Egyptiske fraktioner

Egyptisk brøk - i matematik er summen af flere parvis forskellige brøker af formen (de såkaldte aliquotbrøker ). Med andre ord har hver brøkdel af summen en tæller , der er lig med en, og en nævner , der er et naturligt tal . ${\frac {1}{n}}$

Eksempel: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

En egyptisk brøk er et positivt rationelt tal af formen a / b ; for eksempel kunne den egyptiske brøk skrevet ovenfor skrives som 43/48. Det kan påvises, at hvert positivt rationelt tal kan repræsenteres som en egyptisk brøk (generelt på et uendeligt antal måder [1] ). Denne type sum blev brugt af matematikere til at skrive vilkårlige brøker fra det gamle Egyptens tid til middelalderen . I moderne matematik bruges simple og decimale brøker i stedet for egyptiske brøker , men egyptiske brøker bliver fortsat undersøgt i talteori og matematikkens historie ..

Historie

Det gamle Egypten

For mere information om dette emne, se egyptiske tal , matematik i det gamle Egypten .

Egyptiske fraktioner blev opfundet og først brugt i det gamle Egypten . En af de tidligste kendte referencer til egyptiske brøker er Rhinda Mathematical Papyrus . Tre ældre tekster, der nævner egyptiske brøker, er den egyptiske matematiske læderrulle , Moskvas matematiske papyrus og Akhmim-trætavlen. Rinda-papyrusen blev skrevet af skriveren Ahmes i den anden mellemperiodes æra ; den omfatter en tabel med egyptiske brøker for rationelle tal på formen 2/ n , samt 84 matematiske problemer, deres løsninger og svar skrevet i egyptiske brøker.

Ægypterne brugte hieroglyfen

( ep , "[one] of" eller re , rot) over et tal for at repræsentere en enhedsbrøk i konventionel notation, mens en linje blev brugt i hieratiske tekster. For eksempel:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

De havde også specielle symboler for brøkerne 1/2, 2/3 og 3/4 (de sidste to cifre er de eneste ikke-alikvote brøker brugt af egypterne), som også kunne bruges til at skrive andre brøker (større end 1 /2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3))

={\frac {3}{4))

Ægypterne brugte også andre notationsformer, baseret på hieroglyfen Eye of Horus , til at repræsentere et særligt sæt af fraktioner af formen 1/2 k (for k = 1, 2, ..., 6), det vil sige to -element rationelle tal . Sådanne fraktioner blev brugt sammen med andre former for egyptiske fraktioner til at opdele heqat ( ~4,785 liter ), det vigtigste mål for volumen i det gamle Egypten. Denne kombinerede notation er også blevet brugt til at måle mængden af korn , brød og øl . Hvis der efter registrering af mængden i form af en brøkdel af Eye of Horus var noget tilbage, blev det registreret i den sædvanlige form som et multiplum af rho , en måleenhed lig med 1/320 hekat.

For eksempel sådan her:

={\frac {1}{331}}

Samtidig blev "munden" placeret foran alle hieroglyferne.

Antikken og middelalderen

Ægyptiske brøker fortsatte med at blive brugt i det antikke Grækenland og efterfølgende af matematikere over hele verden indtil middelalderen , på trods af bemærkninger fra gamle matematikere om dem (for eksempel talte Claudius Ptolemæus om ulejligheden ved at bruge egyptiske brøker sammenlignet med det babylonske system ). Vigtigt arbejde med studiet af egyptiske fraktioner blev udført af matematikeren Fibonacci fra det 13. århundrede i hans arbejde " Liber Abaci ".

Hovedtemaet for Liber Abaci er beregninger ved hjælp af decimal- og almindelige brøker, som til sidst fortrængte egyptiske brøker. Fibonacci brugte en kompleks notation for brøker, herunder notation af tal med en blandet base og notation som sum af brøker, og egyptiske brøker blev ofte brugt. Også i bogen blev givet algoritmer til at konvertere fra almindelige brøker til egyptiske.

Fibonacci-algoritme

Den første generelle metode til at nedbryde en vilkårlig fraktion til egyptiske komponenter, der er kommet ned til os, blev beskrevet af Fibonacci i det 13. århundrede. I moderne notation kan dens algoritme angives som følger.

1. Brøken er opdelt i to led: ${\frac {m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Her er kvotienten af division af n med m , rundet op til nærmeste heltal, og er den (positive) rest af division af − n med m . $\lceil n/m\rceil$ $(-n){\bmod {m))$

2. Det første led i højre side har allerede form af en egyptisk brøk. Det kan ses af formlen, at tælleren for det andet led er strengt mindre end den oprindelige brøk. På samme måde udvider vi det andet led med den samme formel og fortsætter denne proces, indtil vi får udtrykket med tælleren 1.

Fibonacci-metoden konvergerer altid efter et begrænset antal trin og giver den ønskede udvidelse. Eksempel:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.

Imidlertid er nedbrydningen opnået ved denne metode muligvis ikke den korteste. Et eksempel på dens mislykkede anvendelse:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

mens mere avancerede algoritmer fører til nedbrydning

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Moderne talteori

Moderne matematikere fortsætter med at udforske en række problemer relateret til egyptiske brøker.

I slutningen af det 20. århundrede blev der givet skøn for den maksimale nævner og længden af udvidelsen af en vilkårlig brøkdel til egyptiske. Brøken x / y har en udvidelse til egyptiske brøker med en maksimal nævner på højst

O\venstre({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ) og med ikke mere end

O\venstre({\sqrt {\log y}}\right)

( Vose 1985 ).

Erdős-Graham-formodningen siger, at for enhver farvning af heltal større end 1 i r > 0 farver, eksisterer der en endelig monokromatisk delmængde S af heltal, for hvilken $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Denne formodning blev bevist af Ernest Krut i 2003 .

Åbne numre

Egyptiske brøker udgør en række svære og den dag i dag uløste matematiske problemer.

Erdős-Strauss-formodningen siger, at for ethvert heltal n ≥ 2 er der positive heltal x , y og z , således at

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Computerforsøg viser, at formodningen er sand for alle n ≤ 10 14 , men der er endnu ikke fundet noget bevis. En generalisering af denne formodning siger, at for hver positiv k eksisterer der N , således at der for alle n ≥ N eksisterer en nedbrydning

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Denne hypotese tilhører Andrzej Schinzel .

Noter

↑ R. Knott . Egyptiske fraktioner arkiveret 2. maj 2016 på Wayback Machine .

Litteratur

Van der Waerden. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. Oversættelse fra hollandsk af N. Veselovsky. Moskva: Fizmatgiz, 1959, 456 s. (Genoptryk: M.: URSS, 2007)
Neugebauer O. Forelæsninger om oldtidens matematiske videnskabers historie (førgræsk matematik). T. 1. M.-L.: ONTI, 1937.
Neugebauer O. Nøjagtige videnskaber i antikken. M.: Nauka, 1968. (Genoptryk: M.: URSS, 2003)
Raik A.E. Essays om matematikkens historie i antikken. Saransk, Mordovisk stat. forlag, 1977.
Raik A.E. Om historien om egyptiske fraktioner. Historisk og matematisk forskning, 23, 1978, s. 181-191.
Yanovskaya S. A. Om teorien om egyptiske fraktioner. Proceedings of the Institute of the History of Natural Science, 1, 1947, s. 269-282.
Beeckmans, L. Spaltningsalgoritmen for egyptiske brøker (ubestemt) // Journal of Number Theory . - 1993. - T. 43 . - S. 173-185 .
Botts, Truman. En kædereaktionsproces i talteori (neopr.) // Mathematics Magazine . - 1967. - S. 55-65 .
Breusch, R. Et særligt tilfælde af egyptiske brøker, løsning på avanceret problem 4512 // American Mathematical Monthly : journal . - 1954. - Bd. 61 . - S. 200-201 .
Bruins, Evert M. Platon et la tablégyptienne 2/n (ubestemt) // Janus. - 1957. - T. 46 . - S. 253-263 .
Eves, Howard. En introduktion til matematikkens historie, (engelsk) . - Holt, Reinhard og Winston, 1953.
Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs (neopr.) . - Dover, 1982.
Graham, RL Om endelige summer af gensidige af distinkte n th potenser // Pacific Journal of Mathematics : journal. - 1964. - Bd. 14 , nr. 1 . - S. 85-92 . Arkiveret fra originalen den 22. november 2009. Arkiveret 22. november 2009 på Wayback Machine
Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (tysk) . — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
Knorr, Wilbur R. Brøkteknikker i det gamle Egypten og Grækenland (engelsk) // Historia Mathematica : journal. - 1982. - Bd. 9 . - S. 133-171 .
Luneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers (tysk) . — Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1993.
Martin, G. Tætte egyptiske brøker (engelsk) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1999. - Bd. 351 . - P. 3641-3657 .
Menninger, Karl W. Talord og talsymboler : Talenes kulturhistorie . — MIT Press , 1969.
Robins, Gay; Hold da op, Charles. The Rhind Mathematical Papyrus: En gammel egyptisk tekst (engelsk) . - Dover, 1990.
Stewart, BM Summer af distinkte divisorer (ubestemt) // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 . - S. 779-785 .
Stewart, I. Gåden om den forsvindende kamel // Scientific American . - Springer Nature , 1992. - Nej. juni . - S. 122-124 .
Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics (ubestemt) . - Dover, 1967. - S. 20-25 .
Takenouchi, T. På en ubestemt ligning (neopr.) // Proc. Fysisk-matematisk Soc. af Japan, 3. ser.. - 1921. - Vol . 3 . - S. 78-92 .
Tenenbaum, G.; Yokota, H. Længde og nævnere af egyptiske brøker (ubestemt) // Journal of Number Theory . - 1990. - T. 35 . - S. 150-156 .
Vose, M. Egyptiske brøker (ubestemt) // London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 . - S. 21 .
Wagon, S. Mathematica in Action (neopr.) . — W. H. Freeman, 1991. - S. 271-277 .

Links

David Eppstein. Egyptiske brøker . Arkiveret fra originalen den 19. februar 2012. (ubestemt)
Egyptiske fraktioner . Arkiveret fra originalen den 19. februar 2012. (ubestemt)
Matematik i egyptisk papyri (2000). Arkiveret fra originalen den 19. februar 2012. (ubestemt)
Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Brown, Kevin. RMP 2/nth tabel (utilgængeligt link) . Hentet 24. december 2006. Arkiveret fra originalen 16. oktober 2006. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk