Nej, Emmy

Emmy Noether
tysk  Amalie Emmy Noether
Navn ved fødslen tysk  Amalie Emmy Noether
Fødselsdato 23. marts 1882( 23-03-1882 ) [1] [2] [3] […]
Fødselssted Erlangen , det tyske rige
Dødsdato 14. april 1935( 14-04-1935 ) [4] [1] [2] […] (53 år)
Et dødssted
Land
Videnskabelig sfære matematik
Arbejdsplads
Alma Mater Erlangen Universitet
Akademisk grad doktorgrad ( 1907 ) og habilitering [6] ( 1919 )
videnskabelig rådgiver Paul Gordan
Studerende Van der Waerden, Barthel Leendert
kendt som forfatter til Noethers sætning
Priser og præmier Ackermann-Töbner-prisen
 Mediefiler på Wikimedia Commons

Amalie Emmy Noether ( tysk:  Amalie Emmy Noether ; 1882-1935) var en tysk matematiker bedst kendt for sine bidrag til abstrakt algebra og teoretisk fysik . Pavel Aleksandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl og Norbert Wiener betragtede hende som den mest betydningsfulde kvinde i matematikkens historie [7] [8] [9] . Som en af ​​de største matematikere i det tyvende århundrede revolutionerede hun teorien om ringe , felter og algebraer . I fysik opdagede Noethers teorem først forbindelsen mellem symmetri i naturen og bevarelseslove .

Noether blev født i en jødisk familie i den frankiske by Erlangen . Hendes forældre, matematikeren Max Noether og Ida Amalia Kaufman, kom fra velhavende købmandsfamilier. Noether havde tre brødre: Alfred, Robert og Fritz ( Fritz Maximilianovich Noether ), en tysk og sovjetisk matematiker.

Emmy planlagde oprindeligt at undervise i engelsk og fransk efter at have bestået deres respektive eksamener, men begyndte i stedet at studere matematik på universitetet i Erlangen , hvor hendes far underviste. Efter at have forsvaret sin afhandling i 1907, skrevet under tilsyn af Paul Gordan , arbejdede hun gratis på det matematiske institut ved universitetet i Erlangen i syv år (på det tidspunkt var det næsten umuligt for en kvinde at tage en akademisk stilling).

I 1915 flyttede Noether til Göttingen , hvor de berømte matematikere David Hilbert og Felix Klein fortsatte med at arbejde på relativitetsteorien , og Noethers viden om invariant teori var nødvendig for dem. Hilbert forsøgte at gøre Noether til privatdozent ved universitetet i Göttingen , men alle hans forsøg mislykkedes på grund af professoratets fordomme, primært inden for filosofiske videnskaber. Noether holdt dog ofte foredrag for Hilbert uden at have noget embede. Først i slutningen af ​​Første Verdenskrig kunne hun blive privatdozent  - i 1919 , derefter freelanceprofessor (1922).

Noether holdt sig til socialdemokratiske synspunkter. I 10 år af sit liv samarbejdede hun med matematikere i USSR ; i det akademiske år 1928/1929 kom hun til USSR og holdt forelæsninger ved Moskva Universitet , hvor hun påvirkede L. S. Pontryagin [10] og især P. S. Aleksandrov , som ofte havde været i Göttingen før.

Noether var et af de førende medlemmer af Institut for Matematik ved Universitetet i Göttingen , hendes studerende kaldes undertiden "Noether-drenge". I 1924 sluttede den hollandske matematiker Barthel van der Waerden sig til hendes kreds og blev snart den førende eksponent for Noethers ideer: hendes arbejde var grundlaget for andet bind af hans berømte lærebog Modern Algebra fra 1931 Da Noether talte ved plenarmødet i den internationale matematikkongres i Zürich i 1932, var hendes fine algebraiske sans anerkendt over hele verden. Sammen med sin elev Emil Artin modtager hun Ackermann-Töbner -prisen for præstationer i matematik.

Efter at nazisterne kom til magten i 1933, blev jøder fjernet fra undervisningen på universitetet, og Noether måtte emigrere til USA , hvor hun blev lærer på et kvindekollegium i Bryn Mawr ( Pennsylvania ).

Noethers matematiske værker er opdelt i tre perioder [11] . I den første periode (1908-1919) udviklede hun teorien om invarianter og talfelter. Hendes differentialinvariantsætning i variationsregningen , Noethers sætning , er blevet kaldt "en af ​​de vigtigste matematiske sætninger brugt i moderne fysik" [12] . I sin anden periode (1920-1926) påtog hun sig arbejde, der "ændrede [abstrakt] algebras ansigt" [13] . I sin klassiske Idealtheorie in Ringbereichen ("The Theory of Ideals in Rings", 1921) [1] Arkiveret 3. oktober 2017 på Wayback Machine udviklede Noether en teori om idealer for kommutative ringe , der er velegnet til en bred vifte af anvendelser. Hun fandt en pæn måde at bruge den stigende kædetilstand på , og genstande, der opfylder denne betingelse, kaldes Noetherian efter hende. Den tredje periode (1927-1935) er præget af hendes publikationer om ikke- kommutativ algebra og hyperkomplekse tal , Noether kombinerede teorien om grupperepræsentationer med teorien om moduler og idealer. Ud over sine egne publikationer delte Noether generøst sine ideer med andre matematikere. Nogle af disse ideer var langt fra hovedstrømmen af ​​Noethers forskning, såsom inden for algebraisk topologi .

Oprindelse og personligt liv

Aleksandrov Pavel Sergeevich

Toppen af ​​alt, hvad jeg hørte denne sommer i Göttingen , var Emmy Noethers forelæsninger om den generelle teori om idealer ... Selvfølgelig blev selve begyndelsen af ​​teorien lagt af Dedekind , men kun begyndelsen: teorien om idealer i alle de rigdommen af ​​dens ideer og fakta, en teori, der har haft så stor en indflydelse på moderne matematik, er skabelsen af ​​Emmy Noether. Jeg kan bedømme dette, fordi jeg kender både Dedekinds arbejde og Noethers hovedværker om idealteori.
Noethers foredrag fængslede både mig og Urysohn. De var ikke strålende i formen, men de erobrede os med rigdommen af ​​deres indhold. Vi så konstant Emmy Noether i en afslappet atmosfære og talte meget med hende, både om emnerne i teorien om idealer og om emnerne i vores arbejde, som umiddelbart interesserede hende.
Vores bekendtskab, som begyndte levende denne sommer, blev meget dybere den følgende sommer, og derefter, efter Urysohns død, blev det til det dybe matematiske og personlige venskab, der eksisterede mellem Emmy Noether og mig indtil slutningen af ​​hendes liv. Den sidste manifestation af dette venskab fra min side var en tale til minde om Emmy Noether ved et møde i Moskvas internationale topologiske konference i august 1935.

Emmys far, Max Noether (1844–1921), kom fra en velhavende familie af hardwaregrossister fra Mannheim  - hans bedstefar Elias Samuel grundlagde familiehandelsfirmaet i Bruchsal i 1797. I en alder af 14 blev han på grund af polio lammet. Senere genvandt han sin kapacitet, men det ene ben forblev ubevægeligt. I 1868 modtog Max Noether, efter syv års for det meste uafhængige studier, sin doktorgrad fra universitetet i Heidelberg . Max Noether slog sig ned i den bayerske by Erlangen , hvor han mødte og giftede sig med Ida Amalia Kaufmann (1852-1915), datter af en velhavende Køln -købmand Markus Kaufmann [14] [15] [16] . Efter i Alfred Clebschs fodspor ydede Max Noether et stort bidrag til udviklingen af ​​algebraisk geometri . De mest berømte resultater af hans arbejde er Brill-Noether-sætningen og AF + BG - sætningen .

Emmy Noether blev født den 23. marts 1882, hun var den ældste af fire børn. I modsætning til populær tro er "Emmy" ikke en forkortet version af navnet Amalia, men et mellemnavn for Noether. Navnet "Amalia" blev givet til hende til ære for hendes mor og bedstemor Amalia (Malchen) Würzburger (1812-1872); men allerede ret tidligt gav pigen fortrinsret til mellemnavnet, selvom hun i officielle dokumenter optræder som Amalia Emmy eller Emmy Amalia [17] [18] [19] [20] . Emmy var et charmerende barn, kendetegnet ved intelligens og venlighed. Noether havde nærsynethed og lippede lidt som barn. År senere fortalte en familieven historien om, hvordan den unge Noether til en børnefest nemt fandt løsningen på et puslespil og viste sin logiske indsigt i så tidlig en alder.[ præciser ] [21] . Som barn tog Noether klaverundervisning , mens de fleste unge piger lærte madlavning og rengøring. Men hun følte ikke lidenskab for denne type aktivitet, men hun elskede at danse [22] [23] .

Noether havde tre yngre brødre. Den ældste, Alfred, blev født i 1883, og fik i 1909 sin doktorgrad i kemi fra universitetet i Erlangen. Efter 9 år døde han. Fritz Noether , født i 1884, fik succes i anvendt matematik efter at have studeret i München . Den 8. september 1941 blev han skudt nær Orel . En yngre bror, Gustav Robert, blev født i 1889, og meget lidt er kendt om hans liv; han led af kronisk sygdom og døde i 1928 [24] [25] .

Noethers personlige liv fungerede ikke. Ikke-anerkendelse, eksil, ensomhed i et fremmed land skulle tilsyneladende have ødelagt hendes karakter. Ikke desto mindre fremstod hun næsten altid rolig og velvillig. Hermann Weil skrev det endda glad.

Læring og undervisning

University of Erlangen

Ikke let at lære fransk og engelsk. I foråret 1900 bestod hun lærereksamen i disse sprog og fik en samlet karakter på "meget god". Noethers kvalifikationer gjorde det muligt for hende at undervise i sprog på pigeskoler, men hun valgte at studere videre på universitetet i Erlangen .

Det var en uklog beslutning. To år tidligere meddelte det akademiske råd på universitetet, at indførelsen af ​​co-education ville "ødelægge det akademiske grundlag" [26] . På universitetet studerede ud af 986 studerende kun to piger, hvoraf den ene var Noether. Samtidig kunne hun kun deltage i forelæsninger uden ret til at tage eksamen , desuden havde hun brug for tilladelse fra de professorer, hvis forelæsninger hun ønskede at deltage i. På trods af disse forhindringer bestod hun den 14. juli 1903 sin afsluttende eksamen på Nürnberg Real Gymnasium [27] [26] [28] .

I løbet af vinterhalvåret 1903-1904 studerede Noether ved universitetet i Göttingen , hvor han overværede forelæsninger af astronomen Karl Schwarzschild og matematikerne Hermann Minkowski , Otto Blumenthal , Felix Klein og David Hilbert . Snart blev restriktioner for uddannelse af kvinder på dette universitet ophævet.

Noether vendte tilbage til Erlangen og blev officielt genindsat på universitetet den 24. oktober 1904. Hun meddelte sit ønske om udelukkende at studere matematik. Under vejledning af Paul Gordan skrev Noether i 1907 en afhandling om konstruktionen af ​​et komplet system af invarianter af ternære biquadratiske former. Selvom værket blev godt modtaget, kaldte Noether det senere for "junk" [29] [30] [31] .

I de næste syv år (1908-1915) underviste hun gratis på det matematiske institut ved universitetet i Erlangen , og hun afløste nogle gange sin far, da hans helbred gjorde det umuligt at forelæse.

Gordan gik på pension i foråret 1910, men fortsatte lejlighedsvis med at undervise med sin efterfølger, Erhard Schmidt , som flyttede til Wrocław kort derefter . Gordan sluttede endelig sin lærerkarriere i 1911, med Ernst Fischers ankomst i hans sted, og i december 1912 døde han.

Ifølge Hermann Weyl havde Fischer en vigtig indflydelse på Noether, især ved at introducere hende til David Hilberts arbejde . Fra 1913 til 1916 udgav Noether adskillige artikler, der generaliserede og brugte Hilberts metoder til at studere matematiske objekter såsom rationelle funktionsfelter og invarianter med endelige grupper . Denne periode markerer begyndelsen på hendes arbejde i abstrakt algebra, et felt af matematik, hvor hun ville gøre revolutionære opdagelser.

Noether og Fischer havde stor glæde af matematik og diskuterede ofte forelæsningerne, efter at de var blevet afsluttet. Det er kendt, at Noether sendte postkort til Fischer, som viser, hvordan hendes matematiske tanke fortsætter med at fungere [32] [33] [34] .

Universitetet i Göttingen

I foråret 1915 modtog Noether en invitation til at vende tilbage til universitetet i Göttingen fra David Hilbert og Felix Klein . Deres lyst blev dog blokeret af filologer og historikere fra Det Filosofiske Fakultet, som mente, at en kvinde ikke kunne være Privatdozent. En af lærerne protesterede: "Hvad vil vores soldater tænke, når de vender tilbage til universitetet og opdager, at de skal lære ved fødderne af en kvinde?" [35] [36] [37] Hilbert svarede indigneret og sagde: "Jeg forstår ikke, hvorfor en kandidats køn skulle være et argument imod, at hun blev valgt til Privatdozent . Dette er jo et universitet, ikke et herrebad! [35] [36] [37] .

Noether rejste til Göttingen i slutningen af ​​april; to uger senere døde hendes mor pludseligt i Erlangen . Hun havde tidligere konsulteret læger om hendes øjne, men sygdommens art og dens forbindelse med døden forblev ukendt. Omtrent på samme tid trak Noethers far sig tilbage, og hendes bror meldte sig til den tyske hær for at kæmpe i Første Verdenskrig . Noether vendte tilbage til Erlangen i et par uger for at passe sin aldrende far .

I sine første år som lærer i Göttingen modtog Noether ingen løn for sit arbejde og havde ingen officiel stilling; hendes familie betalte for overnatning og forplejning, og det gjorde det muligt at arbejde på universitetet. Man mente, at de foredrag, hun holdt, var Hilberts foredrag, og Noether fungerede som hans assistent.

Kort efter ankomsten til Göttingen demonstrerede Noether sine evner ved at bevise en sætning, nu kendt som Noethers sætning , der relaterer en eller anden bevaringslov til enhver differentierbar symmetri i et fysisk system [37] [39] . Amerikanske fysikere Leon M. Lederman og Christopher T. Hill skriver i deres bog "Symmetry and the Beautiful Universe", at Noethers sætning er "bestemt en af ​​de vigtigste matematiske sætninger, der bruges i moderne fysik, måske er den på samme niveau med Pythagoras sætning " [40] .

Første Verdenskrig blev efterfulgt af den tyske revolution 1918-1919 , som medførte betydelige ændringer i sociale relationer, herunder udvidelsen af ​​kvinders rettigheder. I 1919, ved universitetet i Göttingen, fik Noether lov til at gennemgå en habiliteringsprocedure for at opnå en fast stilling. En mundtlig eksamen for Noether blev afholdt i slutningen af ​​maj, og i juni forsvarede hun sin doktorafhandling med succes.

Tre år senere modtog Noether et brev fra den preussiske minister for videnskab, kunst og offentlig uddannelse, hvori hun fik titlen som professor med begrænsede interne administrative rettigheder og funktioner [41] . Selvom vigtigheden af ​​hendes arbejde blev anerkendt, fortsatte Noether stadig med at arbejde gratis. Et år senere ændrede situationen sig, og hun blev udnævnt til stillingen som Lehrbeauftragte für Algebra ("lektor i algebra") [42] [43] [44] .

Grundlæggende værker inden for abstrakt algebra

Selvom Noethers teorem havde en dybtgående effekt på fysikken, huskes det primært af matematikere for dets enorme bidrag til algebra . I forordet til en samling af Noethers artikler skriver Nathan Jacobson , at "udviklingen af ​​generel algebra, som er blevet en af ​​de mest bemærkelsesværdige innovationer inden for matematik i det tyvende århundrede, er i høj grad fortjenesten af ​​Noether - hendes offentliggjorte artikler, hendes forelæsninger , hendes personlige indflydelse på samtiden" [45] .

Noether begyndte sit banebrydende arbejde med algebra i 1920 og udgav et fælles papir med Schmeidler, hvori de definerede venstre og højre ringsidealer . Året efter udgav hun en artikel med titlen Idealtheorie in Ringbereichen ("Teorien om idealer i ringe"), hvor hun analyserede den brydende betingelse for stigende kæder af idealer. Algebraisten Irving Kaplansky kaldte dette værk "revolutionært" [46] . Efter offentliggørelsen af ​​artiklen dukkede begrebet " noetherske ringe " op, og nogle andre matematiske objekter begyndte at blive kaldt " noetherske " [46] [47] [48] .

I 1924 ankom den unge hollandske matematiker Barthel van der Waerden til universitetet i Göttingen. Han gik straks i gang med Noether. Van der Waerden sagde senere, at hendes originalitet var "absolut uovertruffen" [49] . I 1931 udgav han lærebogen "Moderne Algebra"; da han skrev andet bind af sin lærebog, lånte han meget fra Noethers arbejde. Selvom Noether ikke søgte anerkendelse for sine tjenester, tilføjede van der Waerden i den syvende udgave en note, hvori det stod, at hans bog var "til dels baseret på forelæsninger af E. Artin og E. Noether" [50] [51] . Det er kendt, at mange af Noethers ideer først blev udgivet af hendes kolleger og studerende [52] [53] [19] . Hermann Weil skrev:

Meget af det, der udgør indholdet af andet bind af van der Waerdens Moderne Algebra ( Nu simpelthen Algebra ), må skyldes Emmy Noether.

Van der Waerdens besøg var et af et stort antal besøg af matematikere fra hele verden til Göttingen, som blev et stort center for matematisk og fysisk forskning. Fra 1926 til 1930 underviste den russiske topolog Pavel Sergeevich Aleksandrov på universitetet; han og Noether blev hurtigt gode venner. Hun forsøgte at skaffe ham et professorat i Göttingen, men kunne kun sørge for, at han fik udbetalt et stipendium fra Rockefeller Foundation [54] [55] . De mødtes jævnligt og nød diskussioner om forbindelserne mellem algebra og topologi. I 1935, i en tale dedikeret til videnskabsmandens minde, kaldte Alexandrov Emmy Noether for "den største kvindelige matematiker nogensinde" [56] .

Forelæsninger og studerende

I Göttingen uddannede Noether mere end et dusin postgraduate studerende; dens første kandidat var Greta Herman , som afsluttede sin afhandling i februar 1925. Senere omtalte hun respektfuldt Noether som "moderafhandlinger". Noether overvågede også arbejdet af Max Duering , Hans Fitting og Zeng Ching Jie. Hun arbejdede også tæt sammen med Wolfgang Krull , som ydede et stort bidrag til udviklingen af ​​kommutativ algebra , beviste den principielle idealsætning og udviklede dimensionsteorien for kommutative ringe [57] .

Ud over sin matematiske indsigt blev Noether respekteret for sin opmærksomhed på andre. Selvom hun nogle gange opførte sig uhøfligt over for dem, der var uenige med hende, var hun alligevel venlig og tålmodig over for nye studerende. For sin stræben efter matematisk præcision kaldte en af ​​hendes kolleger Noether "en alvorlig kritiker". Samtidig eksisterede en omsorgsfuld holdning til mennesker også i hende [58] . En kollega beskrev hende senere som følger: "Slet ikke egoistisk eller indbildsk, hun gjorde intet for sig selv, hun satte sine elevers arbejde over alt andet" [59] .

Hendes beskedne livsstil i starten skyldtes, at hendes arbejde ikke blev betalt. Men selv efter at universitetet begyndte at betale hende en lille løn i 1923, fortsatte hun med at føre en enkel og sparsommelig livsstil. Senere begyndte hun at modtage mere generøst vederlag for sit arbejde, men satte halvdelen af ​​sin løn til side, så hun senere skulle testamentere den til sin nevø, Gottfried E. Noether [60] .

Noether brød sig ikke meget om hendes udseende og manerer, biografer antyder, at hun var fuldstændig fokuseret på videnskab. Den eminente algebraist Olga Todd beskrev en middag, hvor Noether, fuldstændig fordybet i diskussionen om matematik, "gestikulerede febrilsk, konstant spildte mad og tørrede den af ​​med sin kjole med en deadpan" [61] .

Ifølge van der Waerdens nekrolog fulgte Noether ikke lektionsplanen i sine forelæsninger, hvilket forstyrrede nogle elever. I stedet brugte hun forelæsningstiden til spontane diskussioner med eleverne til at gennemtænke og afklare vigtige emner på forkant med matematikken. Nogle af de vigtigste resultater af hendes arbejde kom fra disse forelæsninger, og hendes studerendes forelæsningsnotater dannede grundlag for van der Waerdens og Duerings lærebøger. Noether vides at have leveret mindst fem semesterkurser i Göttingen [62] :

Disse kurser gik ofte forud for større publikationer på disse områder.

Noether talte hurtigt, hvilket krævede meget opmærksomhed fra eleverne. Studerende, der ikke kunne lide hendes stil, følte sig ofte fremmedgjorte [63] [64] . Nogle elever bemærkede, at hun var for tilbøjelig til spontane diskussioner. De mest hengivne studerende beundrede dog den entusiasme, hvormed hun præsenterede matematik, især når hendes forelæsninger var baseret på det arbejde, der tidligere blev udført med disse studerende.

Noether beviste sin hengivenhed til både faget og sine studerende ved at fortsætte med at studere dem efter forelæsningerne. En dag, da universitetsbygningen var lukket på grund af en national helligdag, samlede hun de studerende på verandaen, førte dem gennem skoven og holdt et foredrag på en lokal café . Efter at den nationalsocialistiske regering kom til magten i 1933, blev Noether afskediget fra universitetet. Hun inviterede studerende til hendes hus for at diskutere fremtidige planer og spørgsmål om matematik [66] .

Moskva

I vinteren 1928-29 accepterede Noether en invitation til at arbejde på Moskvas statsuniversitet , hvor hun fortsatte med at arbejde med Pavel Sergeevich Alexandrov. Ud over at udføre forskning underviste Noether i abstrakt algebra og algebraisk geometri . Hun arbejdede også sammen med Lev Semyonovich Pontryagin og Nikolai Grigoryevich Chebotarev , som senere krediterede hende for hendes bidrag til udviklingen af ​​Galois-teorien [67] [68] [56] .

Politik var ikke centralt i Noethers liv, men hun viste stor interesse for revolutionen i 1917. Hun mente, at bolsjevikkernes komme til magten bidrog til udviklingen af ​​matematikken i Sovjetunionen. Hendes holdning til USSR førte til problemer i Tyskland: hun blev efterfølgende smidt ud af bygningen af ​​pensionatet, efter at lederne af de studerende sagde, at de ikke ønskede at bo under samme tag med en "marxistisk-sindet jødiske" [ 56] .

Noether planlagde at vende tilbage til Moskva, hvor hun modtog støtte fra Alexandrov. Efter hendes afrejse fra Tyskland i 1933 forsøgte han at få en stol til hende ved Moskvas statsuniversitet. Selvom disse bestræbelser var forgæves, svarede Noether og Alexandrov om muligheden for, at hun flyttede til Moskva [56] . Samtidig fik hendes bror Fritz, efter at have mistet sit job i Tyskland, en stilling ved Forskningsinstituttet for Matematik og Mekanik i Tomsk [69] [70] .

Anerkendelse

I 1932 modtog Noether sammen med sin elev Emil Artin Ackermann-Töbner-prisen for præstationer i matematik [71] . Prisen beløb sig til 500 rigsmark i kontanter og er en officiel anerkendelse (omend med en lang forsinkelse) af hendes betydelige arbejde på dette område. Men hendes kolleger udtrykte deres skuffelse over, at Noether ikke blev valgt til Göttingen Academy of Sciences og aldrig blev udnævnt til et professorat [72] [73] .

Noethers kolleger fejrede hendes 50-års fødselsdag i 1932 i en stil typisk for matematikere. Helmut Hasse dedikerede en artikel til hende i tidsskriftet Mathematische Annalen , hvori han bekræftede hendes mistanke om, at nogle aspekter af ikke -kommutativ algebra er enklere end i kommutativ algebra ved at bevise den ikke -kommutative reciprocitetslov [74] . Hun kunne utroligt godt lide det. Han gav hende også en matematisk gåde - en gåde med stavelser, som hun straks løste [72] [73] .

I november samme år talte Noether på plenarmødet for den internationale matematikkongres i Zürich med en rapport om "hyperkomplekse systemer og deres forbindelser med kommutativ algebra". I kongressen deltog 800 mennesker, heriblandt Noethers kolleger Hermann Weyl, Edmund Landau og Wolfgang Krull. 420 officielle deltagere og 21 plenarrapporter blev præsenteret på kongressen. Noethers første præsentation var en anerkendelse af vigtigheden af ​​hendes bidrag til matematik. Deltagelse i kongressen i 1932 betragtes undertiden som højdepunktet i Noethers karriere [75] [76] .

Eksil fra Göttingen

Efter Hitler kom til magten i Tyskland i 1933, steg den nazistiske aktivitet dramatisk i hele landet. På universitetet i Göttingen var der et klima fjendtligt over for jødiske professorer . En ung demonstrant erklærede: " Ariske studerende ønsker at studere arisk matematik, ikke jødisk" [77] .

En af Hitler-administrationens første handlinger var vedtagelsen af ​​"Loven for genoprettelse af den professionelle civile tjeneste", på grund af hvilken jøder blev afskediget fra deres embedsmandsposter, hvis de "ikke demonstrerede deres loyalitet over for den nye magt i Tyskland." I april 1933 modtog Noether en meddelelse fra det preussiske ministerium for videnskab, kunst og uddannelse, der udelukkede hende fra at undervise ved universitetet i Göttingen. Flere af Noethers kolleger, herunder Max Born og Richard Courant , blev også suspenderet [78] [79] . Noether tog denne beslutning med ro. Hun fokuserede på matematik, samlede elever i sin lejlighed og diskuterede klassefeltteori med dem . Da en af ​​hendes elever dukkede op i en nazi-uniform, viste hun ingen tegn på det og grinede efter sigende endda af det bagefter [80] [79] .

Bryn Mawr

Da snesevis af arbejdsløse professorer begyndte at søge arbejde uden for Tyskland, blev der gjort en indsats af deres kolleger i USA for at yde assistance og skabe job til dem. Således fik for eksempel Albert Einstein og Hermann Weyl job på Institute for Advanced Study i Princeton . Noether overvejede at arbejde på to uddannelsesinstitutioner: Bryn Mawr College i USA og Somerville College ved University of Oxford i England. Efter en række forhandlinger med Rockefeller Foundation modtog Noether et tilskud til at arbejde hos Bryn Mawr og begyndte at arbejde der fra slutningen af ​​1933 [81] [82] .

Hos Bryn Mawr mødte Noether og blev ven med Anna Wheeler, som havde studeret i Göttingen , før Noether ankom. En anden af ​​Noethers college-tilhængere var Bryn Mawr-præsident Marion Edwards. Noether arbejdede med en lille gruppe studerende på van der Waerdens Moderne Algebra I og de første kapitler af Erich Heckes Algebraiske Talteori [83] .

I 1934 begyndte Noether at holde foredrag ved Institute for Advanced Study i Princeton. Hun arbejdede også med Albert Michelson og Harry Vandiver [84] . Hun bemærkede dog om Princeton University , at hun ikke blev godt modtaget på dette "mandlige universitet, hvor der ikke er noget kvindeligt" [85] .

I sommeren 1934 vendte Noether kort tilbage til Tyskland for at se Emil Artin og hendes bror Fritz . Selvom mange af hendes tidligere kolleger blev tvunget til at forlade tyske universiteter, havde hun stadig mulighed for at bruge biblioteket som "udenlandsk lærd" [86] [87] .

Død

I april 1935 diagnosticerede lægerne Noether med kræft. Samme år, i en alder af 53, kort efter operationen, døde hun.

En af lægerne skrev:

Det er svært at sige, hvad der skete med Noether. Det er muligt, at dette var en form for en eller anden usædvanlig og farlig infektion, der påvirkede den del af hjernen, hvor varmecentrene var placeret [88] .

Få dage efter Noethers død holdt hendes venner og medarbejdere en lille mindehøjtidelighed hjemme hos præsidenten for Bryn Mawr College. Hermann Weil og Richard Brouwer ankom fra Princeton og talte indgående med Wheeler og Olga Todd om deres afdøde kollega.

Emmy Noethers lig blev kremeret og hendes aske begravet under væggene på Cary Thomas Library i Bryn Mawr .

Akademiker P. S. Alexandrov skrev [90] :

Hvis matematikkens udvikling i dag utvivlsomt fortsætter under tegn på algebraisering, indtrængen af ​​algebraiske begreber og algebraiske metoder i de mest forskelligartede matematiske teorier, så blev dette først muligt efter Emmy Noethers værker.

A. Einstein tilskrev i en note om hendes død Noether til matematikkens største kreative genier [91] .

Bidrag til matematik og fysik

For matematikere, først og fremmest, er Noethers arbejde inden for abstrakt algebra og topologi vigtigt . Fysikere er meget opmærksomme på Noethers sætning . Hendes arbejde har ydet et stort bidrag til udviklingen af ​​teoretisk fysik og teorien om dynamiske systemer . Noether viste en forkærlighed for abstrakt tænkning, som gjorde det muligt for hende at løse matematiske problemer på nye og originale måder [92] [32] . Noethers ven og kollega Hermann Weyl opdelte hendes videnskabelige arbejde i tre perioder: [93]

  1. periode med relativ afhængighed, 1907-1919;
  2. undersøgelser grupperet omkring den generelle teori om idealer , 1920-1926;
  3. studiet af ikke-kommutativ algebra og dets anvendelse på studiet af kommutative talfelter og deres aritmetik, 1927-1935.

I den første periode (1907-1919) arbejdede Noether primært med differentielle og algebraiske invarianter . Hendes matematiske horisonter udvidede sig, og hendes arbejde blev mere abstrakt, påvirket af hendes eksponering for David Hilberts arbejde.

Den anden periode (1920-1926) var viet til udviklingen af ​​den matematiske teori om ringe [94] .

I den tredje periode (1927-1935) fokuserede Noether sin opmærksomhed på studiet af ikke-kommutativ algebra, lineære transformationer og talfelter [95] .

Historisk kontekst

Fra 1832 til Noethers død i 1935 undergik matematikområdet, kaldet algebra, dybtgående ændringer. Matematikere i tidligere århundreder arbejdede på praktiske metoder til at løse bestemte typer ligninger, såsom kubiske ligninger, og det relaterede problem med at konstruere regulære polygoner ved hjælp af et kompas og en ligekant. Startende med arbejdet af Carl Friedrich Gauss , som beviste i 1832, at primtal som fem kan indregnes i et produkt af Gaussiske heltal [96] , Evariste Galois ' introduktion af begrebet en permutationsgruppe i 1832 (på grund af hans død, hans arbejde blev først offentliggjort i 1846 af Liouville ), opdagelsen af ​​quaternions af William Rowan Hamilton i 1843, og fremkomsten af ​​konceptet om en abstrakt gruppe foreslået af Arthur Cayley i 1854, vendte forskningen sig mod at bestemme egenskaberne ved mere abstrakte og generelle systemer. Noether ydede sit vigtigste bidrag til udviklingen af ​​matematik gennem udviklingen af ​​dette nye felt kaldet abstrakt algebra [97] .

Abstrakt algebra og begriffliche Mathematik (konceptuel matematik)

De grundlæggende objekter i abstrakt algebra er grupper og ringe.

En gruppe består af et sæt elementer og en binær operation, der tilknytter hvert ordnede par af elementer i dette sæt et tredje element. Operationen skal opfylde visse begrænsninger - den skal have associativitetsegenskaben ,og der skal også være et neutralt element , og for hvert element skal der være et omvendt element til det .

Ring har på samme måde mange elementer, men nu er to operationer defineret på den - addition og multiplikation. En ring kaldes kommutativ, hvis multiplikationsoperationen er kommutativ (normalt er dens associativitet og eksistensen af ​​en enhed også underforstået). En ring, hvori der er et identitetselement, og hvert element, der ikke er nul, har et omvendt element med hensyn til multiplikation (det vil sige et element x , således at ax \ u003d xa \u003d 1) kaldes en krop . Feltet er defineret som en kommutativ krop.

Grupper læres ofte gennem deres repræsentationer . I det mest generelle tilfælde er en repræsentation af en gruppe G  et vilkårligt sæt med en handling fra gruppen G på dette sæt. Normalt er et sæt et vektorrum , og en gruppe repræsenterer det rums symmetri. For eksempel er der en gruppe af rumrotationer i forhold til et fast punkt. Rotation er rummets symmetri, fordi rummet i sig selv ikke ændres, når det drejes, selvom objekternes position i det ændres. Noether brugte lignende symmetrier i sit arbejde med invarianter i fysik.

En effektiv måde at lære om ringe på er gennem modulerne over dem. Et modul over en ring består af et sæt, normalt adskilt fra sættet af elementer i ringen og kaldet sættet af modulelementer, en binær operation på sættet af modulelementer og en operation, der tager et ringelement og et modulelement og returnerer et modulelement. Begrebet et modul er analogt med begrebet en repræsentation i tilfælde af ringe: glemmer man multiplikationsoperationen i en ring, tildeler man en repræsentation af en gruppe til et modul over denne ring. Den virkelige fordel ved moduler er, at man studerer de forskellige moduler over en given ring og deres interaktioner afslører strukturen af ​​ringen, som ikke er synlig, når man ser på selve ringen. Et vigtigt specialtilfælde af denne struktur er algebra . (Ordet "algebra" betyder både en gren af ​​matematik og et af undersøgelsesobjekterne i det afsnit.) Algebra består af to ringe og en operation, der tager et element fra hver ring og returnerer et element i den anden ring, hvilket gør anden ring et modul over den første. Ofte er den første ring et felt.

Ord som "element" og "binær operation" er meget generelle og kan bruges i mange konkrete og abstrakte situationer. Ethvert sæt af objekter, der opfylder alle aksiomer for en (eller to) operationer, der er defineret på det, er en gruppe (eller ring) og adlyder alle teoremer om grupper (eller ringe). Heltal og operationerne med addition og multiplikation er blot ét eksempel. For eksempel kan elementerne være maskinord , den første binære operation er "eksklusiv eller", og den anden er en konjunktion. Abstrakte algebrasætninger er kraftfulde, fordi de beskriver mange systemer. Noethers talent var at bestemme det maksimale sæt af egenskaber, der er konsekvenser af et givet sæt, og omvendt, at bestemme det minimumssæt af egenskaber, der er ansvarlige for bestemte observationer. I modsætning til de fleste matematikere opnåede Noether ikke abstraktion ved at generalisere kendte eksempler; snarere arbejdede hun direkte med abstraktioner. Van der Waerden mindede hende i en nekrolog [98] :

Den maksime, som Emmy Noether fulgte gennem hele hendes arbejde, kan formuleres som følger: ethvert forhold mellem tal, funktioner og operationer bliver først transparent, generaliserbart og produktivt, efter at det er adskilt fra specifikke objekter og reduceret til universelt gyldige begreber.

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Ethvert forhold mellem tal, funktioner og operationer bliver først gennemsigtige, generelt anvendelige og fuldt produktive, efter at de er blevet isoleret fra deres særlige objekter og er blevet formuleret som universelt gyldige begreber.

Dette er rent konceptuel matematik ( begriffliche Mathematik ) karakteristisk for Noether. Denne retning blev også taget af andre matematikere, især dem, der dengang studerede abstrakt algebra.

Heltal og ringe

Heltallene danner en kommutativ ring med hensyn til operationerne addition og multiplikation . Ethvert par af heltal kan lægges til eller ganges, hvilket resulterer i et tredje tal. Tilføjelsesoperationen er kommutativ , det vil sige for alle elementer a og b i ringen a + b = b + a . Den anden operation, multiplikation , er også kommutativ, men dette gælder ikke for alle ringe. Eksempler på ikke-kommutative ringe er matricer og kvaternioner . Heltal danner ikke en krop, fordi operationen med at multiplicere heltal ikke altid er reversibel - for eksempel er der intet heltal a , således at 3 ×  a = 1.

Heltal har yderligere egenskaber, der ikke gælder for alle kommutative ringe. Et vigtigt eksempel er den grundlæggende aritmetiske sætning , som siger, at ethvert positivt heltal kan dekomponeres til et produkt af primtal og på en unik måde. En sådan nedbrydning eksisterer ikke altid for ringe, men Noether beviste teoremet om eksistensen og unikheden af ​​faktoriseringen af ​​idealer for mange ringe, som nu kaldes Lasker-Noether-sætningen . En væsentlig del af Noethers arbejde bestod i at bestemme egenskaber, der gælder for alle ringe , i at finde analoger til teoremer om heltal og i at finde det minimumssæt af antagelser, der er tilstrækkelige til at udlede visse egenskaber fra dem.

Første periode (1908–1919)

Teori om algebraiske invarianter

Det meste af Emmy Noethers arbejde i den første periode af hendes videnskabelige karriere var forbundet med invariant teori , hovedsageligt med teorien om algebraiske invarianter. Invariant teori studerer udtryk, der forbliver uændrede (invariante) med hensyn til en gruppe af transformationer. Et eksempel fra hverdagen: Hvis du drejer en metallineal, ændres koordinaterne for dens ender ( x 1 , y 1 , z 1 ) og ( x 2 , y 2 , z 2 ), men længden bestemt af formlen L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 forbliver uændret. Teorien om invarianter var et aktivt forskningsfelt i slutningen af ​​det 19. århundrede, foranlediget af Felix Kleins tale, det såkaldte Erlangen-program , hvorefter forskellige geometrier skulle karakteriseres af transformationsinvarianter, der eksisterede i dem, som f.eks. eksempel, det dobbelte forhold i projektiv geometri . Et klassisk eksempel på en invariant er diskriminanten B 2 − 4 AC af den binære kvadratiske form Ax 2 + Bxy + Cy 2 . Diskriminanten kaldes en invariant, fordi den ikke ændrer sig under lineære permutationer x → ax + by , y → cx + dy med determinant ad − bc = 1. Disse permutationer danner den specielle lineære gruppe SL 2 . Mere generelt kan man betragte invarianter af homogene polynomier A 0 x r y 0 + … + A r x 0 y r af højere grad, som er polynomier i koefficienterne A 0 , …, A r . Og endnu mere generelt kan man betragte homogene polynomier med mere end to variable.

En af de vigtigste opgaver for teorien om algebraiske invarianter var at løse "finite basis problem". Summen eller produktet af to invarianter er en invariant, og problemet med den endelige basis spørger, om det er muligt at opnå alle invarianter, begyndende med en endelig liste af invarianter, kaldet generatorer , ved at anvende additions- og multiplikationsoperationerne på dem. For eksempel giver diskriminanten et endeligt (bestående af et element) grundlag af invarianter af binære kvadratiske former . Paul Gordan , Noethers vejleder, var kendt som "kongen af ​​invariant teori", og hans vigtigste bidrag til matematik var løsningen af ​​det endelige basisproblem for invarianter af homogene polynomier i to variable [100] . Han beviste dette ved at tilbyde en konstruktiv måde at finde alle invarianter og deres generatorer, men han kunne ikke bruge denne tilgang til invarianter med tre eller flere variable. I 1890 beviste David Hilbert et lignende udsagn for invarianter af homogene polynomier i et vilkårligt antal variable [101] [102] . Desuden virkede hans metode ikke kun for den specielle lineære gruppe, men også for nogle af dens undergrupper, såsom den specielle ortogonale gruppe [102] . Hans første bevis gav ikke nogen måde at konstruere generatorer på, men i senere arbejde gjorde han sin metode mere konstruktiv. I sit speciale udvidede Neter Gordans beregningsbevis til homogene polynomier i tre eller flere variable. Noethers konstruktive tilgang gjorde det muligt at studere sammenhænge mellem invarianter. Efterfølgende, da hun vendte sig mod mere abstrakte metoder, kaldte Noether sin afhandling Mist ("junk") og Formelngestrüpp ("jungle af ligninger").

Galois teori

Galois teori studerer transformationer af talfelter, der omarrangerer rødderne til en ligning. Overvej et polynomium i en variabel x af grad n , hvis koefficienter tilhører et underliggende felt - for eksempel feltet med reelle tal , rationale tal eller rester modulo 7. Der kan være en værdi på x i dette felt, der gør polynomiet nul . Sådanne værdier, hvis de findes, kaldes rødder . For eksempel har polynomiet x 2 + 1 ingen rødder i feltet af reelle tal, fordi enhver værdi af x gør polynomiet større end eller lig med én. Men hvis feltet er udvidet , så kan ethvert polynomium begynde at have rødder, og hvis feltet er udvidet nok, så vil det have n rødder. Hvis man fortsætter med det foregående eksempel, hvis feltet udvides til komplekse tal , vil polynomiet erhverve to rødder, i og − i , hvor i  er den imaginære enhed , det vil sige i  2 = −1 .

Galois-gruppen af ​​et polynomium er samlingen af ​​alle transformationer af dets nedbrydningsfelt, der bevarer basisfeltet. Galois-gruppen af ​​polynomiet x 2 + 1 består af to elementer: identitetskortlægningen , som afbilder hvert komplekst tal til sig selv, og den komplekse konjugation, som afbilder i til − i . Da Galois-gruppen bevarer jordfeltet, forbliver polynomiets koefficienter uændrede, og derfor ændres sættet af dets rødder ikke. Dog kan roden af ​​dette polynomium gå til dets anden rod, så transformationen definerer en permutation af n rødder indbyrdes. Betydningen af ​​Galois-gruppen følger af Galois-teoriens grundlæggende sætning , som siger, at felterne, der ligger mellem hovedfeltet og nedbrydningsfeltet, er i en-til-en korrespondance med undergrupper af Galois-gruppen.

I 1918 udgav Noether en banebrydende artikel om Galois-teoriens omvendte problem [103] . I stedet for at definere en Galois-gruppe for et givent felt og dets udvidelse, spurgte Noether, om det altid er muligt at finde en udvidelse af et givent felt, der har den givne gruppe som en Galois-gruppe. Hun viste, at dette problem reduceres til det såkaldte "Noether-problem": er det rigtigt, at feltet af elementer, der er fastsat i forhold til undergruppen G af gruppen S n , der virker på feltet k ( x 1 , ... , x n ) er altid rent transcendental feltudvidelse k . (Hun nævner først dette problem i et papir fra 1913 [104] og tilskriver det sin kollega Fisher.) Noether viste, at dette udsagn er sandt for n = 2 , 3 eller 4. I 1969 fandt R. Swan et modeksempel på Intet problem, hvor n = 47 og G  er en cyklisk gruppe af orden 47 [105] (selvom denne gruppe kan realiseres som en Galois-gruppe over feltet af rationelle tal på andre måder). Det omvendte problem med Galois teori forbliver uløst [106] .

Fysik

Noether ankom til Göttingen i 1915 efter anmodning fra David Hilbert og Felix Klein, som var interesserede i at lære hendes viden om invariant teori, for at hjælpe dem med at forstå den generelle relativitetsteori  , den geometriske teori om tyngdekraft udviklet, for det meste, af Albert Einstein . Hilbert bemærkede, at loven om bevarelse af energi synes at være overtrådt i den generelle relativitetsteori, på grund af det faktum, at gravitationsenergien selv kan tjene som en kilde til tyngdekraften. Noether fandt en løsning på dette paradoks ved hjælp af Noethers første teorem , som hun beviste i 1915, men som først blev offentliggjort i 1918 [107] . Hun løste ikke kun dette problem i den generelle relativitetsteori, men bestemte også de bevarede mængder for hvert system af fysiske love, der havde en form for kontinuerlig symmetri .

Efter at have modtaget hendes arbejde skrev Einstein til Hilbert [108] :

I går modtog jeg en meget interessant artikel af fru Noether om konstruktionen af ​​invarianter. Jeg er imponeret over, at sådanne ting kan betragtes ud fra et så generelt synspunkt. Det ville ikke skade den gamle garde i Göttingen, hvis de blev sendt for at blive trænet af Madame Noether. Det ser ud til, at hun kender sin virksomhed godt.

— Kimberling, 1981 , s. 13

For at illustrere, hvis et fysisk system opfører sig på samme måde, uanset hvordan det er orienteret i rummet, så er de fysiske love, der styrer det, rotationssymmetriske; af denne symmetri følger det ifølge Noethers sætning, at systemets rotationsmoment skal være konstant [109] . Det fysiske system i sig selv er måske ikke symmetrisk; takkede asteroider, der roterer i rummet, bevarer deres vinkelmomentum på trods af deres asymmetri . Tværtimod er symmetrien af ​​de fysiske love, der styrer systemet, ansvarlig for lovene om bevarelse . Som et andet eksempel, hvis et fysisk eksperiment har det samme resultat på et hvilket som helst sted og til enhver tid, så er dets love symmetriske under kontinuerlige skift i rum og tid ; ifølge Noethers sætning følger loven om bevarelse af momentum og energi inden for dette system fra tilstedeværelsen af ​​disse symmetrier. Noethers sætning er blevet et af de vigtigste værktøjer i moderne teoretisk fysik på grund af den teoretiske forståelse af bevarelseslovene, den giver, samt et praktisk værktøj til beregninger.

Anden periode (1920–1926)

Selvom resultaterne af Noethers første arbejdsperiode var imponerende, hviler hendes berømmelse som matematiker i høj grad på det arbejde, hun udførte i den anden og tredje periode, som bemærket af Hermann Weyl og Barthel Warden i deres nekrologer om hende.

På dette tidspunkt anvendte hun ikke bare tidligere matematikeres ideer og metoder, men udviklede nye systemer af matematiske definitioner, som ville blive brugt i fremtiden. Især udviklede hun en helt ny teori om idealer i ringe ved at generalisere Dedekinds tidligere arbejde . Hun er også berømt for at udvikle den stigende kædetermineringsbetingelse, en simpel endelighedstilstand, ved hjælp af hvilken hun var i stand til at opnå stærke resultater. Sådanne forhold og idealteori gjorde det muligt for Noether at generalisere mange tidligere resultater og tage et nyt kig på gamle problemer såsom udelukkelsesteori og algebraiske varianter , studeret af hendes far.

Stigende og faldende kæder

I løbet af denne periode af sit arbejde blev Noether berømt for sin behændige brug af betingelser for at afslutte stigende og faldende kæder. En sekvens af ikke-tomme delmængder A 1 , A 2 , A 3 ... af mængden S kaldes stigende, forudsat at hver af dem er en delmængde af den næste

Omvendt kaldes en sekvens af delmængder af S aftagende, hvis hver af dem indeholder følgende delmængde:

Sekvensen stabiliseres efter et begrænset antal trin, hvis der eksisterer n , således at for alle m ≥ n . Sættet af delmængder af et givet sæt opfylder betingelsen om at bryde stigende kæder, hvis en stigende sekvens bliver konstant efter et endeligt antal trin. Hvis en faldende sekvens bliver konstant efter et begrænset antal trin, så opfylder sættet af delmængder den faldende kædebetingelse.

Betingelserne for at bryde op- og nedadgående kæder er generelle - i den forstand, at de kan anvendes på mange typer matematiske objekter - og synes ved første øjekast ikke at være et særligt kraftfuldt værktøj. Noether viste, hvordan sådanne betingelser kunne bruges til deres maksimale fordel: for eksempel hvordan man bruger dem til at vise, at hvert sæt af underobjekter har et maksimum- eller minimumselement, eller at et komplekst objekt kan bygges ud fra færre overordnede elementer. Disse konklusioner er ofte de vigtigste trin i beviser.

Mange typer objekter i abstrakt algebra kan opfylde kædetermineringsbetingelserne, og som regel, hvis de opfylder den stigende kædetermineringsbetingelse, kaldes de Noetherian. Per definition opfylder en noethersk ring den brydende betingelse for opstigende kæder af idealer. En noethersk gruppe er defineret som en gruppe, hvor hver strengt stigende kæde af undergrupper er begrænset. Et Noethersk modul er et modul, hvor hver stigende sekvens af undermoduler bliver konstant efter et begrænset antal trin. Et noetherisk rum  er et topologisk rum , hvor hver voksende sekvens af åbne rum bliver konstant efter et begrænset antal trin; denne definition gør spektret af en noethersk ring til et noethersk topologisk rum.

Pausebetingelser "arves" ofte af underobjekter. For eksempel er alle underrum i et noethersk rum noetherske; alle undergrupper og faktorgrupper i en noethersk gruppe er også noetherske; det samme gælder for undermoduler og faktormoduler i et Noethersk modul . Alle faktorringe i en Noether-ring er Noetherske, men dette er ikke nødvendigvis sandt for underringe. Pausebetingelser kan også nedarves af kombinationer eller udvidelser af et noethersk objekt. For eksempel er endelige direkte summer af Noetherske ringe Noetherske, ligesom ringen af ​​formelle potensrækker over en Noethersk ring er.

En anden anvendelse af kædetermineringsbetingelser er Noetherian induction , som er en generalisering af matematisk induktion. Noetherisk induktion bruges ofte til at reducere en erklæring om en samling af genstande til en erklæring om specifikke genstande i den samling. Antag, at S er et delvist ordnet sæt. En af måderne at bevise påstanden om objekter fra S er at antage eksistensen af ​​et modeksempel og opnå en modsigelse. Den grundlæggende forudsætning for Noethersk induktion er, at enhver ikke-tom delmængde af S indeholder et minimumselement; især indeholder sættet af alle modeksempler et minimalt element. Så, for at bevise den oprindelige erklæring, er det tilstrækkeligt at bevise, at der for ethvert modeksempel er et mindre modeksempel.

Kommutative ringe, idealer og moduler

Noethers artikel fra 1921 "The Theory of Ideals in Rings" [110] udviklede grundlaget for den generelle teori om kommutative ringe og gav en af ​​de første generelle definitioner af en kommutativ ring [111] . Tidligere var mange resultater i kommutativ algebra begrænset til bestemte eksempler på kommutative ringe, såsom polynomiske ringe over et felt eller ringe af algebraiske heltal . Noether beviste, at i en ring, hvis idealer opfylder den opadgående kædetilstand, er hvert ideal endeligt genereret. I 1943 opfandt den franske matematiker Claude Chevalley udtrykket " Noetherian ring " for at beskrive denne egenskab [111] . Hovedresultatet i Noethers papir fra 1921 er Lasker-Noether-sætningen , som generaliserer Laskers sætning om den primære nedbrydning af idealer i polynomiumringe. Lasker-Noether-sætningen kan ses som en generalisering af aritmetikkens grundlæggende sætning, som siger, at ethvert positivt heltal kan repræsenteres som et produkt af primtal, og at denne repræsentation er unik.

Noethers arbejde med den abstrakte konstruktion af teorien om idealer i algebraiske talfelter (1927) [112] karakteriserer ringe, hvor idealer har en unik nedbrydning til primidealer som Dedekind-ringe  , Noetherske integralt lukkede ringe med dimension 0 eller 1. Denne artikel har også indeholder det faktum, at de i øjeblikket kaldes isomorfisteoremer , som beskriver nogle grundlæggende naturlige isomorfismer , samt nogle andre resultater for Noetherske og Artiniske moduler.

Eksklusionsteori

I 1923-1924 anvendte Noether sin ideelle teori på teorien om udelukkelse – i en formulering, hun tilskrev sin elev, Kurt Hentzelt – og viste, at de grundlæggende teoremer om udvidelsen af ​​polynomier kunne generaliseres direkte. Traditionelt betragter eliminationsteori eliminering af en eller flere variable fra et system af polynomielle ligninger, normalt ved den resulterende metode . For at illustrere kan et ligningssystem ofte skrives som "produktet af en matrix M (der ikke indeholder variablen x ) og en kolonnevektor v (hvis komponenter afhænger af x ) er lig med nulvektoren ". Derfor skal determinanten for matricen M være nul, hvilket giver os mulighed for at få en ny ligning, der ikke afhænger af variablen x .

Teorien om invarianter af endelige grupper

Hilberts metoder var en ikke-konstruktiv løsning på det endelige basisproblem og kunne ikke bruges til at opnå kvantitativ information om algebraiske invarianter, og desuden var de ikke anvendelige til alle gruppehandlinger. I sit papir fra 1915 [113] fandt Noether en løsning på det endelige basisproblem for en endelig gruppe G , der virker på et endeligt-dimensionelt vektorrum over et felt med karakteristisk nul. Dens løsning viser, at ringen af ​​invarianter er genereret af homogene invarianter, hvis grader ikke overstiger rækkefølgen af ​​gruppen; dette kaldes Noether-grænsen . Hendes papir giver to beviser for eksistensen af ​​Noether-grænsen, som begge også virker, når jordfeltets karakteristika er coprime til( faktorial af rækkefølgen af ​​gruppen G ). Antallet af generatorer estimeres ikke nødvendigvis efter rækkefølgen af ​​gruppen i det tilfælde, hvor feltets karakteristika deler sig | G | [114] , men Noether kunne ikke afgøre, om dette skøn er anvendeligt i det tilfælde, hvor feltets karakteristika deler sig, men ikke. I 2000 beviste Martin Fleischman og i 2001 Brian Fogarty at Noether-grænsen også gælder i dette tilfælde [115] [116] .

I sit papir fra 1926 [117] udvidede Noether Hilberts sætning til det tilfælde, hvor karakteristikken af ​​et felt deler rækkefølgen af ​​en gruppe. Denne teorem blev efterfølgende udvidet til at omfatte en vilkårlig reduktiv gruppe med William Haboshs bevis for Mumfords formodning [118] . I dette papir beviste Noether også Noethers normaliseringslemma , som siger, at et endeligt genereret integritetsdomæne A over et felt k indeholder et sæt algebraisk uafhængige elementer x1, …, x 1 , ..., xn , således at A er helt over k [ x 1 , ... , x n ] .

Bidrag til topologi

Hermann Weyl og P.S. Alexandrov påpeger i deres nekrologer, at Noethers bidrag til topologi illustrerer den generøsitet, hvormed hun delte ideer, såvel som hvordan hendes indsigt kunne transformere hele matematikområder. I topologi studerer matematikere egenskaberne af objekter, der forbliver uændrede, når de deformeres, såsom rummets forbindelse . Det siges i spøg, at en topolog ikke kan skelne en doughnut fra et krus, da de kontinuerligt kan deformeres til hinanden.

Noether er krediteret med forfatterskabet til de grundlæggende ideer, der bidrog til udviklingen af ​​algebraisk topologi , nemlig ideen om homologigrupper [119] . I somrene 1926 og 1927 deltog Noether i Hopf og Alexandrovs topologiske kurser, hvor hun "konstant fremsatte bemærkninger, ofte dybe og subtile" [120] . Aleksandrov skrev:

Da hun første gang i vores forelæsninger stiftede bekendtskab med den systematiske konstruktion af kombinatorisk topologi, bemærkede hun straks, at det var formålstjenligt direkte at overveje grupperne af algebraiske komplekser og cyklusser af et givet polyeder, og gruppen af ​​cyklusser, en undergruppe af cyklusser, der er homolog med nul; i stedet for den sædvanlige definition af Betti-tallene foreslog hun straks at definere Betti -gruppen som den komplementære gruppe (faktorgruppe) i gruppen af ​​alle cyklusser over undergruppen af ​​cyklusser, der er homologe med nul. Denne bemærkning synes nu selvindlysende. Men i de år (1925-28) var det et helt nyt synspunkt […]

- P. S. Alexandrov [121]

Noethers forslag om at topologi skulle studeres ved algebraiske metoder blev straks accepteret af Hopf, Alexandrov og andre matematikere [121] og blev et hyppigt diskussionsemne blandt matematikerne i Göttingen . Noether bemærkede, at den systematiske brug af konceptet fra Betti-gruppen gør beviset for den generelle Euler-Poincaré-formel enkel og gennemsigtig, og Hopfs arbejde med dette emne [122] "bærer præg af disse Emmy Noether-bemærkninger" [123 ] .

Tredje periode (1927–1935)

Hyperkomplekse tal og repræsentationsteori

Meget arbejde med hyperkomplekse tal og grupperepræsentationer blev udført i det 19. og det tidlige 20. århundrede, men forblev heterogent. Noether kombinerede alle disse resultater og skabte den første generelle teori om repræsentationer af grupper og algebraer [124] . Kort fortalt kombinerede Noether den strukturelle teori om associative algebraer og teorien om grupperepræsentationer i en aritmetisk teori om moduler og idealer i ringe, der opfylder den stigende kædebetingelse. Dette arbejde af Noether var af grundlæggende betydning for udviklingen af ​​moderne algebra [125] .

Ikke-kommutativ algebra

Noether var også ansvarlig for en række andre udviklinger inden for algebra. Sammen med Emil Artin , Richard Brouwer og Helmut Hasse skabte hun teorien om centrale simple algebraer [126] .

I deres papir overvejede Noether, Helmut Hasse og Richard Brouwer divisionsalgebraer [127] . De beviste to vigtige sætninger: sætningen om, at hvis en finit central divisionsalgebra over et talfelt deler sig lokalt overalt, så deler den sig globalt (og er derfor triviel), og den "hovedsætning", der følger af den: hver finit-dimensional central divisionalgebra over det algebraiske talfelt F deler sig over en cyklisk cirkulær forlængelse . Disse sætninger gør det muligt at klassificere alle finit-dimensionelle divisionsalgebraer over et givet talfelt.

Evaluering og anerkendelse

Noethers værker er stadig relevante for udviklingen af ​​teoretisk fysik og matematik. Hun er en af ​​de største matematikere i det tyvende århundrede. I sin nekrolog skrev den hollandske matematiker Barthel van der Waerden , at Noethers matematiske originalitet var "absolut uovertruffen" [128] , og Hermann Weyl sagde, at Noether "ændrede algebraens ansigt med sit arbejde" [13] . I løbet af hendes levetid og indtil i dag betragter mange Noether som historiens største kvindelige matematiker [129] [7] , blandt dem Pavel Alexandrov [130] , Hermann Weyl [131] og Jean Dieudonné [132] .

Den 2. januar 1935, et par måneder før hendes død, skrev matematikeren Norbert Wiener , at [133]

Miss Noether er […] den største kvindelige matematiker, der nogensinde har levet […] og en videnskabsmand på mindst lige fod med Madame Curie .

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Frøken Noether er... den største kvindelige matematiker, der nogensinde har levet; og den største kvindelige videnskabsmand af nogen art, der nu lever, og en lærd i det mindste på Madame Curies fly.

Ved verdensudstillingen for moderne matematik i 1964 var Noether den eneste kvindelige repræsentant blandt de vigtige matematikere i den moderne verden [134] .

Noether er blevet hædret med adskillige mindesmærker:

  • Association of Women Mathematicians etablerede et årligt Noether-foredrag til ære for kvindelige matematikere; Foreningen karakteriserer Noether som "en af ​​sin tids store matematikere; Noether arbejdede og kæmpede for det, hun elskede og troede på .
  • Institutterne for matematik og fysik ved University of Siegen er placeret på "Emmy Noether Campus" [136] .
  • Den tyske forskningsfond " Deutsche Research Society " har etableret Emmy Noether-stipendiet, som giver midler til lovende unge videnskabsmænd til deres videre forskning og undervisningspraksis [137] .
  • En gade i Noethers hjemby Erlangen er opkaldt efter hende og hendes far, Max Noether .
  • Gymnasieskolen i Erlangen blev omdøbt til Emmy Noether School [132] .
  • Institut for Teoretisk Fysik (Canada) uddeler årligt Emmy Noether-prisen til fremragende [138] kvindelige teoretiske fysikere. Instituttets grund er hjemsted for Emmy Noether Council [138] .
  • I 1970 tildelte Den Internationale Astronomiske Union navnet Emmy Noether til et krater på den anden side af Månen .

Liste over ph.d.-studerende

datoen Elevnavn Afhandlingens titel og oversættelse til russisk universitet Udgivelsesdato
1911.12.16 Falkenberg, Hans Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Forgrening af løsninger til ikke-lineære differentialligninger §
Erlangen Leipzig 1912
1916.03.04 Seidelman, Fritz Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich
Et sæt af kubiske og kvadratiske ligninger med indflydelse fra ethvert område af rationalitet
Erlangen Erlangen 1916
1925.02.25 tysk, Greta Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
Spørgsmålet om et begrænset antal trin i teorien om idealer for polynomier ved hjælp af Kurt Henselts sætning §
Göttingen Berlin 1926
1926.07.14 Grell, Heinrich Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
Relationer mellem idealer af forskellige ringe §
Göttingen Berlin 1927
1927 Dorota, Wilhelm Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff
Om det generaliserede begreb om en gruppe §
Göttingen Berlin 1927
døde før beskyttelse Holzer, Rudolf Zur Theorie der primæren Ringe
Om teorien om prime ringe §
Göttingen Berlin 1927
1929.06.12 Weber, Werner Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
En ideel teoretisk fortolkning af repræsentationen af ​​vilkårlige naturlige tal i termer af kvadratiske former §
Göttingen Berlin 1930
1929.06.26 Levitsky, Yaakov Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe
På helt reducerbare ringe og underringe §
Göttingen Berlin 1931
1930.06.18 Under, Max Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
Om den aritmetiske teori om algebraiske funktioner §
Göttingen Berlin 1932
1931.07.29 Fitting, Hans Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen og ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
Om teorien om automorfismer af ringen af ​​abelske grupper og deres analoger for ikke-kommutative grupper §
Göttingen Berlin 1933
1933.07.27 Witt, Ernst Riemann-Rochscher Satz og Zeta-Funktion im Hypercomplexen
Riemann-Roch-sætningen og hyperkomplekse tals zeta-funktion §
Göttingen Berlin 1934
1933.12.06 Ching Ze Zeng Algebren über Funktionenkorpern
Algebraer over funktionsfelter §
Göttingen Göttingen 1934
1934 Schilling, Otto Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
Om nogle relationer mellem aritmetikken af ​​hyperkomplekse talsystemer og felter af algebraiske tal §
Marburg Brunswick 1935
1935 Stauffer, Ruth Opbygning af et normalgrundlag i en adskillelig markudvidelse Bryn Mawr Baltimore 1936
1935 Forbeck, Werner Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Nedbrydninger af simple systemer, der ikke er Galois-felter §
Göttingen
1936 Wichmann, Wolfgang Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
Anvendelse af p -adic teori i ikke-kommutativ algebra §
Göttingen Månedlig matematik og fysik (1936) 44 , 203-24.

