Projektiv geometri

Projektiv geometri  er en gren af ​​geometri , der studerer projektive planer og rum . Hovedtræk ved projektiv geometri er princippet om dualitet , som tilføjer en yndefuld symmetri til mange designs.

Projektiv geometri kan studeres både fra et rent geometrisk synspunkt og fra et analytisk (ved hjælp af homogene koordinater ) og fra et algebraisk , idet man betragter det projektive plan som en struktur over et felt . Ofte, og historisk set, behandles det virkelige projektive plan som det euklidiske plan med tilføjelsen af ​​en "linje i det uendelige".

Mens egenskaberne af de figurer, som euklidisk geometri omhandler, er metriske (specifikke værdier af vinkler, segmenter, arealer), og figurernes ækvivalens svarer til deres kongruens (det vil sige, når figurerne kan oversættes til hinanden vha. bevægelse og samtidig bevare metriske egenskaber), er der mere "dybtliggende" egenskaber ved geometriske figurer, som er bevaret ved transformationer af en mere generel type end bevægelse. Projektiv geometri beskæftiger sig med studiet af egenskaberne af figurer, der er invariante under klassen af ​​projektive transformationer , såvel som disse transformationer selv.

Projektiv geometri komplementerer Euklidisk ved at give smukke og enkle løsninger på mange problemer kompliceret af tilstedeværelsen af ​​parallelle linjer. Den projektive teori om keglesnit er særlig enkel og elegant .

Historie

Selvom nogle af de resultater, der nu omtales som projektiv geometri, går tilbage til arbejdet med oldgræske geometre som Pappus fra Alexandria , blev projektiv geometri som sådan født i det 17. århundrede fra direkte perspektiv i maleri og arkitektonisk tegning. Ideen om uendeligt fjerne punkter, hvor parallelle linjer skærer hinanden, dukkede op uafhængigt af den franske arkitekt Gerard Desargues og den tyske astronom Johannes Kepler . Desargues foreslog endda, at der kunne være en linje, der udelukkende består af punkter ved uendelig.

I det 19. århundrede blev interessen for området genoplivet gennem Jean-Victor Poncelets og Michel Challs skrifter . Poncelet udledte det projektive rum fra Euklidisk ved at tilføje en linje ved uendelighed, hvor alle planer parallelt med den givne skærer hinanden, og beviste princippet om dualitet. Skal fortsætte og væsentligt uddybe Poncelets arbejde. Senere skabte von Staudt en rent syntetisk aksiomatisering, der kombinerer disse linjer med resten.

I slutningen af ​​det 19. århundrede foreslog Felix Klein brugen af ​​homogene koordinater til projektiv geometri , som tidligere var blevet introduceret af Möbius , Plücker og Feuerbach .

Terminologi

De grundlæggende begreber for projektiv geometri, efterladt udefineret i standardaksiomatiseringen, er punktet og linjen . Et sæt punkter på en linje kaldes en række , og et sæt linjer, der går gennem et punkt, kaldes et bundt . Sættet af punkter på linjerne i blyanten A , der skærer linjen BC , definerer planet ABC . Dualitetsprincippet siger, at enhver konstruktion af projektiv geometri i n -dimensionelt rum forbliver sand, hvis vi i alle tilfælde erstatter ( k )-dimensionelle konstruktioner med ( n - k -1)-dimensionelle. Enhver konstruktion i det projektive plan forbliver således sand, hvis vi erstatter punkter med linjer og linjer med punkter.

Konvertering af en række af linje X til en blyant af et punkt x , der ikke er i denne række, eller omvendt, identificerer hvert punkt i serien med linjen fra blyanten, der skærer det, og er skrevet X ⌅ x . En sekvens af flere sådanne transformationer (fra serie til sheaf, derefter tilbage til serie, og så videre) kaldes projektivitet . Et perspektiv  er en sekvens af to projektiviteter (skrevet X ⌆ X ′). Perspektivet af to linjer går gennem midten O , og perspektivet af to punkter går gennem aksen o . Et punkt er invariant under projektivitet, hvis projektivitet transformerer det til det samme punkt.

En trekant  er tre punkter forbundet i par med lige linjer. En komplet firkant  er fire punkter (hjørnepunkter) i et plan, hvoraf ingen er collineære , forbundet parvis med rette linjer. Skæringspunktet mellem to af disse linjer, der ikke er et toppunkt, kaldes et diagonalt punkt . Et komplet tetraeder er defineret på samme måde, men med punkter i stedet for linjer og linjer i stedet for punkter. På samme måde kan man definere en komplet n - gon og en komplet n -flade .

To trekanter er perspektiviske, hvis de kan forbindes med perspektiv, dvs. deres ansigter skærer hinanden i collineære punkter (perspektiv gennem en linje), eller deres hjørner er forbundet med konkurrerende linjer (perspektiv gennem et punkt).

Grundlæggende fremgangsmåder

Der er tre hovedtilgange til projektiv geometri: uafhængig aksiomatisering , komplementering af euklidisk geometri og struktur over et felt.

Aksiomatisering

Et projektivt rum kan defineres ved hjælp af et andet sæt aksiomer. Coxeter leverer følgende:

  1. Der er en linje, og der er ikke et punkt på den.
  2. Hver linje har mindst tre punkter.
  3. Gennem to punkter kan der tegnes præcis én linje.
  4. Hvis , , , og  er forskellige punkter og og skærer hinanden, så og skærer.
  5. Hvis  det er et fly, så er der mindst ét ​​punkt ikke i planet .
  6. To forskellige planer skærer hinanden i mindst to punkter.
  7. De tre diagonale punkter på en komplet firkant er ikke collineære.
  8. Hvis tre punkter på linjen er invariante under projektivitet , så er alle punkter på linjen invariante under .

Det projektive plan (uden den tredje dimension) er defineret af noget forskellige aksiomer:

  1. Gennem to punkter kan der tegnes præcis én linje.
  2. Enhver to linjer skærer hinanden.
  3. Der er fire punkter, hvoraf ikke tre er kollineære.
  4. De tre diagonale punkter af komplette firkanter er ikke collineære.
  5. Hvis tre punkter på linjen er invariante under projektivitet , så er alle punkter på linjen invariante under .
  6. Desargues' sætning : Hvis to trekanter er perspektiv gennem et punkt, så er de perspektiv gennem en linje.

I nærværelse af en tredje dimension kan Desargues' sætning bevises uden at introducere det ideelle punkt og linje.

Komplementering af euklidisk geometri

Historisk set blev det projektive rum først defineret som komplementet af det euklidiske rum med et ideelt element, et plan i det uendelige. Hvert punkt på dette plan svarer til en retning i rummet og er skæringspunktet mellem alle linjer i denne retning.

Struktur over felt

-dimensionelt projektivt rum over et felt er defineret ved hjælp af et system af homogene koordinater over , det vil sige et sæt af ikke-nul - vektorer af elementer . Et punkt og en linje er defineret som et sæt vektorer, der adskiller sig i multiplikation med en konstant. Et punkt er på en linje, hvis prikproduktet er . Således, givet linjen , kan vi definere en lineær ligning , der definerer en række punkter på . Det følger heraf, at punkterne , , og er collineære hvis for en linje .

Vigtige teoremer

Litteratur