Gruppeteori

Gruppeteori er en gren af generel algebra , der studerer algebraiske strukturer kaldet grupper og deres egenskaber. Gruppen er et centralt begreb i generel algebra, da mange vigtige algebraiske strukturer såsom ringe , felter , vektorrum , er grupper med et udvidet sæt af operationer og aksiomer . Grupper optræder inden for alle matematikkens områder, og gruppeteoriens metoder har en stærk indflydelse på mange grene af algebra. I processen med at udvikle gruppeteori blev der bygget et kraftfuldt værktøjssæt, som i vid udstrækning bestemte detaljerne for generel algebra som helhed, og dets egen ordliste blev dannet, hvoraf elementer er aktivt lånt af relaterede grene af matematik og applikationer. De mest udviklede grene af gruppeteori - lineære algebraiske grupper og Lie-grupper - blev uafhængige grene af matematikken.

Forskellige fysiske systemer, såsom krystaller eller brintatomet , har symmetrier, der kan modelleres af symmetrigrupper , og finder således vigtige anvendelser af gruppeteori og dens nært beslægtede repræsentationsteori i fysik og kemi .

Et af de mest betydningsfulde matematiske gennembrud i det 20. århundrede [1] var den fuldstændige klassificering af simple finite grupper - resultatet af mange matematikeres fælles indsats, der besatte mere end 10 tusinde trykte sider, hvoraf hovedparten blev udgivet fra 1960 til 1980.

Historie

Gruppeteori har tre historiske rødder: teorien om algebraiske ligninger , talteori og geometri . Matematikerne bag gruppeteoriens oprindelse er Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss , Joseph Louis Lagrange , Niels Henrik Abel og Evariste Galois . Galois var den første matematiker til at forbinde gruppeteori med en anden gren af abstrakt algebra, feltteori , og udviklede teorien, der nu kaldes Galois-teorien .

Et af de første problemer, der førte til fremkomsten af gruppeteori, var problemet med at opnå en ligning af grad m , der ville have m rødder af en given ligning af grad n ( m < n ). Dette problem blev overvejet i simple tilfælde af Hudde (1659). I 1740 lagde Saunderson mærke til, at det at finde andengradsfaktorer for bikvadratiske udtryk reduceres til at løse en sjettegradsligning, og Le Seur (1748) og Waring (fra 1762 til 1782) udviklede denne idé.

Det generelle grundlag for ligningsteorien, baseret på teorien om permutationer , blev fundet af Lagrange i 1770-1771, og på dette grundlag voksede teorien om substitutioner efterfølgende. Han fandt ud af, at rødderne til alle de opløsningsmidler , han stødte på, var rationelle funktioner af rødderne til de tilsvarende ligninger. For at studere disse funktioners egenskaber udviklede han "kombinationsregningen" ( Calcul des Combinaisons ). Et nutidigt værk af Vandermonde (1770) forudså også udviklingen af gruppeteori.

Paolo Ruffini foreslog i 1799 et bevis på uløseligheden af ligninger af femte og højere grad i radikaler. Til beviset brugte han begreberne gruppeteori, selvom han kaldte dem ved andre navne. Ruffini udgav også et brev skrevet til ham af Abbati, hvis tema var gruppeteori.

Galois opdagede, at hvis en algebraisk ligning har flere rødder, så eksisterer der altid en gruppe af permutationer af disse rødder, således at

enhver funktion , der er invariant under gruppepermutationer, er rationel og omvendt,
enhver rationel funktion af rødder er invariant under permutationer af gruppen. Han udgav sine første værker om gruppeteori i 1829, i en alder af 18 år, men de forblev praktisk talt ubemærket, indtil hans samlede værker blev offentliggjort i 1846 .

Arthur Cayley og Augustin Louis Cauchy var blandt de første matematikere til at forstå betydningen af gruppeteori. Disse videnskabsmænd beviste også nogle vigtige teoremer i teorien. [2] Emnet, de studerede, blev populært af Serret , som viede et afsnit til teorien fra sin bog om algebra, af Jordan , hvis værk Traité des Substitutions blev en klassiker, og af Eugen Netto (1882). Mange andre matematikere i det 19. århundrede ydede også store bidrag til udviklingen af gruppeteori : Bertrand , Hermite , Frobenius , Kronecker og Mathieu .

Den moderne definition af begrebet "gruppe" blev først givet i 1882 af Walther von Dyck [3] .

I 1884 påbegyndte Sophus Lie undersøgelsen af, hvad vi nu kalder Lie-grupper og deres diskrete undergrupper som transformationsgrupper hans skrifter blev fulgt af Killing , Studi , Schur , Maurer og Elie Cartan . Teorien om diskrete grupper blev udviklet af Klein , Lie, Poincare og Picard i forbindelse med studiet af modulære former og andre objekter.

I midten af det 20. århundrede (for det meste mellem 1955 og 1983) blev der udført et enormt arbejde med klassificeringen af alle endelige simple grupper , inklusive titusindvis af sider med papirer.

Mange andre matematikere gav også håndgribelige bidrag til gruppeteori, såsom Artin , Emmy Noether , Ludwig Sylow og andre.

Kort beskrivelse af teorien

Begrebet en gruppe opstod som et resultat af en formel beskrivelse af geometriske objekters symmetri og ækvivalens. I Felix Kleins Erlangen-program var studiet af geometri forbundet med studiet af de tilsvarende grupper af transformationer. For eksempel, hvis figurer på flyet er givet , så finder gruppen af bevægelser ud af deres lighed.

Definition . En gruppe er et sæt elementer (endelig eller uendelig), hvorpå multiplikationsoperationen [4] er givet , som opfylder følgende fire aksiomer:

En gruppes lukkethed med hensyn til multiplikationsoperationen . For alle to elementer i gruppen er der et tredje, som er deres produkt:

1)~~~\foralt A,B\i G:~~~\eksisterer C\i G~~~A\cdot B=C;

Associativitet af multiplikationsoperationen . Rækkefølgen, hvori multiplikationen udføres, er ikke signifikant:

2)~~~\foralt A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;

Eksistensen af et enkelt element . Der er et eller andet element E i gruppen, hvis produkt med et hvilket som helst element A i gruppen giver det samme element A :

3)~~~\eksisterer E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;

Eksistensen af et omvendt element . For ethvert element A i gruppen er der et element A −1 , således at deres produkt giver identitetselementet E :

4)~~~\forall A\in G:~~~\eksisterer A^{{-1}}\i G:~~~A\cdot A^{{-1}}=A^{{-1 }}\cdot A=E.

Gruppens aksiomer regulerer på ingen måde afhængigheden af multiplikationsoperationen af rækkefølgen af faktorer. Derfor påvirker ændring af rækkefølgen af faktorerne generelt produktet produktet. Grupper, for hvilke produktet ikke afhænger af rækkefølgen af faktorer, kaldes kommutative eller abelske grupper. For en abelsk gruppe

\foralt A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.

Abelske grupper er ret sjældne i fysiske applikationer. Oftest er grupper, der har fysisk betydning, ikke -abelske :

\eksisterer A,B\i G:~~~A\cdot B\ikke =B\cdot A.

Finite grupper af lille størrelse er bekvemt beskrevet ved hjælp af den såkaldte "multiplikationstabeller". I denne tabel svarer hver række og hver kolonne til ét element i gruppen, og resultatet af multiplikationsoperationen for de tilsvarende elementer er placeret i cellen i skæringspunktet mellem rækken og kolonnen.

Nedenfor er et eksempel på en multiplikationstabel ( Cayley tables ) for en gruppe af fire elementer: (1, −1, i, −i), hvor operationen er den sædvanlige aritmetiske multiplikation:

	en	−1	jeg	−i
en	en	−1	jeg	−i
−1	−1	en	−i	jeg
jeg	jeg	−i	−1	en
−i	−i	jeg	en	−1

Identitetselementet her er 1, inverserne af 1 og -1 er sig selv, og elementerne i og -i er hinandens invers.

Hvis en gruppe har et uendeligt antal elementer, så kaldes det en uendelig gruppe .

Når elementerne i en gruppe kontinuerligt afhænger af nogle parametre, kaldes gruppen kontinuert eller Lie-gruppe . Det siges også, at en Lie-gruppe er en gruppe, hvis sæt af elementer danner en glat manifold . Ved hjælp af Lie- grupper som symmetrigrupper findes løsninger af differentialligninger .

Grupper bruges allestedsnærværende i matematik og naturvidenskab, ofte for at opdage objekters indre symmetri ( automorfigrupper ). Intern symmetri er normalt forbundet med invariante egenskaber; det sæt af transformationer, der bevarer denne egenskab, danner sammen med kompositionsoperationen en gruppe kaldet symmetrigruppen.

I Galois-teorien, som gav anledning til begrebet en gruppe, bruges grupper til at beskrive symmetrien af ligninger, hvis rødder er rødderne til en polynomialligning . På grund af den vigtige rolle, de spiller i denne teori, får opløselige grupper deres navn .

I algebraisk topologi bruges grupper til at beskrive invarianter af topologiske rum [5] . Med invarianter mener vi her rummets egenskaber, der ikke ændres med en vis deformation af det. Eksempler på denne brug af grupper er grundlæggende grupper , homologi og kohomologi grupper .

Lie-grupper anvendes i studiet af differentialligninger og manifolder ; de kombinerer gruppeteori og beregning . Det analysefelt, der er knyttet til disse grupper, kaldes harmonisk analyse .

I kombinatorik bruges begreberne en permutationsgruppe og gruppehandling til at forenkle optællingen af antallet af elementer i et sæt; især Burnsides lemma bruges ofte .

En forståelse af gruppeteori er også meget vigtig for fysik og andre naturvidenskaber. I kemi bruges grupper til at klassificere krystalgitre og molekylære symmetrier . I fysik bruges grupper til at beskrive de symmetrier, der styrer fysiske love. Særligt vigtige i fysik er grupperepræsentationer , især Lie-grupper, da de ofte viser vejen til "mulige" fysiske teorier.

En gruppe kaldes cyklisk , hvis den er genereret af et enkelt element a , det vil sige, at alle dens elementer er potenser af a (eller, for at bruge additiv terminologi, kan repræsenteres som na , hvor n er et heltal ). Matematisk notation :. $(G,\cdot )$ $G=\langle a\rangle$

En gruppe siges at handle på et sæt, $G$ $M$ hvis der er givet en homomorfi fra gruppen til gruppen af alle permutationer af sættet . For kortheds skyld skrives det ofte som eller . $\Phi :G\til S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g))(m)$ $gm$ $gm$

Gruppeeksempler

Den enkleste gruppe er gruppen med den sædvanlige aritmetiske multiplikationsoperation, som består af elementet 1. Elementet 1 er gruppens identitetselement og er det omvendte af sig selv:

	en
en	en

Det næste simple eksempel er en gruppe med den sædvanlige aritmetiske multiplikationsoperation, som består af elementerne (1, −1). Element 1 er identitetselementet i gruppen, begge elementer i gruppen er omvendt til sig selv:

	en	−1
en	en	-en
-en	-en	en

En gruppe med hensyn til den sædvanlige aritmetiske operation af multiplikation er et sæt bestående af fire elementer (1, −1, i, -i). Identitetselementet her er 1, inverserne af 1 og −1 er sig selv, og elementerne i og -i er hinandens invers.

	en	−1	jeg	-jeg
en	en	-en	jeg	-jeg
-en	-en	en	-jeg	jeg
jeg	jeg	-jeg	-en	en
-jeg	-jeg	jeg	en	-en

En gruppe er to rotationer af rummet med 0° og 180° omkring den samme akse, hvis produktet af to rotationer er deres sekventielle udførelse. Denne gruppe betegnes normalt C 2 . Den er isomorf (det vil sige identisk) med ovenstående gruppe med grundstofferne 1 og -1. Rotation med 0°, da den er identisk, er angivet i tabellen med bogstavet E.

C2 _	E	R180 _
E	E	R180 _
R180 _	R180 _	E

Gruppen sammen med identitetstransformationen E dannes af inversionsoperationen I, som vender retningen af hver vektor. En gruppeoperation er den sekventielle udførelse af to inversioner. Denne gruppe betegnes sædvanligvis S 2 . Det er isomorf til ovennævnte gruppe C 2 .

S2 _	E	jeg
E	E	jeg
jeg	jeg	E

Analogt med C 2 -gruppen kan man konstruere C 3 -gruppen bestående af planrotationer gennem vinkler på 0°, 120° og 240°. Vi kan sige, at gruppen C 3 er en gruppe af rotationer, der tager en regulær trekant til sig.

C3 _	E	120 kr _	R240 _
E	E	120 kr _	R240 _
120 kr _	120 kr _	R240 _	E
R240 _	R240 _	E	120 kr _

Tilføjer vi refleksioner af en trekant omkring dens tre symmetriakser (R 1 , R 2 , R 3 ) til C 3 -gruppen , så får vi en komplet gruppe af operationer, der tager trekanten ind i sig selv. Denne gruppe kaldes D 3 .

D3 _	E	120 kr _	R240 _	R1 _	R2 _	R3 _
E	E	120 kr _	R240 _	R1 _	R2 _	R3 _
120 kr _	120 kr _	R240 _	E	R2 _	R3 _	R1 _
R240 _	R240 _	E	120 kr _	R3 _	R1 _	R2 _
R1 _	R1 _	R3 _	R2 _	E	R240 _	120 kr _
R2 _	R2 _	R1 _	R3 _	120 kr _	E	R240 _
R3 _	R3 _	R2 _	R1 _	R240 _	120 kr _	E

Mængden af alle rotationer omkring en akse danner en kontinuerlig gruppe kaldet R 2 . Dens elementer vil blive betegnet med symbolerne R ( a ), hvor a er rotationsvinklen, som er inden for 0 ≤ a < 360°. For denne gruppe er multiplikationstabellen uendelig, så gruppen beskrives med den generelle formel

R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).

Da resultatet af to på hinanden følgende rotationer omkring den samme akse ikke afhænger af rotationsrækkefølgen, er gruppen R 2 kommutativ. Det omvendte element i en gruppe er defineret af formlen

R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).

Gruppen R 3 er en gruppe af alle mulige rotationer af tredimensionelt rum omkring akser, der går gennem et punkt. Denne gruppe er kuglens symmetrigruppe. Hvert element i gruppen R (α,β, a ) er specificeret af tre parametre: α og β er Euler-vinklerne, der angiver aksens position, a er rotationsvinklen.

Gruppen S n eller den symmetriske gruppe af orden n er samlingen n ! alle mulige permutationer af n elementer. En permutation er bekvemt angivet med symbolet

P={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\end{pmatrix)),

angiver, at elementet n erstattes af elementet pn , når det er permuteret . Det omvendte element for elementet P vil være elementet

P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix)).

Interessant nok er gruppen S 3 isomorf til gruppen D 3 , da sidstnævnte indeholder alle mulige transformationer, der tager trekanten ind i sig selv, og transformationen af trekanten kan gives ved forskellige permutationer af dens tre hjørner:

E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix));~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix));~R_{240 }={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix));

R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix));~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix));~~ ~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.

Den multiplikative gruppe af restringen (hvor er et naturligt tal) er en gruppe dannet af coprime med rester ( ) modulo F.eks. $G(n)$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $n.$ $G(2)=\{1\},\quad G(3)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\ca. \mathbb {Z} _{2 },\quad \quad G(5)\approx \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7) \approx \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\approx \mathbb {Z} _{2}\ gange \mathbb {Z} _{2}.$

Abelske grupper

En abelsk gruppe er en gruppe , hvor gruppeoperationen er kommutativ ; det vil sige, at gruppen er abelsk hvis for to elementer . $G$ $ab=ba$ $a,\;b\i G$

Gruppeoperationen i abelske grupper kaldes normalt "addition" og betegnes med . Abelske grupper er grundlaget for at konstruere mere komplekse objekter i abstrakt algebra såsom ringe , felter og moduler . Navnet er givet til ære for den norske matematiker Abel for hans bidrag til studiet af permutationsgrupper. $+$

Eksempler

Gruppen af parallelle oversættelser i lineært rum.
Enhver cyklisk gruppe . Faktisk for enhver, og det er sandt, at $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Især de heltal danner en kommutativ gruppe under addition, ligesom restklasserne gør . $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$
Enhver ring er en kommutativ (abelsk) gruppe ved sin tilføjelse. Inklusive reelle tal med additionsoperation.
De inverterbare elementer i en kommutativ ring , især de ikke-nul elementer i ethvert felt , danner en abelsk gruppe ved multiplikation. For eksempel reelle tal, der ikke er lig med nul, med multiplikationsoperationen.

Relaterede definitioner

I analogi med dimensionen af vektorrum har enhver abelsk gruppe en rang . Det er defineret som minimumsdimensionen af rummet over feltet af rationelle tal, hvori gruppens faktor ved dens torsion er indlejret .

Egenskaber

Endeligt genererede abelske grupper er isomorfe til direkte summer af cykliske grupper .
- Finite abelske grupper er isomorfe til direkte summer af endelige cykliske grupper.
Enhver abelsk gruppe har en naturlig modulstruktur over ringen af heltal . Faktisk, lad være et naturligt tal , og være et element i en kommutativ gruppe med operationen angivet med +, så kan vi definere både ( gange) og . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Udsagn og sætninger, der er sande for abelske grupper (det vil sige moduler over en principiel idealring ) kan ofte generaliseres til moduler over en vilkårlig principiel idealring. Et typisk eksempel er klassificeringen af
endeligt genererede abelske grupper . $\mathbb {Z}$

Sættet af homomorfier af alle gruppehomomorfismer fra til er i sig selv en abelsk gruppe. Faktisk, lad være to gruppe homomorfismer mellem Abelske grupper, så er deres sum , givet som , også en homomorfi (dette er ikke sandt, hvis gruppen er ikke-kommutativ).

\operatørnavn {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\til H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Finite abelske grupper

Den grundlæggende sætning om strukturen af en endelig abelsk gruppe siger, at enhver endelig abelsk gruppe kan dekomponeres i en direkte sum af dens cykliske undergrupper, hvis rækkefølger er primtal . Dette er en konsekvens af den generelle sætning om strukturen af endeligt genererede Abelske grupper for det tilfælde, hvor gruppen ikke har elementer af uendelig rækkefølge. er isomorf til en direkte sum , hvis og kun hvis og er coprime. $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Derfor kan man skrive en abelsk gruppe i form af en direkte sum $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

på to forskellige måder:

Hvor er primtallene $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Hvor deler , hvilke deler , og så videre op til . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

For eksempel kan det dekomponeres i en direkte sum af to cykliske undergrupper af ordre 3 og 5: . Det samme kan siges om enhver abelsk gruppe af orden femten, vi konkluderer, at alle abelske grupper af orden 15 er isomorfe. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z} /15\mathbb{Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variationer og generaliseringer

En differentialgruppe er en abelsk gruppe , hvor en sådan endomorfisme er givet , at . Denne endomorfisme kaldes en differential . Elementer af differentialgrupper kaldes kæder , elementer af kernecyklusserne , elementer af billedgrænserne . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$

Hyperbolske grupper

En endeligt genereret gruppe kaldes hyperbolsk , hvis den er hyperbolsk som et metrisk rum.

Mere detaljeret er der en naturlig metrik på en endeligt genereret gruppe med valgte generatorer, ordbogsmetrikken . En gruppe kaldes hyperbolsk, hvis den, udstyret med denne metrik, viser sig at være hyperbolsk som et metrisk rum. Da når det valgte system af generatorer udskiftes, ændres metrikken kvasi-isometrisk , mens hyperboliciteten af det metriske rum bevares, viser konceptet sig at være uafhængigt af valget af generatorsystemet.

