Formel Cardano

Cardano- formlen er en formel til at finde rødderne til den kanoniske form af en kubisk ligning

y^{3}+py+q=0

over feltet af komplekse tal . Den er opkaldt efter den italienske matematiker Gerolamo Cardano , som udgav den i 1545 [1] . I 1545 anklagede Niccolo Tartaglia Cardano for plagiat: sidstnævnte afslørede i afhandlingen Ars Magna en algoritme til løsning af kubiske ligninger, betroet ham af Tartaglia i 1539 under et løfte om ikke at offentliggøre. Selvom Cardano ikke tilskrev sig selv algoritmen og ærligt udtalte i bogen, at forfatterne var Scipio del Ferro og Tartaglia, er algoritmen nu kendt under det ufortjente navn "Cardanos formel" [2] .

Enhver kubisk ligning af generel form

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

ved at ændre variablen

x=y-{\frac {b}{3a))

kan reduceres til ovenstående kanoniske form med koefficienterne

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Formel

Lad os definere værdien [3] :

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Hvis alle koefficienter i en kubisk ligning er reelle , så er Q også reel, og dets fortegn kan bruges til at bestemme typen af rødder [3] :

Q > 0 — en reel rod og to konjugerede komplekse rødder.
Q = 0 er en enkelt reel rod og en dobbelt reel rod, eller, hvis p = q = 0, så en tredobbelt reel rod.
Q < 0 er tre reelle rødder. Dette er det såkaldte " irreducible " tilfælde, og det var i analysen af denne situation, at begrebet et komplekst tal først historisk opstod, fordi det reelle resultat opnås ved en formel, der bruger komplekse tal [3] .

Ifølge Cardanos formel er rødderne til en kubisk ligning i kanonisk form:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

hvor

\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},

I dette tilfælde er diskriminanten af polynomiet lig med . $y^{3}+py+q$ $\Delta=-108Q$

Ved at anvende disse formler er det for hver af de tre værdier nødvendigt at tage en, for hvilken betingelsen er opfyldt (en sådan værdi eksisterer altid). $\alfa$ $\beta$ $\alpha \beta=-p/3$ $\beta$

Hvis den kubiske ligning er reel, anbefales det at vælge reelle værdier, når det er muligt . $\alfa ,\beta$

Konklusion

Vi repræsenterer ligningen i formen

\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

hvor er ligningens rødder. Derefter $y_{i}$

\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Lad os acceptere:

\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

Så ved at løse ligning (3) får vi

\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)

En af rødderne vil være . Hvis vi erstatter det med den oprindelige ligning, får vi: $\ y=\alpha +\beta$

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

Ved at erstatte q fra (3), kommer vi til systemet:

\venstre\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix }}\ret.

Ved at vide, at summen i det generelle tilfælde ikke er lig med nul, får vi systemet

\alfa +\beta

\venstre\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.

som svarer til systemet

\venstre\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3 }=-q=-n\end{matrix}}\right.

Sidstnævnte er Vieta-formlerne for to rødder og en andengradsligning: $\alpha ^{3}$ $\beta ^{3}$

\z^{2}+nz+m=0

De resterende to rødder findes ved at faktorisere polynomiet

\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta

Se også

Litteratur

Gusak A. A., Gusak G. M., Brichikova E. A. Håndbog i højere matematik i to bind. - Minsk: Tetrasystems, 1999. - 640 s. — ISBN 985-6317-51-7 .
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.

Noter

↑ Stillwell D. Matematik og dens historie . - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - S. 101. - 530 s. Arkiveret 21. oktober 2014 på Wayback Machine Arkiveret kopi (link utilgængeligt) . Hentet 20. maj 2020. Arkiveret fra originalen 21. oktober 2014. (ubestemt)
↑ Stillwell D. Matematik og dens historie. - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - S. 101. - 530 s.
↑ 1 2 3 Håndbog i højere matematik, 1999 , s. 144.

Formel Cardano

Formel

Se også

Litteratur

Noter

Links