En matematisk model er en matematisk repræsentation af virkeligheden [1] , en af varianterne af en model som et system , hvis undersøgelse gør det muligt at få information om et andet system. En matematisk model er især beregnet til at forudsige adfærden af et virkeligt objekt, men repræsenterer altid en eller anden grad af dets idealisering [B: 1] .
Matematisk modellering kaldes både selve aktiviteten og helheden af accepterede metoder og teknikker til at konstruere og studere matematiske modeller.
Alle natur- og samfundsvidenskaber , der bruger det matematiske apparat, er faktisk engageret i matematisk modellering: de erstatter undersøgelsesobjektet med dets matematiske model og studerer derefter sidstnævnte. Ved hjælp af matematiske metoder beskrives som regel en ideel genstand eller proces, bygget på stadiet af meningsfuld modellering . Forbindelsen af en matematisk model med virkeligheden udføres ved hjælp af en kæde af empiriske love , hypoteser , idealiseringer og forenklinger.
En matematisk model er en omtrentlig beskrivelse af en klasse af fænomener i den ydre verden, udtrykt i matematiske symboler. [B:2]
Ifølge Lyapunov er matematisk modellering en indirekte praktisk eller teoretisk undersøgelse af et objekt, hvori ikke det objekt, der er af interesse for os, direkte studeres, men et eller andet kunstigt eller naturligt hjælpesystem (model), der er i en eller anden objektiv overensstemmelse med objektets væsen. kendt, i stand til at erstatte det i visse henseender og i sidste ende give information om selve det modellerede objekt under sin undersøgelse [B: 3] .
I andre versioner er den matematiske model defineret som en objekt-erstatning af det oprindelige objekt, hvilket giver studiet af nogle egenskaber ved originalen [B: 4] , som "en" ækvivalent "af objektet, der i matematisk form afspejler dets mest vigtige egenskaber - lovene , som den adlyder, forbindelserne iboende dens bestanddele" [B: 5] , som et system af ligninger, eller aritmetiske relationer, eller geometriske figurer, eller en kombination af begge, studiet af hvilke vha. matematik skal besvare de stillede spørgsmål om egenskaberne af et bestemt sæt egenskaber for et objekt i den virkelige verden [B: 6] , som et sæt matematiske sammenhænge, ligninger, uligheder, der beskriver de vigtigste mønstre, der er iboende i processen, objektet eller systemet under undersøgelse [B: 7] .
I automatiserede kontrolsystemer bruges en matematisk model til at bestemme styreenhedens operationsalgoritme. Denne algoritme bestemmer, hvordan kontrolhandlingen skal ændres afhængigt af ændringen i masteren for at nå kontrolmålet. [B:8]
Ingen definition kan fuldt ud dække den virkelige aktivitet af matematisk modellering. På trods af dette er definitioner nyttige, fordi de forsøger at fremhæve de mest betydningsfulde træk.
De vigtigste matematiske modeller har normalt en vigtig egenskab ved universalitet : fundamentalt forskellige virkelige fænomener kan beskrives af den samme matematiske model. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke kun opførselen af en belastning på en fjeder, men også andre oscillatoriske processer, ofte af en helt anden karakter: små svingninger af et pendul, udsving i væskeniveauet i en -formet beholder, eller en ændring i strømstyrken i et oscillerende kredsløb. Når vi studerer en matematisk model, studerer vi på én gang en hel klasse af fænomener beskrevet af den. Det er denne isomorfi af lovene udtrykt af matematiske modeller i forskellige segmenter af videnskabelig viden, der fik Ludwig von Bertalanffy til at skabe en " generel systemteori ".
Samtidig skal man huske, at selve modellen er et objekt og kan have nogle af sine egne egenskaber, som ikke er relateret til det virkelige objekt, der modelleres; dog findes der publikationer selv i velrenommerede tidsskrifter, hvor netop de egenskaber ved komplekse matematiske modeller studeres, som ikke er relateret til det objekt, der modelleres. [B:9]
Den formelle klassificering af modeller er baseret på klassificeringen af de anvendte matematiske værktøjer. Ofte bygget i form af dikotomier . For eksempel et af de populære sæt af dikotomier [2] :
og så videre. Hver konstrueret model er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulige: koncentreret i én henseende (i forhold til parametre), distribuerede modeller i en anden osv.
Sammen med den formelle klassificering adskiller modellerne sig i den måde, de repræsenterer objektet på:
Strukturelle modeller repræsenterer et objekt som et system med sin egen enhed og funktionsmekanisme. Funktionelle modeller bruger ikke sådanne repræsentationer og afspejler kun den eksternt opfattede adfærd (funktion) af objektet. I deres ekstreme udtryk kaldes de også "black box" -modeller . [6] Kombinerede typer af modeller er også mulige, nogle gange omtalt som " grå boks "-modeller.
Næsten alle forfattere, der beskriver processen med matematisk modellering, indikerer, at der først bygges en særlig idealkonstruktion, en meningsfuld model [7] . Der er ingen etableret terminologi her, og andre forfattere kalder dette ideelle objekt for en konceptuel model [8] , en spekulativ model [B: 10] [9] eller en præmodel [10] . I dette tilfælde kaldes den endelige matematiske konstruktion en formel model eller blot en matematisk model opnået som et resultat af formaliseringen af denne indholdsmodel (præ-model). En meningsfuld model kan bygges ved hjælp af et sæt færdige idealiseringer, som i mekanik, hvor ideelle fjedre, stive kroppe, ideelle penduler, elastiske medier osv. giver færdige strukturelle elementer til meningsfuld modellering. Men inden for vidensområder, hvor der ikke er fuldt udfyldte formaliserede teorier (forkanten af fysik , biologi , økonomi , sociologi , psykologi og de fleste andre områder), bliver skabelsen af meningsfulde modeller meget mere kompliceret.
Peierls [11] giver en klassifikation af matematiske modeller, der bruges i fysik og mere generelt inden for naturvidenskab. I bogen af A. N. Gorban og R. G. Khlebopros [12] er denne klassifikation analyseret og udvidet. Denne klassifikation er primært fokuseret på stadiet med at konstruere en meningsfuld model.
HypoteseModeller af den første type - hypoteser ( "dette kunne være" ), "repræsenterer en prøvebeskrivelse af fænomenet, og forfatteren tror enten på dets mulighed eller anser det endda for sandt." Ifølge Peierls er det for eksempel Ptolemæus-modellen af solsystemet og den kopernikanske model (forbedret af Kepler ), Rutherfords model af atomet og Big Bang -modellen .
Modelhypoteser i videnskaben kan ikke bevises én gang for alle, man kan kun tale om deres afkræftelse eller ikke-afkræftelse som et resultat af eksperimentet [13] .
Hvis der bygges en model af den første type, betyder det, at den midlertidigt anerkendes som sand, og man kan koncentrere sig om andre problemer. Dette kan dog ikke være et punkt i forskningen, men kun en midlertidig pause: Status for modellen af den første type kan kun være midlertidig.
Fænomenologisk modelDen anden type, den fænomenologiske model ( "vi opfører os som om..." ) indeholder en mekanisme til at beskrive fænomenet, selvom denne mekanisme ikke er overbevisende nok, ikke kan bekræftes tilstrækkeligt af de tilgængelige data eller er dårligt i overensstemmelse med de tilgængelige teorier og akkumuleret viden om objektet. Derfor har fænomenologiske modeller status som midlertidige løsninger. Det menes, at svaret stadig er ukendt, og jagten på "sande mekanismer" skal fortsætte. Peierls refererer for eksempel kaloriemodellen og kvarkmodellen af elementarpartikler til den anden type.
Modellens rolle i forskningen kan ændre sig over tid, det kan ske, at nye data og teorier bekræfter fænomenologiske modeller, og de forfremmes til status som en hypotese. På samme måde kan ny viden gradvist komme i konflikt med modeller-hypoteser af den første type, og de kan overføres til den anden. Kvarkmodellen bevæger sig således gradvist ind i kategorien hypoteser; atomismen i fysikken opstod som en midlertidig løsning, men med historiens gang gik den over i den første type. Men ætermodellerne er gået fra type 1 til type 2, og nu er de uden for videnskaben.
Ideen om forenkling er meget populær, når man bygger modeller. Men forenkling er anderledes. Peierls skelner mellem tre typer forenklinger i modellering.
TilnærmelseDen tredje type modeller er tilnærmelser ( "vi betragter noget meget stort eller meget lille" ). Hvis det er muligt at konstruere ligninger, der beskriver det undersøgte system, betyder det ikke, at de kan løses selv ved hjælp af en computer. En almindelig teknik i dette tilfælde er brugen af tilnærmelser (modeller af type 3). Blandt dem er lineære responsmodeller . Ligningerne erstattes af lineære. Standardeksemplet er Ohms lov .
Hvis vi bruger den ideelle gasmodel til at beskrive tilstrækkeligt fordærvede gasser, så er der tale om en type 3-model (tilnærmelsesvis). Ved højere gastætheder er det også nyttigt at forestille sig en enklere ideel gassituation til kvalitativ forståelse og evaluering, men så er det allerede type 4.
ForenklingDen fjerde type er forenkling ( "vi udelader nogle detaljer for klarhedens skyld" ), i denne type kasseres detaljer, der mærkbart og ikke altid kontrollerbart kan påvirke resultatet. De samme ligninger kan fungere som en Type 3 (tilnærmelse) eller Type 4 (udenladt nogle detaljer for klarhedens skyld) model, afhængigt af det fænomen, modellen bruges til at studere. Så hvis lineære responsmodeller bruges i fravær af mere komplekse modeller (det vil sige, ikke-lineære ligninger er ikke lineariserede, men der søges blot efter lineære ligninger, der beskriver objektet), så er disse allerede fænomenologiske lineære modeller , og de tilhører følgende type 4 (alle ikke-lineære detaljer " udeladt for klarhedens skyld).
Eksempler: anvendelse af en ideel gasmodel til en ikke-ideel, van der Waals tilstandsligning , de fleste modeller af faststof- , væske- og kernefysik . Vejen fra en mikrobeskrivelse til egenskaberne af legemer (eller medier), der består af et stort antal partikler, er meget lang. Mange detaljer skal udelades. Dette fører til modeller af den fjerde type.
Heuristisk modelDen femte type er en heuristisk model ( "der er ingen kvantitativ bekræftelse, men modellen bidrager til en dybere indsigt i sagens væsen" ), en sådan model bevarer kun en kvalitativ lighed med virkeligheden og giver kun forudsigelser "i rækkefølge størrelse”. Et typisk eksempel er den gennemsnitlige frie vejtilnærmelse i kinetisk teori . Det giver enkle formler for koefficienterne for viskositet , diffusion , termisk ledningsevne , i overensstemmelse med virkeligheden i størrelsesorden.
Men når man bygger en ny fysik, får man langt fra umiddelbart en model, der i det mindste giver en kvalitativ beskrivelse af objektet - en model af den femte type. I dette tilfælde bruges en model ofte analogt , der afspejler virkeligheden i det mindste på en eller anden måde.
AnalogiDen sjette type er en analogimodel ( "lad os kun tage nogle funktioner i betragtning" ). Peierls giver en historie om brugen af analogier i Heisenbergs første papir om atomkræfternes natur [14] .
TankeeksperimentDen syvende modeltype er tankeeksperimentet ( "det vigtigste er at tilbagevise muligheden" ). Denne type simulering blev ofte brugt af Einstein, især et af disse eksperimenter førte til konstruktionen af den særlige relativitetsteori . Antag, at vi i klassisk fysik følger en lysbølge med lysets hastighed. Vi vil observere et elektromagnetisk felt, der periodisk ændrer sig i rummet og konstant i tid . Ifølge Maxwells ligninger kan dette ikke være tilfældet. Herfra konkluderede Einstein: enten ændres naturlovene, når referencerammen ændres, eller lysets hastighed afhænger ikke af referencerammen , og valgte den anden mulighed.
Demonstration af mulighedenDen ottende type er en demonstration af muligheden ( "det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng" ), sådanne modeller er også tankeeksperimenter med imaginære enheder, der viser, at det påståede fænomen er i overensstemmelse med de grundlæggende principper og er internt konsekvent. Dette er hovedforskellen fra modeller af type 7, som afslører skjulte modsætninger.
Et af de mest berømte af disse eksperimenter er Lobachevskys geometri . ( Lobachevsky kaldte det "imaginær geometri".) Einstein-Podolsky-Rosen-paradokset blev tænkt som et tankeeksperiment, der skulle demonstrere kvantemekanikkens inkonsistens, men på en uplanlagt måde blev det over tid til en type 8-model - en demonstration af muligheden. kvanteteleportering af information.
Den indholdsmæssige klassificering er baseret på stadierne forud for matematisk analyse og beregninger. Otte typer modeller ifølge Peierls er otte typer forskerstillinger inden for modellering.
Det blev foreslået [B: 11] [B: 12] at skelne mellem tre niveauer af kompleksitet af systemer: simple fysiske, komplekse fysiske og biologiske systemer, og det blev bemærket, at det i de fleste tilfælde er uacceptabelt at reducere mere komplekse systemer til simplere. .
Akademiker A. A. Andronov [B: 1] udpegede tre typer af modelustabilitet forbundet med at lave små ændringer i systemet: 1) ustabilitet til en ændring i de oprindelige betingelser (overtrædelse af Lyapunov-stabilitetstilstanden), 2) ustabilitet til små ændringer i parametre, der ikke fører til en ændring af systemets antal frihedsgrader og 3) ustabilitet til små ændringer i parametre, som medfører en ændring af systemets antal frihedsgrader. Systemer, hvor der er ustabilitet til små ændringer i parametre med en ændring i antallet af frihedsgrader af systemet, var det sædvanligt at betegne som " ikke- groft ". Senere blev de omtalt som "hårde" modeller.
Den harmoniske oscillator er et eksempel på en "hård" model; det opnås som et resultat af en stærk idealisering af et virkeligt fysisk system:
,hvor betyder den anden afledte af med hensyn til tid: . Ifølge den formelle klassifikation er denne model lineær, deterministisk, dynamisk, koncentreret, kontinuerlig. I processen med dets konstruktion blev der lavet mange antagelser (om fraværet af ydre kræfter, fraværet af friktion, små afvigelser osv.), som i virkeligheden måske ikke er opfyldt.
I forhold til virkeligheden er dette oftest en type 4-model for forenkling ("vi udelader nogle detaljer for klarhedens skyld"), da nogle væsentlige universelle træk er udeladt (f.eks. dissipation ). I en vis tilnærmelse (f.eks. mens afvigelsen af belastningen fra ligevægt er lille, med lille friktion, i ikke for lang tid og underlagt visse andre forhold), beskriver en sådan model et rigtigt mekanisk system ganske godt, da de kasserede faktorer have en ubetydelig effekt på dens adfærd. Modellen kan dog finpudses ved at tage højde for nogle af disse faktorer. Dette vil føre til en ny model med et bredere (men igen begrænset) anvendelsesområde.
Egenskaberne for en harmonisk oscillator ændres kvalitativt af små forstyrrelser. Hvis vi f.eks. tilføjer et lille led (friktion) ( - en eller anden lille parameter) til højre side, så får vi eksponentielt dæmpede svingninger, hvis vi ændrer fortegnet for tillægsleddet, så vil friktionen blive til pumpning og oscillationen amplituden vil stige eksponentielt.
For at løse spørgsmålet om anvendeligheden af en rigid model er det nødvendigt at forstå, hvor betydningsfulde de faktorer er, som vi har forsømt. Det er nødvendigt at undersøge bløde modeller opnået ved en lille forstyrrelse af den stive. For en harmonisk oscillator kan de for eksempel gives ved følgende ligning:
.Her er en funktion, der kan tage højde for friktionskraften eller fjederens stivhedskoefficients afhængighed af graden af dens strækning. Funktionens eksplicitte form interesserer os ikke i øjeblikket.
Hvis vi beviser, at en blød models adfærd ikke adskiller sig fundamentalt fra en hård models adfærd (uanset den eksplicitte form af de forstyrrende faktorer, hvis de er små nok), vil problemet reduceres til at studere den hårde model. Ellers vil anvendelsen af de opnåede resultater i undersøgelsen af den stive model kræve yderligere forskning.
Hvis et system bevarer sin kvalitative adfærd under en lille forstyrrelse, siges det at være strukturelt stabilt. Den harmoniske oscillator er et eksempel på et strukturelt ustabilt (ikke-ru) system. [B:13] Denne model kan dog anvendes til at studere processer over begrænsede tidsintervaller.
Der er mange problemer forbundet med matematisk modellering. For det første er det nødvendigt at komme med det grundlæggende skema for det objekt, der modelleres, for at gengive det inden for rammerne af idealiseringerne af denne videnskab. Så en togvogn bliver til et system af plader og mere komplekse kroppe lavet af forskellige materialer, hvert materiale er specificeret som dets standard mekaniske idealisering (densitet, elasticitetsmoduler, standard styrkekarakteristika), hvorefter ligninger tegnes undervejs nogle detaljer kasseres som uvæsentlige, der foretages beregninger, sammenlignes med målinger, modellen forfines og så videre. Men for udviklingen af matematiske modelleringsteknologier er det nyttigt at adskille denne proces i dens hovedbestanddele.
Traditionelt er der to hovedklasser af problemer forbundet med matematiske modeller: direkte og omvendt.
Direkte opgave : strukturen af modellen og alle dens parametre anses for kendte, hovedopgaven er at studere modellen for at udtrække nyttig viden om objektet. Hvilken statisk belastning kan broen modstå? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på march af et kompagni af soldater eller på passage af et tog med forskellige hastigheder), hvordan flyet vil overvinde lydmuren, om det vil falde fra hinanden fra flagren - disse er typiske eksempler på en direkte opgave. At indstille det korrekte direkte problem (at stille det rigtige spørgsmål) kræver særlige færdigheder. Hvis de rigtige spørgsmål ikke stilles, kan broen bryde sammen, selvom der er bygget en god model for dens adfærd. Så i 1879 i Storbritannien kollapsede en metaljernbanebro over Firth of Tay , hvis designere byggede en model af broen, beregnede den til en 20-dobbelt sikkerhedsmargen for nyttelasten, men glemte at vinden konstant blæser de steder. Og efter halvandet år brød det sammen. [femten]
I det simpleste tilfælde (f.eks. én oscillatorligning) er det direkte problem meget simpelt og reduceres til en eksplicit løsning af denne ligning.
Omvendt problem : mange mulige modeller er kendt, det er nødvendigt at vælge en specifik model baseret på yderligere data om objektet. Oftest er modellens struktur kendt, og nogle ukendte parametre skal bestemmes. Yderligere information kan bestå i yderligere empiriske data eller i kravene til objektet ( designproblem ). Yderligere data kan komme uafhængigt af processen med at løse det omvendte problem ( passiv observation ) eller være resultatet af et eksperiment, der er specielt planlagt i løbet af løsningen ( aktiv observation ).
Et af de første eksempler på en virtuos løsning af et omvendt problem med den fulde udnyttelse af tilgængelige data var Newtons metode til at rekonstruere friktionskræfter fra observerede dæmpede svingninger.
Et andet eksempel er matematisk statistik . Denne videnskabs opgave er at udvikle metoder til registrering, beskrivelse og analyse af observations- og eksperimentelle data for at opbygge probabilistiske modeller af tilfældige massefænomener [B: 14] . Det vil sige, at sættet af mulige modeller er begrænset af probabilistiske modeller. I specifikke problemer er sættet af modeller mere begrænset.
For at understøtte matematisk modellering er der udviklet computermatematiksystemer, for eksempel Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim , [B: 15] og Scilab osv. De giver dig mulighed for at skabe formelle og blokmodeller af både simple og komplekse processer og enheder og nemt ændre modelparametre under simulering. Blokmodeller er repræsenteret af blokke (oftest grafiske), hvis sæt og forbindelse er specificeret af modeldiagrammet.
Ifølge modellen foreslået af Malthus er vækstraten proportional med den nuværende befolkningsstørrelse , det vil sige, den er beskrevet af differentialligningen:
,hvor er en bestemt parameter bestemt af forskellen mellem fødselsraten og dødsraten. Løsningen til denne ligning er en eksponentiel funktion . Hvis fødselsraten overstiger dødsraten ( ), stiger befolkningens størrelse uendeligt og meget hurtigt. I virkeligheden kan dette ikke ske på grund af begrænsede ressourcer. Når en vis kritisk populationsstørrelse er nået, holder modellen op med at være tilstrækkelig, da den ikke tager højde for de begrænsede ressourcer. En forfining af Malthus-modellen kan tjene som en logistisk model , som er beskrevet af Verhulsts differentialligning :
,hvor er "ligevægts" befolkningsstørrelsen, hvor fødselsraten nøjagtigt kompenseres af dødsraten. Populationsstørrelsen i en sådan model har tendens til ligevægtsværdien , og denne adfærd er strukturelt stabil.
Modellen foreslået i Richard FitzHughs papir fra 1961, [A:2] betragtes almindeligvis som et klassisk eksempel på studiet af konceptuelle modeller af hurtigt-langsomme systemer . I sin kanoniske form skrives det [A: 3] som
.Richard FitzHugh udledte denne model som et resultat af en generalisering af van der Pol -ligningen og en model foreslået af den tyske kemiker Karl-Friedrich Bonhoeffer . Mens van der Pol-ligningen (og det tilsvarende system) er en konceptuel grænsecyklusmodel , er Bonhoeffer-van der Pol-ligningen (og det tilsvarende system) klassificeret som en konceptuel model af autobølgeprocesser . På grundlag heraf er der skabt et stort antal emnemæssige, formelt kinetiske, modeller af kemiske og biologiske svingningssystemer.
Lad os sige, at to typer dyr lever i et bestemt område : kaniner (spiser planter ) og ræve (spiser kaniner). Lad antallet af kaniner , antallet af ræve . Ved at bruge Malthus- modellen med de nødvendige rettelser, under hensyntagen til ræves spisning af kaniner, kommer vi frem til følgende system, som bærer navnet på Lotka-Volterra-modellen :
Dette systems adfærd er ikke strukturelt stabil : en lille ændring i modellens parametre (for eksempel under hensyntagen til de begrænsede ressourcer, som kaniner har brug for) kan føre til en kvalitativ ændring i adfærd .
For nogle parameterværdier har dette system en ligevægtstilstand, når antallet af kaniner og ræve er konstant. Afvigelse fra denne tilstand fører til gradvist dæmpede udsving i antallet af kaniner og ræve.
Den modsatte situation er også mulig, når enhver lille afvigelse fra ligevægtspositionen vil føre til katastrofale konsekvenser, op til den fuldstændige udryddelse af en af arterne. På spørgsmålet om, hvilke af disse scenarier der implementeres, giver Volterra-Lotka-modellen ikke et svar: yderligere forskning er påkrævet her.
Grene af matematik | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Portal "Science" | ||||||||||
Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra | ||||||||||
Talteori ( aritmetik ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|
Ordbøger og encyklopædier | ||||
---|---|---|---|---|
|