Da hyperbolicitet i en vis forstand er "ligheden" af egenskaberne for et metrisk rum med et træ, er en fri gruppe ( hvis Cayley-graf er et træ) med et hvilket som helst begrænset antal generatorer hyperbolsk.
Gruppen PSL(2,Z) er hyperbolsk.
En endelig gruppe er hyperbolsk.

Hyperbolicitet bevares ved overgang til en undergruppe af endeligt indeks.
Enhver hyperbolsk gruppe præsenteres endeligt : den er givet af et endeligt antal generatorer og et endeligt antal relationer. (Som en konsekvens er hyperbolske grupper - i modsætning til alle grupper generelt - kun tælleligt talrige.)
Hyperbolicitet indebærer (og svarer faktisk til) en lineær isoperimetrisk ulighed : et trivielt ord, skrevet som et produkt af N generatorer, er repræsenteret som et produkt af CN-konjugater til de grundlæggende relationer (med en vis kontrol over længden af konjugerende produkter).

P. de la Harp, E. Gies, Hyperbolske grupper ifølge Mikhail Gromov

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov)

Mikhail Gromov, Hyperbolske grupper. Essays i gruppeteori, 75-263, Matematik. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Repræsentationsteori

Anvendelser af gruppeteori

Der er mange anvendelser af gruppeteori. Mange strukturer af generel algebra kan betragtes som særlige tilfælde af grupper, for eksempel kan ringe betragtes som Abelske grupper (med hensyn til addition) med en anden operation, multiplikation, indført på dem. Derfor ligger grupper til grund for en stor del af teorien om disse objekter.

Galois teori bruger grupper til at beskrive symmetrien af rødderne af et polynomium. Galois-teoriens grundlæggende sætning etablerer en forbindelse mellem algebraiske udvidelser og gruppeteori. Dette giver et effektivt kriterium for opløseligheden af algebraiske ligninger under betingelserne for de tilsvarende Galois-grupper .

Uløste problemer i gruppeteori

Den mest berømte samling af flere tusinde uløste problemer i gruppeteori er Kourovka Notebook .

Noter

↑ Elwes, Richard, " En enorm teorem: klassificeringen af endelige simple grupper, arkiveret 2. februar 2009 på Wayback Machine " Plus Magazine , udgave 41, december 2006.
↑ For eksempel Cayleys sætning og Cauchys sætning
↑ Barut A., Ronchka R. Grupperepræsentationsteori og dens anvendelser, bind 1, 2, M., 1980.
↑ Operationen kaldes normalt " multiplikation ", sjældnere bruges navnet " addition " .
↑ derfor kom for eksempel navnet " torsionsundergruppe " fra

Litteratur

Lyakhovsky V. D., Bolokhov A. A. Symmetrigrupper og elementære partikler, Publishing House of Leningrad State University, 1983.
Barut A., Ronchka R. Repræsentationsteori for grupper og dens anvendelser, bind 1, 2, M., 1980.
Zhelobenko D. P. Compact Lie-grupper og deres repræsentationer, Moskva, 1970.
Zhelobenko D. P., Shtern A. I. Repræsentationer af Lie-grupper, Moskva, 1980.
Kargapolov M. I. , Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory, Nauka Publishing House, 1972.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper og symmetrier. slutgrupper. Løgngrupper og algebraer. Forlaget URSS, 2018.

Links

R. Borcherds (engelsk) , "Group theory" YouTube - playliste
GAP-grupper, algoritmer, programmering af et system til beregningsmæssig diskret algebra
Højere dimensionel gruppeteori
Historien om det abstrakte gruppekoncept
Plus lærer- og elevpakke: Gruppeteori

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX4576398 BNF : 11941215h GND : 4072157-7 J9U : 987007543476605171 LCCN : sh85057512 NDL : 00562608 NKC : ph126556 SUDOC : 027351440

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation