Lebesgue integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 31. oktober 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Lebesgue-integralet er en generalisering af Riemann-integralet til en bredere klasse af funktioner .

Alle funktioner defineret på et endeligt segment af den reelle linje og Riemann-integrerbare er også Lebesgue-integrerbare, og i dette tilfælde er begge integraler ens. Der er dog en stor klasse af funktioner defineret på et interval og Lebesgue-integrerbar, men ikke Riemann-integrerbar. Også Lebesgue-integralet kan give mening for funktioner givet på vilkårlige mængder ( Fréchet-integralet ).

Ideen med at konstruere Lebesgue-integralet [1] er, at i stedet for at opdele integrandens definitionsdomæne i dele og derefter kompilere integralsummen ud fra værdierne af funktionen på disse dele, er dets værdiområde er opdelt i intervaller , og derefter summeres målene for disse intervallers forbilleder med de tilsvarende vægte.

Definition

Lebesgue-integralet bestemmes trin for trin, og bevæger sig fra enklere til komplekse funktioner. Vi antager, at vi får et rum med et mål , og der er defineret en målbar funktion på den , hvor er en Borel -algebra på den reelle akse. $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\sigma$

Definition 1. Lad være en indikator for nogle målbare sæt, dvs. hvor . Så Lebesgue-integralet af funktionen per definition: $f$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x)$ $A\in {\mathcal {F}}$ $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).

Definition 2. Lade være en simpel funktion , dvs. hvor , og være en endelig partition i målbare mængder. Derefter $f$ $f(x)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,{\mathbf {1}}_{{F_{i}}}(x)$ $\{f_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathbb {R}}$ $\{F_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ $x$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})

Definition 3. Lad nu være en ikke-negativ funktion , dvs. Overvej alle simple funktioner som . Lad os kalde denne familie . For hver funktion fra denne familie er Lebesgue-integralet allerede defineret. Så er integralet af givet ved formlen: $f$ $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$ $\{f_{s}\}$ $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$ ${\mathcal {P}}_{f}$ $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \venstre\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\; \vert \;f_{s}\i {\mathcal {P}}_{f}\right\}

Endelig, hvis funktionen har et vilkårligt fortegn, så kan den repræsenteres som forskellen mellem to ikke-negative funktioner. Det er faktisk let at se, at: $f$

f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),

hvor

f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))

Definition 4. Lad være en vilkårlig målbar funktion. Så er dets integral givet ved formlen: $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{ X}f^{-}(x)\,\mu (dx)

Definition 5. Lad endelig være et vilkårligt målbart sæt. Så per definition $A\in {\mathcal {F}}$

\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,{\mathbf {1}}_{A}(x)\, \mu (dx)

hvor er sættets indikatorfunktion . ${\mathbf {1}}_{A}(x)$ $EN$

Eksempel

Overvej en Dirichlet-funktion defineret på , hvor er Borel σ-algebraen på , og er Lebesgue-målet . Denne funktion tager værdier ved rationelle punkter og ved irrationelle . Det er let at se, at det ikke er integrerbart i Riemanns forstand. Det er dog en simpel funktion på et rum med et endeligt mål, fordi det kun tager to værdier, og derfor er dets Lebesgue-integral defineret og er lig med: $f(x)\equiv \chi _{{{\mathbb {Q}}_{{[0,1]}}}}(x)$ $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ ${\mathcal {B}}([0,1])$ $[0,1]$ $m$ $en$ $0$ $f$

\int \limits _{{[0,1]}}f(x)\,m(dx)=1\cdot m({\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})+0 \cdot m([0,1]\setminus {\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.

Faktisk er målet for segmentet lig med 1, og da mængden af rationelle tal kan tælles , så er dets mål lig med 0, hvilket betyder, at målet for irrationelle tal er lig med . $[0,1]$ $1-0=1$

Noter

Da er en målbar funktion Lebesgue-integrerbar, hvis og kun hvis funktionen er Lebesgue-integrerbar. Denne egenskab gælder ikke for Riemann-integralet; $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ $f(x)$ $|f(x)|$
Alt efter valg af rum, mål og funktion kan integralet være endeligt eller uendeligt. Hvis integralet af funktionen er finit, så siges funktionen at være Lebesgue-integrerbar eller summerbar ;
Hvis en funktion er defineret på et sandsynlighedsrum og er målbar, så kaldes den en tilfældig variabel , og dens integral kaldes den matematiske forventning eller gennemsnit. En stokastisk variabel er integrerbar, hvis den har en begrænset matematisk forventning. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Egenskaber

Lebesgue-integralet er lineært, dvs. $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\ int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ,

hvor er vilkårlige konstanter;

a,b\in \mathbb{R}

Lebesgue-integralet bevarer uligheder, det vil sige, hvis , er målbar og integrerbar næsten overalt , så integrerbar og , og desuden $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ;
Lebesgue-integralet afhænger ikke af funktionens opførsel på et sæt af mål nul, det vil sige, hvis næsten overalt , så $f(x)=g(x)$ $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ .

Lebesgue integral summer

Lebesgue integral summer for en funktion og et mål er summer af formen $f(x)$ $\mu$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\ }

hvor er en partition af funktionens værdiområde . ${\displaystyle y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N))$ $f(x)$

Hver sådan sum er Lebesgue-integralet af en simpel funktion, der tilnærmer funktionen - på hvert punkt tager den en af værdierne (nemlig på delmængden ). Derfor, hvis funktionen er Lebesgue-integrerbar, konvergerer disse summer til dens integral, når , , og partitionsdiameteren har en tendens til nul. $f(x)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N))$ $y_{k}$ $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ $f(x)$ $y_{1}\rightarrow -\infty$ $y_{N}\rightarrow +\infty$ ${\displaystyle \delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\))$

Det særlige ved Lebesgue-integral-summer er, at det til deres beregning ikke er påkrævet at beregne værdierne af den integrerbare funktion - faktisk er kun fordelingsfunktionen af dens værdier nødvendig:

{\displaystyle F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\))

Så bliver Lebesgue-integral-summerne for funktionen og målingen Riemann-Stieltjes-integral-summerne for funktionen og fordelingsfunktionen : $f(x)$ $\mu$ $y$ $F(y)$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\højrepil \int \limits _{-\ infty }^{+\infty }ydF(y)

Hvis fordelingsfunktionen har tæthed: , så konverteres Lebesgue integral summer til Riemann integral summer : $F(y)$ $dF(y)=\rho (y)dy$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\højrepil \int \limits _{ -\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy

Da fordelingsfunktioner naturligt opstår i sandsynlighedsteori, statistisk og kvantefysik, bruges Lebesgue-integral-summer faktisk til at beregne Lebesgue-integralet, hovedsageligt i anvendelser af disse teorier. Oftest beregnes Lebesgue-integralet som Riemann-integralet svarende til det (i tilfælde hvor sidstnævnte giver mening).

Konvergens af Lebesgue-integraler af sekvenser af funktioner

Noter

↑ Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Paris: Gauthier Villars.

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.

Frolov N. A. Teori om funktioner af en reel variabel. - 2. — M .: GUPIMPR , 1961 . — 173 s.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer
I bibliografiske kataloger	BNF : 125110551 J9U : 987007561114305171 LCCN : sh94008345 NDL : 00567363 NKC : ph117704

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler