Pyramide (geometri)
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2022; checks kræver 3 redigeringer .Pyramide (fra andet græsk πυραμίς , slægt s. πυραμίδος ) er et polyeder , hvis flader (kaldet grundfladen ) er en vilkårlig polygon , og de resterende flader (kaldet sidefladerne med en fælles toppunkt ) er trekanter [1] ] . Ifølge antallet af grundvinkler er pyramider trekantede ( tetraeder ), firkantede osv. Pyramiden er et specialtilfælde af en kegle [2] .
Historien om udviklingen af pyramiden i geometri
Begyndelsen til pyramidens geometri blev lagt i det gamle Egypten og Babylon , men den blev aktivt udviklet i det antikke Grækenland . Pyramidens volumen var kendt af de gamle egyptere. Den første græske matematiker, der etablerede pyramidens volumen, var Demokrit [3] , og Eudoxus fra Cnidus beviste det . Den antikke græske matematiker Euklid systematiserede viden om pyramiden i XII bind af hans "Begyndelser" og bragte også den første definition af pyramiden frem: en solid figur afgrænset af planer, der konvergerer fra et plan på et punkt (bog XI, definition 12 [4] ).
Elementer i pyramiden
- toppen af pyramiden er et fælles punkt på sidefladerne, der ikke ligger i bundens plan;
- base - et ansigt, der ikke hører til toppen af pyramiden;
- sideflader - trekantede flader konvergerer i toppen;
- sidekanter - kanter, der er sider af to sideflader (og følgelig ikke er sider af basen);
- højden af pyramiden er vinkelret fra toppen af pyramiden til dens base;
- apotem - højden af sidefladen af en almindelig pyramide , trukket fra toppen;
- diagonal sektion af en pyramide - en sektion af en pyramide, der går gennem dens top og diagonal af bunden.
Pyramide udfolder sig
En udvikling er en flad figur opnået ved at kombinere overfladen af et geometrisk legeme med et plan (uden at pålægge flader eller andre overfladeelementer oven på hinanden). Når man begynder at studere overfladeudviklingen, er det tilrådeligt at betragte sidstnævnte som en fleksibel, ikke-udvidelig film. Nogle af overfladerne præsenteret på denne måde kan kombineres med et plan ved bøjning. Desuden, hvis et overfladerum kan kombineres med et plan uden brud og limning, kaldes en sådan overflade udfoldning, og den resulterende flade figur kaldes dens udfoldning.
Egenskaber
Hvis alle sidekanter er ens , så:
- en cirkel kan beskrives omkring bunden af pyramiden, og toppen af pyramiden projiceres ind i dens centrum;
- laterale ribber danner lige store vinkler med basisplanet;
- det modsatte er også sandt, det vil sige, hvis sidekanterne danner lige store vinkler med grundplanet, eller hvis en cirkel kan beskrives nær pyramidens bund, og toppen af pyramiden projiceres ind i dens centrum, så vil alle sidekanterne af pyramiden er ens.
Hvis sidefladerne hælder til grundplanet i en vinkel , så:
- en cirkel kan indskrives i bunden af pyramiden, og toppen af pyramiden projiceres ind i dens centrum;
- højderne af sidefladerne er lige store;
- arealet af sidefladen er lig med halvdelen af produktet af basens omkreds og højden af sidefladen.
Sætning, der relaterer pyramiden til andre geometriske faste stoffer
Kugle
- en kugle kan beskrives nær pyramiden , når der ved bunden af pyramiden ligger en polygon, omkring hvilken en cirkel kan beskrives (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse) [5] . Kuglens centrum vil være skæringspunktet for de planer, der passerer gennem midtpunkterne af pyramidens kanter vinkelret på dem. Det følger af denne sætning, at en kugle kan beskrives både om enhver trekantet og om enhver regulær pyramide;
- en kugle kan indskrives i en pyramide , når halveringslinjerne af pyramidens indre dihedrale vinkler skærer hinanden i et punkt ( nødvendig og tilstrækkelig betingelse ). Dette punkt vil være midten af kuglen.
Kegle
- En kegle kaldes indskrevet i en pyramide, hvis deres hjørner falder sammen, og dens base er indskrevet i bunden af pyramiden. Desuden er det kun muligt at indskrive en kegle i en pyramide, når pyramidens apotemer er lig med hinanden (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse); [6]
- En kegle kaldes indskrevet nær pyramiden, når deres hjørner falder sammen, og dens base er indskrevet nær bunden af pyramiden. Desuden er det kun muligt at beskrive keglen nær pyramiden, når alle pyramidens sidekanter er lig med hinanden (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse);
- Højderne af sådanne kegler og pyramider er lig med hinanden.
Cylinder
- En cylinder kaldes indskrevet i en pyramide, hvis en af dens baser falder sammen med omkredsen af et plan, der er indskrevet i sektionen af pyramiden, parallelt med basen, og den anden base hører til pyramidens basis.
- En cylinder kaldes indskrevet nær pyramiden, hvis toppen af pyramiden tilhører en af dens baser, og dens anden base er indskrevet nær pyramidens bund. Desuden er det kun muligt at beskrive en cylinder nær pyramiden, når der er en indskrevet polygon i bunden af pyramiden (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse).
Pyramideformler
- Pyramidens volumen kan beregnes ved hjælp af formlen:
- Rumfanget af en trekantet pyramide (tetraeder) kan også beregnes ved hjælp af formlen [8] :
- Sidefladen er summen af arealerne af sidefladerne:
- Det samlede overfladeareal er summen af det laterale overfladeareal og basisarealet:
- For at finde det laterale overfladeareal i en almindelig pyramide kan du bruge formlerne:
Særlige tilfælde af pyramiden
Korrekt pyramide
En pyramide kaldes regulær, hvis dens base er en regulær polygon , og toppunktet er projiceret ind i midten af basen. Så har den følgende egenskaber:
- sidekanterne af en regulær pyramide er lige store;
- i en regulær pyramide er alle sideflader kongruente ligebenede trekanter;
- i enhver almindelig pyramide kan du både indskrive og beskrive en kugle omkring den;
- hvis centrene for de indskrevne og omskrevne sfærer falder sammen, så er summen af planvinklerne i toppen af pyramiden , og hver af dem henholdsvis , , hvor n er antallet af sider af basispolygonen [9] ;
- arealet af den laterale overflade af en almindelig pyramide er lig med halvdelen af produktet af omkredsen af basen og apotem.
Rektangulær pyramide
En pyramide kaldes rektangulær, hvis en af pyramidens sidekanter er vinkelret på bunden. I dette tilfælde er denne kant pyramidens højde.
Tetrahedron
En trekantet pyramide kaldes et tetraeder. I et tetraeder kan enhver af ansigterne tages som bunden af pyramiden. Derudover er der stor forskel på begreberne "regelmæssig trekantet pyramide" og " regelmæssig tetraeder ". En regulær trekantet pyramide er en pyramide med en regulær trekant i bunden (fladerne skal være ligebenede trekanter). Et regulært tetraeder er et tetraeder, hvor alle flader er ligesidede trekanter.
Se også
Noter
- ↑ Aleksandrov A. D., Werner A. L. Geometry. Lærebog for klasse 10-11 af uddannelsesinstitutioner. - 2. udg. - M . : Uddannelse, 2003. - 271 s. — ISBN 5-09-010773-4 .
- ↑ Matematik i begreber, definitioner og termer. Del 1. En vejledning til lærere. Ed. L. V. Sabinina. M., Uddannelse, 1978. 320 s. S. 253.
- ↑ B. L. van der Waerden. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. - 3. udg. - M . : KomKniga, 2007. - 456 s. - ISBN 978-5-484-00848-3 .
- ↑ M.E. Vashchenko-Zakharchenko . Euklids begyndelse, med en forklarende indledning og kommentar . - Kiev, 1880. - S. 473. - 749 s.
- ↑ Saakyan S. M., Butuzov V. F. At studere geometri i klasse 10-11: en bog til læreren. - 4. udg., revideret .. - M . : Uddannelse, 2010. - 248 s. — (Matematik og datalogi). - ISBN 978-5-09-016554-9 .
- ↑ Pogorelov A. V. Geometry: En lærebog for klasse 10-11 på uddannelsesinstitutioner. - 8. udg. - M . : Uddannelse, 2008. - 175 s. — 60.000 eksemplarer. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
- ↑ Geometri ifølge Kiselyov Arkiveret 1. marts 2021 på Wayback Machine , §357 .
- ↑ Kushnir I. A. Skolegeometriens triumf. - K . : Vores time, 2005. - 432 s. - ISBN 966-8174-01-1 .
- ↑ Gotman E. Egenskaber for en regulær pyramide indskrevet i en kugle Arkiveret 22. januar 2012 på Wayback Machine // Kvant. - 1998. - Nr. 4.
Litteratur
- Alexandrov A. D., Werner A. L. Geometri. Lærebog for klasse 10-11 af uddannelsesinstitutioner. - 2. udg. - M . : Uddannelse, 2003. - 271 s. — ISBN 5-09-010773-4 .
- Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Stereometry. 11. klasse. - 2. udg. - M . : Fizmatkniga, 2005. - 332 s. — ISBN 5-89155-134-9 .
- A. P. Kiselev, Geometri ifølge Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
- Pogorelov A. V. Geometri: En lærebog for klasse 10-11 af uddannelsesinstitutioner. - 8. udg. - M . : Uddannelse, 2008. - 175 s. — 60.000 eksemplarer. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
Links
- Papirmodeller af pyramiderne Arkiveret 4. januar 2010 på Wayback Machine
- "Begyndelsen" af Euklid .
 Ordbøger og encyklopædier |
|
|---|---|
| I bibliografiske kataloger |