Matematiske emner af samme navn

Større værker

Noter

  1. ↑ 1 2 3 Encyclopædia Britannica 
  2. ↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics Archive
  3. ↑ Emmy Noether // FemBio : Databank for bemærkelsesværdige kvinder
  4. ↑ Noether Emmy // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / red. A. M. Prokhorov - 3. udg. - M .: Soviet Encyclopedia , 1974. - T. 17: Morshin - Nikish. - S. 523.
  5. ↑ https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math
  6. ↑ 1 2 http://cwp.library.ucla.edu/Phase2/[email protected]
  7. ↑ 1 2 Alexandrov, 1936 , s. 255.
  8. ↑ DEN SENE EMMY NOETHER.; Professor Einstein skriver som påskønnelse af en medmatematiker. . Hentet 24. maj 2021. Arkiveret fra originalen 24. maj 2021.
  9. ↑ Hermann Weyls tale ved Emmy Noethers begravelse . Hentet 24. maj 2021. Arkiveret fra originalen 24. maj 2021.
  10. ↑ Biografi om Lev Semyonovich Pontryagin, en matematiker udarbejdet af ham selv. DEL II. Universitet. . Hentet 8. september 2012. Arkiveret fra originalen 6. februar 2012.
  11. ↑ Weyl, 1935
  12. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 73
  13. ↑ 12 Dick , 1981 , s. 128
  14. ↑ Kimberling, 1981 , s. 3-5.
  15. ↑ Efterår, 1974 , s. 142.
  16. ↑ Dick, 1981 , s. 7-9.
  17. ↑ Noethers håndskrevne resumé .
  18. ↑ MacTutor .
  19. ↑ 1 2 Emmy Noether Arkiveret 17. april 2019 på Wayback Machine // Encyclopædia Britannica Online
  20. ↑ Matematik. Mekanik, 1983 .
  21. ↑ Dick, 1981 , s. 9-10.
  22. ↑ Efterår, 1974 , s. 142.
  23. ↑ Dick, 1981 , s. 10-11.
  24. ↑ Dick, 1981 , s. 25, 45.
  25. ↑ Kimberling, 1981 , s. 5.
  26. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 8-10.
  27. ↑ Dick, 1981 , s. 11-12.
  28. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 71
  29. ↑ Kimberling, 1981 , s. 10-11.
  30. ↑ Dick, 1981 , s. 13-17.
  31. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 71
  32. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 11-12.
  33. ↑ Dick, 1981 , s. 18-24.
  34. ↑ Efterår, 1974 , s. 143.
  35. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. fjorten.
  36. ↑ 12 Dick , 1981 , s. 32.
  37. ↑ 1 2 3 Efterår, 1974 , s. 144-45.
  38. ↑ Dick, 1981 , s. 24–26.
  39. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 72
  40. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 73
  41. ↑ Dick, 1981 , s. 188.
  42. ↑ Kimberling, 1981 , s. 14-18.
  43. ↑ Efterår, 1974 , s. 145.
  44. ↑ Dick, 1981 , s. 33-34.
  45. ↑ Noether, 1983 .
  46. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. atten.
  47. ↑ Dick, 1981 , s. 44-45.
  48. ↑ Efterår, 1974 , s. 145-46.
  49. ↑ van der Waerden, 1985 , s. 100.
  50. ↑ Dick, 1981 , s. 57-58.
  51. ↑ Kimberling, 1981 , s. 19.
  52. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 74
  53. ↑ Efterår, 1974 , s. 148.
  54. ↑ Kimberling, 1981 , s. 24-25.
  55. ↑ Dick, 1981 , s. 61-63.
  56. ↑ 1 2 3 4 Alexandrov, 1936 .
  57. ↑ Dick, 1981 , s. 53-57.
  58. ↑ Dick, 1981 , s. 37-49.
  59. ↑ van der Waerden, 1985 , s. 98.
  60. ↑ Dick, 1981 , s. 46-48.
  61. ↑ Taussky, 1981 , s. 80.
  62. ↑ Scharlau, W. "Emmy Noethers bidrag til teorien om algebraer" i Teicher, 1999 , s. 49.
  63. ↑ Mac Lane, 1981 , s. 77.
  64. ↑ Dick, 1981 , s. 37.
  65. ↑ Mac Lane, 1981 , s. 71.
  66. ↑ Dick, 1981 , s. 76.
  67. ↑ Dick, 1981 , s. 63-64.
  68. ↑ Kimberling, 1981 , s. 26.
  69. ↑ Efterår, 1974 , s. 150.
  70. ↑ Dick, 1981 , s. 82-83.
  71. ↑ Emmy Amalie Noether . UK: St And.. Hentet 4. september 2008. Arkiveret fra originalen 11. maj 2019.
  72. ↑ 12 Dick , 1981 , s. 72-73.
  73. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 26-27.
  74. ↑ Hasse, Helmut (1933), Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper , Mathematische Annalen T. 107: 731–760, doi : 10.1007/BF01448916 , < http ://gdz.subjekten.de-goettingen. /index.php?id=11&PPN=GDZPPN002276062&L=1 > . Hentet 16. november 2015. Arkiveret 5. marts 2016 på Wayback Machine . 
  75. ↑ Kimberling, 1981 , s. 26-27.
  76. ↑ Dick, 1981 , s. 74-75.
  77. ↑ Kimberling, 1981 , s. 29
  78. ↑ Dick, 1981 , s. 75-76.
  79. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 28-29.
  80. ↑ Dick, 1981 , s. 75-76.
  81. ↑ Dick, 1981 , s. 78-79.
  82. ↑ Kimberling, 1981 , s. 30-31.
  83. ↑ Dick, 1981 , s. 80-81.
  84. ↑ Dick, 1981 , s. 81-82.
  85. ↑ Dick, 1981 , s. 81.
  86. ↑ Dick, 1981 , s. 82.
  87. ↑ Kimberling, 1981 , s. 34.
  88. ↑ Kimberling, 1981 , s. 37-38.
  89. ↑ Kimberling, 1981 , s. 39.
  90. ↑ Alexandrov P. S. Til minde om Emmy Noether, "Advances in the Mathematical Sciences", 1936, nr. II.
  91. ↑ Einstein, A. Til minde om Emmy Noether // Samling af videnskabelige artikler i fire bind. - M . : Nauka, 1967. - T. IV. - S. 198-199. - 600 sek. - (videnskabens klassikere).
  92. ↑ Efterår, 1974 , s. 148-49.
  93. ↑ Weyl, 1935 : "Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Emmy Noethers videnskabelige produktion faldt i tre klart adskilte epoker:

    (1) perioden med relativ afhængighed, 1907-1919;
    (2) undersøgelserne grupperet omkring den generelle teori om idealer 1920-1926;

    (3) studiet af de ikke-kommutative algebraer, deres repræsentationer ved lineære transformationer og deres anvendelse til studiet af kommutative talfelter og deres aritmetik. ".
  94. ↑ Gilmer, 1981 , s. 131.
  95. ↑ Kimberling, 1981 , s. 10-23.
  96. ↑ C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. soc. Reg. sci. Göttingen 7 (1832) 1-34; genoptrykt i Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, s. 93-148.
  97. ↑ Noether, 1987 , s. 168.
  98. ↑ Dick, 1981 , s. 101.
  99. ↑ Noether, 1908 .
  100. ↑ Noether, 1914 , s. elleve.
  101. ↑ Weyl, Hermann (1944), David Hilbert og hans matematiske arbejde , Bulletin of the American Mathematical Society bind 50 (9): 612–654 , DOI 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 
  102. ↑ 1 2 Hilbert, David (december 1890), Ueber die Theorie der algebraischen Formen , Mathematische Annalen bind 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , < http://gdz.sub.uni.-uni. de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0036&DMDID=DMDLOG_0045&L=1 > . Hentet 16. november 2015. Arkiveret 3. september 2014 på Wayback Machine 
  103. ↑ Noether, 1918 .
  104. ↑ Noether, 1913 .
  105. ↑ Swan, Richard G (1969), Invariante rationelle funktioner og et problem med Steenrod , Inventiones Mathematicae bind 7 (2): 148–158 , DOI 10.1007/BF01389798 
  106. ↑ Malle, Gunter & Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois theory , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62890-3 
  107. ↑ Noether, 1918b
  108. ↑ Fra Hypatia til Emmy Noether .
  109. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 97-116.
  110. ↑ Noether, 1921 .
  111. ↑ 12 Gilmer , 1981 , s. 133.
  112. ↑ Noether, 1927 .
  113. ↑ Noether, 1915 .
  114. ↑ Fleischmann, 2000 , s. 24.
  115. ↑ Fleischmann, 2000 , s. 25.
  116. ↑ Fogarty, 2001 , s. 5.
  117. ↑ Noether, 1926 .
  118. ↑ Haboush, WJ (1975), Reduktive grupper er geometrisk reduktive , Annals of Mathematics bind 102(1): 67–83 , DOI 10.2307/1970974 
  119. ↑ Hilton, Peter (1988), A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine bind 60 (5): 282–91 
  120. ↑ Dick, 1981 , s. 173.
  121. ↑ 12 Dick , 1981 , s. 174.
  122. ↑ Hopf, Heinz (1928), Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch - Physikalische Klasse bind 2 : 127–36 
  123. ↑ Dick, 1981 , s. 174-75.
  124. ↑ Noether, 1929 .
  125. ↑ van der Waerden, 1985 , s. 244.
  126. ↑ Lam, 1981 , s. 152-53.
  127. ↑ Brauer, Hasse & Noether, 1932 .
  128. ↑ Dick, 1981 , s. 100.
  129. ↑ Efterår, 1974 , s. 152.
  130. ↑ Dick, 1981 , s. 154.
  131. ↑ Dick, 1981 , s. 152.
  132. ↑ 12 Noether , 1987 , s. 167.
  133. ↑ Kimberling, 1981 , s. 35.
  134. ↑ Duchin, Moon (december 2004), The Sexual Politics of Genius , University of Chicago , < http://www.math.lsa.umich.edu/~mduchin/UCD/111/readings/genius.pdf > . Hentet 23. marts 2011. Arkiveret 18. juli 2011 på Wayback Machine (Noethers fødselsdag). 
  135. ↑ Introduktion , Profiles of Women in Mathematics , The Emmy Noether Lectures, Association for Women in Mathematics , 2005 Arkiveret 23. maj 2011 på Wayback Machine . 
  136. ↑ Emmy-Noether-Campus , DE : Universität Siegen , < http://www.uni-siegen.de/uni/campus/wegweiser/emmy.html > . Hentet 13. april 2008. Arkiveret 8. oktober 2009 på Wayback Machine . 
  137. ↑ "Emmy Noether Program: Kort fortalt"  (link ikke tilgængeligt) . Forskningsfinansiering . Deutsche Forschungsgemeinschaft . nd Hentet den 5. september 2008.
  138. ↑ 1 2 Emmy Noether Visiting Fellowships http://www.perimeterinstitute.ca/emmy-noether-visiting-fellowships Arkiveret 29. oktober 2017 på Wayback Machine

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Tematiske steder
Ordbøger og encyklopædier
Slægtsforskning og nekropolis