Aritmetisk progression

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. oktober 2022; checks kræver 7 redigeringer .

Aritmetisk progression er en numerisk sekvens af formen

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots

det vil sige en sekvens af tal ( medlemmer af progressionen), hvor hvert tal, startende fra det andet , opnås fra det foregående ved at tilføje et konstant tal ( trin eller progressionsforskel ) til det: $d$

a_n=a_{n-1} + d\quad

Ethvert ( n -te) led i progressionen kan beregnes ved hjælp af den generelle termformel:

a_n=a_1 + (n-1)d

En aritmetisk progression er en monoton sekvens . For , det er stigende, og for , det er faldende. Hvis , så vil sekvensen være stationær. Disse udsagn følger af forholdet for vilkårene for en aritmetisk progression. $d>0$ $d<0$ $d=0$ $a_{n+1}-a_n=d$

Egenskaber

Generelt udtryk for en aritmetisk progression

Et medlem af en aritmetisk progression med et tal kan findes ved hjælp af formlerne $n$

a_n=a_1+(n-1)d

a_{n}=a_{m}-(mn)d

hvor er det første medlem af progressionen, er dens forskel, er medlem af den aritmetiske progression med tal .

a_{1}

d

er

m

Bevis
Ved hjælp af forholdet skriver vi successivt flere medlemmer af progressionen ned, nemlig: $a_{n+1}=a_n+d$ $a_2=a_1+d$ $a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d$ $a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d$ $a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d$ Efter at have bemærket et mønster, antager vi, at . Ved hjælp af matematisk induktion viser vi, at antagelsen er sand for alle : $a_n=a_1+(n-1)d$ $n \i \mathbb N$ Induktionsgrundlag : _ $(n=1)$ $a_1=a_1+(1-1)d=a_1$ - udsagnet er sandt. Induktionsoverførsel : Lad vores udsagn være sand for , dvs. Lad os bevise sandheden af udsagnet for : $n=k$ $a_k=a_1+(k-1)d$ $n=k+1$ $a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$ Så udsagnet gælder også for . Det betyder, at for alle . $n=k+1$ $a_n=a_1+(n-1)d$ $n \i \mathbb N$

En karakteristisk egenskab for en aritmetisk progression

Sekvensen er en aritmetisk progression for et hvilket som helst af dets elementer, betingelsen er opfyldt . $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $\venstrehøjrepil$ $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2$

Bevis
Brug for : Da der er tale om en aritmetisk progression, gælder følgende relationer: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $n \geqslant 2$ $a_n=a_{n-1}+d$ $a_n=a_{n+1}-d$ . Tilføjer vi disse ligheder og dividerer begge sider med 2, får vi . $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ Tilstrækkelighed : Vi har det for hvert element i sekvensen, startende fra den anden, . Det skal vises, at denne sekvens er en aritmetisk progression. Lad os omdanne denne formel til formen . Da relationerne er sande for alle , bruger vi matematisk induktion til at vise det . $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ $n \geqslant 2$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ Induktionsgrundlag : _ $(n=2)$ $a_2-a_1=a_3-a_2$ - udsagnet er sandt. Induktionsoverførsel : Lad vores udsagn være sand for , dvs. Lad os bevise sandheden af udsagnet for : $n=k$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ $n=k+1$ $a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ Men af den induktive hypotese følger det, at . Det forstår vi $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$ Så udsagnet gælder også for . Det betyder, at . $n=k+1$ $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n +1}-a_n$ Lad os betegne disse forskelle med . Så, , og derfor har vi for . Da relationen er sand for medlemmerne af sekvensen , er dette en aritmetisk progression. $d$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ $a_{n+1}=a_n+d$ $n \i \mathbb N$ $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $a_{n+1}=a_n+d$

Summen af de første led i en aritmetisk progression $n$

Summen af de første led i en aritmetisk progression kan findes ved hjælp af formlerne $n$ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n))$

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n

, hvor er det første led i progressionen, er led med tallet , er antallet af summerede led.

a_{1}

a_n

n

n

S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_ {1}}}+1)

- hvor - det første medlem af progressionen, - det andet medlem af progressionen - medlemmet med nummeret .

a_{1}

a_{2}

,a_{n}

n

S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n

, hvor er det første led i progressionen, er forskellen på progressionen, er antallet af summerede led.

a_{1}

d

n

Bevis
Lad os skrive summen på to måder: $S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1$ - samme beløb, kun vilkårene går i omvendt rækkefølge. Nu tilføjer vi begge ligheder og tilføjer successivt termerne på højre side, der står på samme lodrette: $2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1 }+a_2)+(a_n+a_1)$ Lad os vise, at alle led (alle parenteser) af den resulterende sum er lige store. Generelt kan hvert udtryk udtrykkes som . Lad os bruge formlen for det almindelige udtryk for en aritmetisk progression: $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n$ $a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n$ Vi har fundet ud af, at hvert led ikke afhænger af og er lig med . Især . Da der er sådanne udtryk , altså $jeg$ $2a_1+(n-1)d$ $a_1+a_n=2a_1+(n-1)d$ $n$ $2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$ Den tredje formel for summen fås ved at erstatte . Hvilket allerede følger direkte af udtrykket for fællesbegrebet. $2a_1+(n-1)d$ $a_1+a_n$ Bemærkning : I stedet kan du i den første formel for summen tage et hvilket som helst af de andre udtryk , da de alle er lig med hinanden. $a_1+a_n$ $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n$

Summen af vilkårene for en aritmetisk progression fra -th til -th $n$ $m$

Summen af medlemmerne af en aritmetisk progression med tal fra til kan findes ved hjælp af formlerne $n$ $m$ ${\displaystyle S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m))$

S_{m,n}={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)

, hvor er udtrykket med tallet , er udtrykket med tallet , og er antallet af summerede led.

er

m

a_n

n

(m-n+1)

S_{m,n}={\frac {2a_{n}+d(mn)}{2}}\cdot (m-n+1)

, hvor er led med tal , er forskellen på progressionen, er antallet af summerede led.

a_n

n

d

(m-n+1)

Konvergens af en aritmetisk progression

Den aritmetiske progression divergerer ved og konvergerer ved . Og $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $d\ne 0$ $d=0$

\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix }\ret.

Bevis
Efter at have skrevet udtrykket for det almindelige udtryk og undersøgt grænsen , opnår vi det ønskede resultat. $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)$

Forholdet mellem aritmetiske og geometriske progressioner

Lad være en aritmetisk progression med en forskel og et tal . Så er sekvensen af formen en geometrisk progression med nævner . $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $d$ $a>0$ $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ $a^d$

Bevis
Lad os kontrollere den karakteristiske egenskab for den dannede geometriske progression: $\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2$ Lad os bruge udtrykket for det almindelige udtryk for en aritmetisk progression: $\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd} }=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d }=a^{a_n}, n\geqslant 2$ Så da den karakteristiske egenskab gælder, så er der tale om en geometrisk progression. Dens nævner kan f.eks. findes fra relationen . $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ $q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$

Følge : Hvis en sekvens af positive tal danner en geometrisk progression, danner sekvensen af deres logaritmer en aritmetisk progression.

Aritmetiske forløb af højere orden

En aritmetisk progression af anden orden er en sådan talfølge, at rækkefølgen af deres forskelle selv danner en simpel aritmetisk progression. Et eksempel er rækkefølgen af kvadrater af naturlige tal :

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

hvis forskelle danner en simpel aritmetisk progression med en forskel på 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Trekantede tal danner også en andenordens aritmetisk progression, deres forskelle danner en simpel aritmetisk progression $1,3,6,10,15,\ldots$ $2,3,4,5,\ldots$

Tetraedriske tal danner en aritmetisk progression af tredje orden, deres forskelle er trekantede tal. $1,4,10,20,35,\ldots$

Fremskridt af højere orden er defineret på samme måde. Især en sekvens af n'te potenser danner en aritmetisk progression af n'te orden.

Hvis er en aritmetisk progression af orden , så er der et polynomium , således at for hele ligheden [1] $\left[a_{{i}}\right]_{{1}}^{{n}}$ $m$ $P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{1}}i+c_{{0}}$ $i\i \venstre\{1,....n\højre\}$ $a_{{i}}=P_{{m}}(i)$

Eksempler

En naturlig række er en aritmetisk progression, hvor det første led er , og forskellen er . Summen af de første led i den naturlige række kaldes " trekanttallet ": $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ $a_1=1$ $d=1$ $n$

T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2))

$1, -1, -3, -5, -7$ er de første 5 medlemmer af en aritmetisk progression, hvor og . $a_1=1$ $d=-2$
Hvis alle elementer i en bestemt rækkefølge er lig med hinanden og lig med et vist tal , så er dette en aritmetisk progression, hvor og . Især er der en aritmetisk progression med forskel . $-en$ $a_1=a$ $d=0$ $\pi, \pi, \pi, \ldots$ $d=0$

Formel for forskellen

Hvis to medlemmer af en aritmetisk progression er kendt, samt deres tal i den, så kan du finde forskellen som

{\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{mn}}}}

Summen af tal fra 1 til 100

Ifølge legenden inviterede den unge Gauss matematiklærer , for at holde børnene beskæftiget i lang tid, dem til at tælle summen af tal fra 1 til 100. Gauss bemærkede, at de parvise summer fra modsatte ender er de samme: 1+100=101, 2+99=101 osv. osv., og fik med det samme resultatet: 5050. Det er faktisk let at se, at løsningen reduceres til formlen

\frac{n(n+1)}2

altså til formlen for summen af de første tal i den naturlige række. $n$

Se også

Noter

↑ Bronstein, 1986 , s. 139.

Litteratur

Bronshtein IN , Semendyaev KA Håndbog i matematik for ingeniører og gymnasieelever . — M .: Nauka, 1986. — 544 s.

Links

Aritmetisk progression // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890. - T. II. - S. 98.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Brockhaus og Efron Brockhaus og Efron jorden rundt Lille Brockhaus og Efron
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007531747705171 LCCN : sh85120238