System af lineære algebraiske ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. januar 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Et system af lineære algebraiske ligninger ( lineært system , der bruges også forkortelser SLAE , SLUE ) er et ligningssystem, hvor hver ligning er en lineær - algebraisk ligning af første grad.

I den klassiske version betragtes koefficienter ved variable, frie termer og ukendte som reelle tal , men alle metoder og resultater er bevaret (eller naturligt generaliserede) til tilfældet med alle felter , for eksempel komplekse tal .

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger er et af de klassiske problemer med lineær algebra , som i vid udstrækning bestemte dens objekter og metoder. Derudover spiller lineære algebraiske ligninger og metoder til at løse dem en vigtig rolle i mange anvendte områder, herunder lineær programmering , økonometri .

Kan generaliseres til tilfældet med et uendeligt sæt af ukendte .

Konventioner og definitioner

Generelt billede af systemet af lineære algebraiske ligninger:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_ {1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{ 2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Her er antallet af ligninger, og er antallet af variable, skal de ukendte bestemmes, koefficienterne og frie led antages at være kendte. Indeks for koefficienter i systemer af lineære ligninger ( ) er dannet i overensstemmelse med følgende konvention: det første indeks ( ) angiver nummeret på ligningen, det andet ( ) er nummeret på den variabel, som denne koefficient står ved [1] . $m$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m))$ $a_{{ij}}$ $jeg$ $j$

Et system kaldes homogent , hvis alle dets frie medlemmer er lig med nul ( ), ellers er det heterogent . $b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0$

Et andengradssystem af lineære ligninger er et system, hvor antallet af ligninger falder sammen med antallet af ukendte (). Et system, hvor antallet af ubekendte er større end antallet af ligninger, er underbestemt , sådanne systemer af lineære algebraiske ligninger kaldes også rektangulære . Hvis der er flere ligninger end ukendte, så er systemet overbestemt . $m=n$

Løsningen af et system af lineære algebraiske ligninger er et sæt tal, således at deres tilsvarende substitution i stedet for til systemet forvandler alle dets ligninger til identiteter . $n$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n))$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

Et system kaldes kompatibelt, hvis det har mindst én løsning, og inkonsekvent, hvis det ikke har nogen løsninger. Løsninger betragtes som forskellige, hvis mindst en af værdierne af variablerne ikke stemmer overens. Et fælles system med en enkelt løsning kaldes bestemt , hvis der er mere end én løsning - underbestemt .

Matrixform

Systemet af lineære algebraiske ligninger kan repræsenteres i matrixform som:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

eller:

økse = b

Her er systemets matrix, er kolonnen af ukendte, og er kolonnen af frie udtryk. Hvis en kolonne med frie termer er tildelt matricen til højre, kaldes den resulterende matrix en udvidet. $EN$ $x$ $b$ $EN$

Kronecker-Capelli-sætningen etablerer en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for kompatibiliteten af et system af lineære algebraiske ligninger gennem egenskaberne af matrixrepræsentationer: Systemet er konsistent, hvis og kun hvis rangordenen af dets matrix falder sammen med rangen af den udvidede matrix.

Ækvivalente systemer af lineære ligninger

Systemer af lineære ligninger kaldes ækvivalente , hvis mængden af deres løsninger er den samme, det vil sige, at enhver løsning til et system også er en løsning til et andet, og omvendt. Det forudsættes også, at systemer uden løsninger er ækvivalente.

Et system svarende til et givet kan opnås, især ved at erstatte en af ligningerne med denne ligning ganget med et hvilket som helst ikke-nul tal. Et ækvivalent system kan også opnås ved at erstatte en af ligningerne med summen af denne ligning med en anden af systemets ligning. Generelt giver udskiftning af et systems ligning med en lineær kombination af ligninger et system, der svarer til det oprindelige.

Systemet af lineære algebraiske ligninger svarer til systemet , hvor er en ikke-singular matrix . Især hvis selve matricen er ikke-singular, og der findes en invers matrix for den , så kan løsningen af ligningssystemet formelt skrives som . $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$ $C$ $EN$ $A^{-1}$ $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$

Løsningsmetoder

Direkte metoder giver en algoritme, hvormed man kan finde den nøjagtige løsning af systemer med lineære algebraiske ligninger. Iterative metoder er baseret på brugen af en iterativ proces og gør det muligt at opnå en løsning som følge af successive tilnærmelser.

Nogle direkte metoder:

Gauss metode
Gauss-Jordan metode
Cramer metode
Matrix metode
Fejemetode (til tridiagonale matricer )
Cholesky nedbrydning eller kvadratrodsmetode (til positiv-definite symmetriske og hermitiske matricer)

Iterative metoder etablerer en procedure til at forfine en vis indledende tilnærmelse til en løsning. Når konvergensbetingelserne er opfyldt, giver de mulighed for at opnå enhver nøjagtighed blot ved at gentage iterationer. Fordelen ved disse metoder er, at de ofte hurtigere opnår en løsning med en forudbestemt nøjagtighed, og giver dig også mulighed for at løse store ligningssystemer. Essensen af disse metoder er at finde det faste punkt i matrixligningen

{\displaystyle \mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime ))

svarende til det indledende system af lineære algebraiske ligninger. Ved iteration på højre side af ligningen, for eksempel i Jacobi-metoden (simpel iterationsmetode), erstattes tilnærmelsen fundet i det foregående trin: $\mathbf {x}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime ))

Iterative metoder er opdelt i flere typer afhængigt af den anvendte tilgang:

Split-baseret: $(MN)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+ 1 }=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
Variationstype: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
Projektionstype: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf { m}$

Blandt de iterative metoder:

Jacobi- metoden ( simpel iterationsmetode )
Gauss-Seidel metode
Afslapningsmetode
Multigrid metode
Montante metode
Abramovs metode (velegnet til at løse små SLAE'er)
Metode til generaliserede minimumsrestværdier
Bikonjugeret gradientmetode
Stabiliseret bikonjugat gradientmetode
Kvadratisk metode til bikonjugerede gradienter
Metode for kvasi-minimumsrester ( QMR )
Rotationsmetode [2]

Noter

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær algebra: Lærebog for universiteter. - 6. udg., slettet. — M.: Fizmatlit, 2004. — 280 s.
↑ Verzhbitsky V. M. Grundlæggende om numeriske metoder. - M . : Højere skole , 2009. - S. 80-84. — 840 s. — ISBN 9785060061239 .

Links

Kuksenko SP, Gazizov TR Iterative metoder til løsning af et system af lineære algebraiske ligninger med en tæt matrix. - Tomsk: Tomsk State University , 2007. - 208 s. - ISBN 5-94621-226-5 .
Forsythe J., Moler K. Numerisk løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger. - Moskva: Mir , 1969. - 166 s.

Metoder til løsning af SLAE
Direkte metoder	Matrix metode Gauss metode Gauss-Jordan metode Cramer metode LU nedbrydning Kolesky nedbrydning Feje metode
Iterative metoder	Jacobi metode Gauss-Seidel metode Iterationsmetode Afslapningsmetode Konjugeret gradientmetode Bikonjugeret gradientmetode Stabiliseret bikonjugat gradientmetode
Generel	omvendt matrix Projektionsmetoder til løsning af SLAE Forkonditionering

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet