsen", der går tilbage til det 5. århundrede f.Kr. e.
• Bog X og XIII er værker af Theaetetus fra Athen .

Spørgsmålet om, hvorvidt "Elementerne" indeholder nogle resultater af Euklid selv, eller om forfatteren kun var optaget af systematisering og forening af den akkumulerede viden, er genstand for diskussion. Der er en antagelse om, at algoritmen til at konstruere en regulær 15-gon blev udviklet af Euclid; sandsynligvis foretog han også udvælgelsen og den endelige formulering af aksiomer og postulater [13] .

I det hele taget dækker indholdet af "Principlene" en væsentlig del af oldtidens teoretiske matematik. Men noget af det materiale, som oldgræske matematikere kendte, forblev uden for dette arbejde - for eksempel keglesnit (Euklid dedikerede et separat værk til dem, som ikke har overlevet), omkreds , teorien om omtrentlige beregninger .

Indbyrdes afhængighed af bøger

Kritik

I sin tid og op til (omtrent) det 19. århundrede blev elementerne betragtet som en model for den logiske udlægning af matematisk teori. Strukturen af ​​værkerne af Descartes , Newton og endda Spinoza var modelleret efter "principperne". Men allerede i oldtiden blev nogle mangler ved Euklids arbejde kritisk noteret - for eksempel begrundede Arkimedes behovet for at tilføje " Arkimedes Aksiom " (som blev formuleret af Eudox , som levede før Euklid). Over tid steg antallet af erkendte mangler gradvist. Moderne syn på både geometriens og aritmetikkens begrundelse, indhold og metoder adskiller sig væsentligt fra oldtidens [14] .

Først og fremmest forstås nu en lige linje som en linje med uendelig længde. Gamle videnskabsmænd undgik fuldstændig begrebet faktisk uendelighed , Euklid bruger kun endelige linjestykker overalt [15] . Tilsyneladende af denne grund er Euklids postulat om parallelisme formuleret ret besværligt - men det har en lokal karakter, det vil sige, det beskriver en begivenhed på et begrænset udsnit af planet, mens for eksempel Procluss aksiom ("kun en linje parallel til den givne passerer man gennem et punkt uden for en ret linje" ) hævder kendsgerningen af ​​parallelisme, som kræver overvejelse af hele den uendelige linje [16] . Et andet arkaisk træk ved elementerne er begrænsningen til kun to typer kurver - lige linjer og cirkler, som grækerne betragtede som de eneste perfekte [17] , samt et alt for snævert talbegreb, som ikke omfattede irrationelle tal og derfor tvang oldtidens matematikere til unødigt at indføre en parallel med aritmetik, beregningen af ​​"geometriske størrelser" ("geometrisk algebra", bog II i "Begyndelsen") [18] .

Mange kommentatorer af Euclid bemærkede, at definitionerne af geometriske begreber givet af dem er tomme og ikke skaber mere end et visuelt billede - for eksempel "en linje er længde uden bredde." Faktisk bruges sådanne "definitioner" ikke andre steder i teksten, ikke en eneste sætning er baseret på dem [14] . Som nævnt ovenfor viste Euklids IV-postulat om ligheden af ​​alle rette vinkler sig at være overflødig ; det kan bevises som en sætning [19] [20] .

Derudover skal alle beviser for sætninger følge af eksplicit formulerede aksiomer. Faktisk er mange af Euklids fakta baseret på underforståede eller visuelle beviser. Først og fremmest drejer det sig om begrebet bevægelse , som implicit bruges mange steder - for eksempel når trekanter overlejres for at bevise tegn på deres lighed. Proclus bemærkede allerede denne kendsgerning som en betydelig metodologisk hul. Euklid gav ikke bevægelsesaksiomerne, måske for ikke at forveksle høj geometri med "lav" mekanik. Moderne forfattere af aksiomatik giver en særlig gruppe af " kongruensaksiomer " [21] [22] .

Allerede i beviset for den allerførste påstand ("en ligesidet trekant kan bygges på ethvert segment"), antyder Euklid, at to cirkler med radius R , hvis centre er i en afstand R , skærer hinanden i to punkter. Dette følger ikke af nogen aksiomer [23] ; for logisk fuldstændighed bør man tilføje kontinuitetsaksiomet . Lignende udeladelser finder sted for skæringen af ​​en linje og en cirkel [24] , i brugen af ​​det udefinerede begreb "at være mellem" (for punkter) og en række andre steder. Euklids aksiomatik tillader for eksempel ikke at bevise, at der ikke er nogen linje, der går gennem alle tre sider af en trekant.

Talrige kommentatorer af Euklid gjorde gentagne forsøg på at rette op på de bemærkede mangler - antallet af aksiomer blev øget, formuleringerne og beviserne blev forfinet [14] . Nogle kommentatorer (for eksempel Theon af Alexandria og Christopher Clavius ) lavede deres rettelser direkte i den euklidiske tekst, når de blev genoptrykt. Den reviderede og betydeligt udvidede version af aksiomatisk foreslået af Pierre Erigon i 1632 var mislykket [25] . Den første store bedrift i denne retning var monografien Lectures on New Geometry af den tyske matematiker Moritz Pasch (1882) [26] . Afslutningen var Hilberts moderne aksiomatik for geometri (1899). Den, såvel som dens forskellige variationer, er logisk fuldstændig og intetsteds baseret på intuitive beviser [27] .

En af de vigtigste opdagelser i det 19. århundrede var opdagelsen og undersøgelsen af ​​konsekvente ikke-euklidiske geometrier ; den viste, at den overvejende anvendelse i praksis af euklidisk geometri ikke betyder, at denne geometri er den eneste mulige.

Manuskripter og udgaver

Græsk tekst til "Begyndelse"

Under udgravningerne af gamle byer blev der fundet flere papyrus, der indeholdt små fragmenter af Euklids "begyndelse". Den mest berømte blev fundet i "papyribyen" Oxyrhynchus i 1896 - 1897 og indeholder formuleringen af ​​et af udsagn i den anden bog med en tegning ( II, Proposals, 5 ) [28] .

Den græske tekst til Euklids elementer kendes fra byzantinske manuskripter, hvoraf de to mest berømte opbevares i Bodleian Library [29] og Vatikanets apostoliske bibliotek (to-bind Vatikanets manuskript) [30] .

Med udgangspunkt i dem, og også under hensyntagen til de arabiske oversættelser af "Begyndelsen" (dateret til det 9. århundrede og senere), blev originalteksten rekonstrueret af den danske videnskabshistoriker Geiberg i slutningen af ​​1800-tallet, hans metoder er beskrevet i detaljer af Thomas Heath [31] . Geiberg brugte i sin rekonstruktion af 8 græske manuskripter dateret af moderne forskere fra det 9.-11. århundrede. Af disse manuskripter er syv i deres titler mærket "fra Theons udgave " eller "fra Theons forelæsninger" og kaldes derfor Theons. Vatikanets manuskript har ikke et sådant mærke og betragtes som uredigeret af Theon. Theoniske manuskripter adskiller sig fra hinanden, og der er få fællestræk, der adskiller dem fra Vatikanets manuskript (det mest betydningsfulde er slutningen af ​​bog IV). Der er talrige kommentarer i manuskripternes marginer, delvis taget fra Procluss, som passer Elementerne ind i sammenhængen med græsk kultur, for eksempel er det rapporteret, at Pythagoras, efter at have opdaget sin sætning, ofrede tyre.

Historien om erhvervelsen af ​​byzantinske manuskripter er uklar. De kom formentlig til Europa allerede i 1500-tallet, men blev ikke offentliggjort. Den første udgave af den græske tekst, udført af Johann Herwagen mellem 1533 og 1558, redigeret af Simon Gryner (alias Grynaeus, professor i græsk ved universitetet i Basel ), bruger manuskripter, som ifølge Heiberg var dårlige kopier af det 16. århundrede. . Først i 1808, under Napoleons ekspropriationer, fandt Peyrard tre manuskripter i Rom, og blandt dem det vigtigste, Vatikanets tobindsmanuskript.

Latinsk tekst "Begyndelse"

I Europa var "begyndelsen" af Euklid på latin velkendt både i middelalderen og i renæssancen , men langt fra at være i deres sædvanlige form. Middelalderlige latinske afhandlinger indeholdende fragmenter af Euklids elementer blev katalogiseret af München-forskeren Volkerts [32] , som inddelte manuskripterne i følgende grupper:

1. Den såkaldte " Boethius geometri " (faktisk hører Boethius afhandling ikke til). Afhandlingerne fra denne gruppe begynder med ordene "Incipit Geometriae Boetii", har en række fælles træk, selvom deres tekster adskiller sig væsentligt. Teksten fylder fem eller seks håndskrevne ark. Der er ikke dokumentation for forslagene, men der er illustrationer med tillægskonstruktioner. Nogle gange er kun de tre første sætninger forsynet med beviser. Forud for den første definition kommer udsagnet om, at grundlaget for geometri er måling af længder, højder og bredder, hvorefter de euklidiske definitioner får en anden betydning, for eksempel er en linje et objekt, hvis længde måles, men bredden er ikke osv. Sproget var ikke påvirket af arabisk, hvorfor Boethius' geometri anses for at være en direkte oversættelse fra græsk til latin. Et manuskript fra Lüniburg er blevet udgivet [33] .
2. Adelards "Geometri" er en stor klasse af manuskripter skrevet af forskellige forfattere på forskellige tidspunkter. Den største undergruppe, kaldet "Adelard II", indeholder alle 15 bøger af Euklids "Begyndelser", dog er sikkerheden ved manuskripterne sådan, at man skal være forsigtig med dette. Et karakteristisk træk er tilstedeværelsen af ​​beviser, og i de bedste håndskrifter går beviserne forud for udlægningen (enunciatio); nogle beviser er givet i detaljer, andre er kun skitserede. Nogle af udlægningerne ( enunciatio ) i Adelard II gengiver bogstaveligt talt Boethius, andre er formuleret anderledes, ofte med arabiske ækvivalenter i stedet for latinske udtryk. Teksten varierer betydeligt fra håndskrift til håndskrift (i bog VII-IX og XI-XIII adskiller beviserne sig især), så der i middelalderen ikke fandtes en kanonisk tekst til Adelard II, som hele tiden blev suppleret og forbedret. Det er værd at understrege, at beviserne adskiller sig i udtryksmåden, men ikke i den matematiske essens. Gennem det tolvte århundrede blev der arbejdet på at forbedre beviserne.
3. Campanus "Geometri"  er et kompleks af manuskripter fra det 13.-15. århundrede. I denne version minder "Elementerne" meget om de byzantinske manuskripter og kan godt betragtes som en ret præcis oversættelse, der dog indeholder arabiske termer (for eksempel kaldes parallelepipediet "belmaui"). Denne udgave består af 15 bøger, ordlyden af ​​sætningerne er tæt på Adelard II, men beviset følger præsentationen. I titlen på manuskripterne er Euclid, forfatteren af ​​elementerne, og filosoffen Euclid of Megara , en elev af Sokrates , normalt identificeret .

Trykte udgaver af Euclid's Elements er katalogiseret af Thomas-Stanford [34] . Den første trykte udgave af Principia [35] blev lavet af Erhard Ratdolt i Venedig i 1482 og gengivet Principia i Campanos behandling. Den næste udgave kopierede ikke den første, blev udført af Bartolomeo Zamberti i 1505 . Fra forordet vides det, at Zamberti oversatte det græske manuskript, som formidler "Begyndelsen" i behandlingen af ​​Theon, men Heiberg var ikke i stand til at identificere ham.

I det 16. århundrede mente man, at Euklid kun tilhørte formuleringen af ​​sætninger, mens beviserne blev opfundet senere; udgaver af Principia uden beviser og udgaver, der sammenlignede beviserne fra Campana og Zamberti [36] blev cirkuleret . Denne opfattelse havde et helt solidt grundlag: i begyndelsen af ​​1500-tallet udkom Boethius' geometri [37] , som også var en oversættelse af Euklids elementer, men denne udgave indeholdt ingen beviser. Det blev også antaget, at brugen af ​​bogstavelig notation i beviser indebar kendskab til bogstavelig algebra. Denne opfattelse blev afvist i det 17. århundrede.

Russiske oversættelser

Den første udgave af "Begyndelser" på russisk udkom i 1739; bogen blev udgivet i Skt. Petersborg under titlen "Euklidiske elementer fra tolv neftonske bøger udvalgt og ind i otte bøger gennem professor i matematik Andrei Farkhvarson, forkortet, oversat fra latin til russisk af kirurgen Ivan Satarov" [38] . Oversættelsen blev udført af Ivan Satarov under ledelse af den skotske matematiker Henry Farvarson , som på det tidspunkt gjorde tjeneste i det russiske flådekorps [39] . Navnet på Newton ("Nefton") i titlen er nævnt enten ved misforståelse, eller i reklameøjemed, han har intet at gøre med bogens indhold. Oversættelsen blev lavet ud fra en forkortet og moderniseret fransk udgave af "Beginnings" af Andre Taque , hvor oversætterne tilføjede en række numeriske eksempler og kritiske kommentarer [38] [40] .

Lidt senere udkom yderligere 2 oversættelser, også reduceret til 8 bøger:

• (1769) Oversættelse af N. G. Kurganov , lærer af Naval Cadet Corps: "Euklidiske elementer i geometri, det vil sige det første grundlag for videnskaben om at måle forlængelse";
• (1784) Oversættelse af Prokhor Suvorov og Vasily Nikitin "Euklidiske elementer otte bøger, nemlig: den første, anden, tredje, fjerde, femte, sjette, ellevte og tolvte; Bøger tretten og fjorten er knyttet til disse. Oversat fra græsk og rettet. I Skt. Petersborg, i trykkeriet af flådens adel Cadet Corps ”(genoptrykt i 1789).

Næsten fuldstændig (undtagen bog X) blev "Begyndelser" på russisk udgivet i oversættelsen af ​​Foma Petrushevsky [41] : bog 1-6 og 11-13 i 1819, bog 7-9 i 1835 [42] . I 1880 udkom en oversættelse af Vashchenko-Zakharchenko [43] . En anden forkortet oversættelse udkom i Kremenchug (1877) under titlen "Eight Books of Euclid's Geometry"; oversættelse under ledelse af A. A. Sokovich (1840-1886), direktøren for den lokale realskole, blev udført af to elever fra denne skole [44] .

Den sidste komplette akademiske udgave blev udgivet i 1949-1951, oversat fra græsk og kommentarer af Dmitry Mordukhai-Boltovsky .

Verdensfordeling

I det 9.-10. århundrede oversatte lærde fra Bagdads Visdomshus "Begyndelsen" til arabisk; denne bog blev berømt i islams lande, blev gentagne gange genoptrykt med kommentarer fra store matematikere, herunder Yehuda Alkharisi og ibn Malik .

I det 11. århundrede oversatte Grigor Magistros "Begyndelsen" fra græsk til armensk [45] .

I det 11.-12. århundrede dukkede de første latinske oversættelser af Euklid op i Europa. Den første trykte udgave af Principia blev udgivet kort efter opfindelsen af ​​trykkeriet , i 1482.

På kinesisk blev de første 6 bøger om "Begyndelsen" udgivet af Matteo Ricci under hans mission i Kina (1583-1610). En komplet oversættelse af den britiske missionær Wiley udkom med et rosende forord af Zeng Guofan , skrevet i 1865.

Se også

• Aksiom
• Euklids algoritme
• Euklidisk geometri
• Femte postulat
• Elementær geometri (Kiselyov)

Publikationer af teksten "Begyndte"

• Euklids begyndelse . Oversættelse fra græsk og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionel deltagelse af I. N. Veselovsky og M. Ya. Vygodsky . M.-L.: GTTI, 1949-1951.

• bøger I-VI på www.math.ru eller på mccme.ru ;
• bøger VII-X på www.math.ru eller på mccme.ru ;
• Bøger XI—XIV på www.math.ru eller på mccme.ru .

• Papyrus af Oxyrhynchus ;
• Byzantinsk manuskript D'Orville 301, Bodleian Library, Oxford på www.rarebookroom.org og www.claymath.org (med engelsk oversættelse);
• Geometria Boetii  (lat.) af M. Folkerts. Einneuer Text des Euclides Latinus. Faksimiledruck der Handschrift Lüneburg D 4o 48, f.13-17v Hildesheim: Dr. H.A. Gerstenberg, 1970;
• første trykte udgave af Euklids elementer. E. Ratdolt, 1482  (lat.) ;
• 1558-udgaven  (lat.) , som sammenligner udgaverne af Ratdold og Zamberti;
• Elementi Euklid. Traduzione di Niccolò Tartaglia  (italiensk) , 1543;
• Euklid. Elementer . Udgaver og oversættelser: Græsk (red. JL Heiberg) , Engelsk (red. Th. L. Heath) ;
• Euklid begyndte otte bøger oversat af F. Petrushevsky . Bøgerne 1-6, 11-12. (1819);
• Thomas L. Heath. De tretten bøger om Euklids elementer, oversat fra Heibergs tekst, med introduktion og kommentarer.
• Euklids Elementer i middelalderen, af M. Folkerts . Katalog over middelalderlige latinske manuskripter.
• Tidlige udgaver af Euclid's Elements , af Charles Thomas-Stanford. Katalog over tidlige udgaver af Euclid.
• Oliver Byrne . De første seks bøger om Euklids begyndelse, som bruger farveskemaer og tegn i stedet for bogstaver for større bekvemmelighed for studerende / oversat fra engelsk af Sergey Slyusarev. - 2018. - 278 s.

Noter

1. ↑ Russell, Bertrand. History of Western Philosophy: Collectors Edition . - Routledge, 2013. - S. 177. - ISBN 978-1-135-69284-1 . Arkiveret 6. maj 2021 på Wayback Machine
2. ↑ "Dette mest fantastiske tankeværk gav menneskesindet den selvtillid, som var nødvendig for dets efterfølgende aktivitet. Han er ikke født til teoretisk forskning, som i sin ungdom ikke beundrede denne skabelse. Einstein A. Fysik og virkelighed. M.: 1965, s. 62.
3. ↑ Proclus Diadochus. Com. til Euklid I. Indledning. Oversættelse af Yu. A. Shichalin Arkiveret den 6. januar 2007.
4. ↑ "R. Rami Scholarum mathematicarum libri unus et triginta" ( Frankfurt , 1559 ; Basel , 1569)
5. ↑ Euclidis Elementorum libri XV una cum scholiis antiquis ( 1572 )
6. ↑ Euclidis elementorum libri XVI cum scholiis ( 1574 )
7. ↑ 1 2 Carrera, 2015 , s. 47-49.
8. ↑ Hilbert D. Geometriens grundlag. M.-L.: OGIZ, 1948. Essayet begynder med ordene: "Vi tænker på tre forskellige tingssystemer: vi kalder tingene i det første system for punkter og betegner A , B , C  ..."
9. ↑ Kap. wolfius . Compedium elementaris Matheseos. Venetiis, 1713; se også D. D. Mordukhai-Boltovskys kommentarer til "Beginnings" of Euclid, Vol. 1-6 (M.-L., 1950, s. 242)
10. ↑ D. Gilbert . Fundamenter for geometri, sætning 21.
11. ↑ Van der Waerden. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. Arkiveret 27. marts 2009 på Wayback Machine Oversat fra hollandsk af I. N. Veselovsky. Moskva: Fizmatgiz, 1959, 456 s.
12. ↑ Sabo L. Om matematikkens transformation til en deduktiv videnskab og begyndelsen på dens begrundelse // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1959. - Nr. 12 . - S. 321-392 .
13. ↑ Rozhansky I.D. Antik videnskab. - M . : Nauka, 1980. - S. 132-134. — 198 s. — (Videnskabens og teknologiens historie).
14. ↑ 1 2 3 Rashevsky, 1948 , s. 13-15.
15. ↑ Carrera, 2015 , s. 65, 80.
16. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed . - M . : Mir, 1984. - S.  169 .
17. ↑ Kommentarer, 1948 , s. 233-234.
18. ↑ Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af ​​den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
19. ↑ Kommentarer, 1948 , s. 242.
20. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 226-248.
21. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 257-264.
22. ↑ Kommentarer, 1948 , s. 251-252.
23. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 256.
24. ↑ Carrera, 2015 , s. 68.
25. ↑ Kommentarer, 1948 , s. 249.
26. ↑ Rashevsky, 1948 , s. tyve.
27. ↑ Rashevsky, 1948 , s. 23.
28. ↑ Papyrus fra Oxyrhynchus . Hentet 23. maj 2013. Arkiveret fra originalen 5. marts 2016. (ubestemt)
29. ↑ MS D'Orville 301 Arkiveret 20. februar 2016 på Wayback Machine , Bodleian Library, Oxford
30. ↑ MS Vaticano, numerato 190, 4to
31. ↑ Thomas L. Heath The Thirteen Books of Euclid's Elements, oversat fra Heibergs tekst, med introduktion og kommentarer . Vol. 1 . Hentet 29. april 2011. Arkiveret fra originalen 1. maj 2008. (ubestemt)
32. ↑ Euklids grundstoffer i middelalderen, af M. Folkerts . Hentet 24. juli 2007. Arkiveret fra originalen 2. april 2021. (ubestemt)
33. ↑ Ein neuer Text des Euclides Latinus . Hentet 18. marts 2014. Arkiveret fra originalen 19. marts 2014. (ubestemt)
34. ↑ Tidlige udgaver af Euclid's Elements , af Charles Thomas-Stanford
35. ↑ "Begyndelser", første trykte udgave, 1482 . Hentet 24. juli 2007. Arkiveret fra originalen 30. september 2013. (ubestemt)
36. ↑ Den første sådan udgave var den af ​​Lefebvre i 1516. "Begyndelsen" udgivet i 1558 er tilgængelig online Arkivkopi dateret 15. maj 2013 på Wayback Machine .
37. ↑ Denne udgave er beskrevet i andet bind " Geschichte der Mathematik  (utilgængeligt link) " af A. Kestner
38. ↑ 1 2 Rybnikov K. Russiske udgaver af Euklids "Begyndelser". Uspekhi matematicheskikh nauk, 1941, nr. 9, s. 318-321.
39. ↑ Farvarson // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
40. ↑ Yushkevich A.P. Om den første russiske udgave af værker af Euclid og Archimedes // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science and Technology. - M . : USSR's Videnskabsakademi, 1948. - Udgave. 2 . - S. 567-572 .
41. ↑ Petrushevsky, Foma Ivanovich // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
42. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 218.
43. ↑ "Principles of Euclid" i Wikisource , oversat af M. E. Vashchenko-Zakharchenko
44. ↑ Depman I. Ya. Glemt udgave af Euklids "Begyndelser" på russisk // Historisk og matematisk forskning . - M. - L .: GITTL, 1950. - Nr. 3 . - S. 474-485 .
45. ↑ A.P. Yushkevich . Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af ​​det 19. århundrede. - M . : Nauka, 1970. - T. 1. - S. 251.

Litteratur

• Bashmakova I. G. Aritmetiske bøger af Euklids "Begyndelser" // Historisk og matematisk forskning . - M. - L. : GITTL, 1948. - Udgave. 1 . - S. 296-328 .
• Bashmakova I. G. Forelæsninger om matematikkens historie i det antikke Grækenland // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 351-363 .
• Vygodsky M. Ya. "Begyndelser" af Euklid // Historisk og matematisk forskning . - M. - L. : GITTL, 1948. - Udgave. 1 . - S. 217-295 .
• Matematikkens historie / Redigeret af A. P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
• Mordukhai-Boltovskoy D. D. Kommentarer // Begyndelsen af ​​Euklid. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. I. - (naturvidenskabernes klassikere).
• Rashevsky P.K. Hilberts "Foundations of Geometry" og deres plads i den historiske udvikling af spørgsmålet // Hilbert D. Foundations of Geometry. - L . : GITTL, 1948. - S. 7-54 .
• Rybnikov K. A. russiske udgaver af Euklids "Begyndelser". Uspekhi matematicheskikh nauk, 1941, nr. 9, s. 318-321.
• Josep Play og Carrera. Tredimensionel verden. Euklid. Geometri // Videnskab. De største teorier. - M . : De Agostini, 2015. - Udgave. 14 . — ISSN 2409-0069 .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Larussa Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger BNE : XX2160040 , XX5832522 BNF : 12008440q GND : 4266253-9 J9U : 987007587898705171 LCCN : n82211109 NLA : 35785030 SUDOC : 027773426 , 028201221 VcBA : 492/6792 VIAF : 308285754 , 276194618 , 176708206 , 186956609 WorldCat VIAF : 308285754 , 276194618 , 176708206 , 186956609