Kvadratisk ligning

En andengradsligning er en algebraisk ligning af anden grad med en generel form

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

hvor er det ukendte, og koefficienterne , og er reelle eller komplekse tal. $x$ $-en$ $b$ $c$

Roden af ligningen er værdien af den variabel, der vender kvadrattrinomialet til nul, og andengradsligningen til den korrekte numeriske lighed. Denne værdi kaldes også roden af selve polynomiet. $ax^{2}+bx+c=0$ $x$ $ax^{2}+bx+c.$

Elementerne i andengradsligningen har deres egne navne [1] :

$-en$ kaldet den første eller førende koefficient,
$b$ kaldes den anden , gennemsnitskoefficient eller koefficient ved $x$ ,
$c$ kaldes et gratis medlem .

En reduceret andengradsligning kaldes, hvor den førende koefficient er lig med en [1] . En sådan ligning kan opnås ved at dividere hele udtrykket med den førende koefficient: $-en$

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a)),\quad q={\frac {c}{a)).

En andengradsligning siges at være komplet, hvis alle dens koefficienter ikke er nul.

En sådan andengradsligning kaldes ufuldstændig , hvis mindst en af koefficienterne, bortset fra den højeste (enten den anden koefficient eller det frie led), er lig med nul.

En andengradsligning kan løses i radikaler , det vil sige, at dens rødder kan udtrykkes i form af koefficienter på en generel måde.

Historisk information om andengradsligninger

Det gamle Babylon

Allerede i det andet årtusinde f.Kr. vidste babylonierne, hvordan de skulle løse andengradsligninger [1] . Deres løsning i det antikke Babylon var tæt forbundet med praktiske opgaver, hovedsageligt såsom måling af arealet af jordlodder, landarbejde relateret til militære behov; tilstedeværelsen af denne viden skyldes også udviklingen af matematik og astronomi generelt. Metoder til løsning af både komplette og ufuldstændige andengradsligninger var kendt. Her er eksempler på andengradsligninger, der blev løst i oldtidens Babylon ved hjælp af moderne algebraisk notation:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Reglerne for løsning af andengradsligninger ligner på mange måder de moderne, men ræsonnementet, hvormed disse regler blev opnået, er ikke nedskrevet i de babylonske tekster.

Indien

Problemer løst ved hjælp af andengradsligninger findes i afhandlingen om astronomi "Aryabhattiam", skrevet af den indiske astronom og matematiker Aryabhata i 499 e.Kr. En af de første kendte afledninger af formlen for rødderne af en andengradsligning tilhører den indiske videnskabsmand Brahmagupta (ca. 598) [1] ; Brahmagupta skitserede en universel regel for løsning af en andengradsligning reduceret til kanonisk form: desuden blev det antaget, at alle koefficienterne i den, bortset fra, kan være negative. Den regel, som videnskabsmanden formulerede, falder i det væsentlige sammen med den moderne. $ax^{2}+bx=c;$ $en,$

Rødderne af en andengradsligning på mængden af reelle tal

jeg måde. Den generelle formel til beregning af rødder ved hjælp af diskriminanten

Diskriminanten af en andengradsligning er mængden . $ax^{2}+bx+c=0$ $D=b^{2}-4ac$

Tilstand	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Antal rødder	to rødder	En rod af multiplicitet 2 (med andre ord to lige store rødder)	Ingen rigtige rødder
Formel	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ (en)	$x=-{\frac {b}{2a))$	—

Formel afledning

Formel (1) kan opnås som følger:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx=-c

Gang hver del med og tilføj :

4a

b^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.

Kasusformlen er et specialtilfælde af formel (1): $D=0$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\ frac {b}{2a}}.

For tilfældet følger fraværet af reelle rødder også af formel (1), da kvadratroden af et negativt tal ikke hører til mængden af reelle tal. $D<0$

Denne metode er universel, men ikke den eneste.

II måde. Rødderne af en andengradsligning med en lige koefficient b

For ligninger af formen , det vil sige for lige , hvor $ax^{2}+2kx+c=0$ $b$

k={\frac {1}{2}}b,

i stedet for formel (1) til at finde rødderne, er der mulighed for at bruge simplere udtryk [1] .

Bemærk: Formlerne nedenfor kan opnås ved at erstatte udtrykket b = 2 k i standardformlerne gennem simple transformationer.

Diskriminerende		Rødder
ureduceret	reduceret	D > 0	ureduceret	reduceret
nemmere at beregne fjerdedele af diskriminanten: ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Alle nødvendige egenskaber er bevaret.	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c))$
		D = 0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

III måde. Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Der praktiseres en særlig tilgang til løsning af ufuldstændige andengradsligninger. Tre mulige situationer overvejes.

b = 0c = 0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat))

(konverteringsprocessen er specielt vist i detaljer; i praksis kan du straks gå til den sidste ligestilling)

{\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\frac {c}{a} },\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a)))).\end{aligned))

Hvis , så har ligningen to reelle rødder , og hvis , så har ligningen ingen reelle rødder .

-{\frac {c}{a}}>0

-{\frac {c}{a}}<0;

{\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned))

$x=0$ eller $ax+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\frac {b}{a)).$

En sådan ligning skal have to reelle rødder .

IV måde. Brug af partialkoefficientforhold

Der er særlige tilfælde af andengradsligninger, hvor koefficienterne står i forhold til hinanden, hvilket gør det meget nemmere at løse dem.

Rødderne af en andengradsligning, hvor summen af den førende koefficient og det frie led er lig med den anden koefficient

Hvis summen af den første koefficient og det frie led i en andengradsligning er lig med den anden koefficient: , så er dens rødder også tallet modsat forholdet mellem det frie led og den højeste koefficient ( ). $ax^{2}+bx+c=0$ $a+c=b$ $-en$ $-{\frac {c}{a}}$

Bevis

Metode 1. Find først ud af, om en sådan ligning virkelig har to rødder (inklusive to sammenfaldende):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2 }=(ac)^{2}

Ja, dette er sandt, fordi for alle reelle værdier af koefficienterne , og derfor er diskriminanten ikke-negativ. Således, hvis , så har ligningen to rødder, hvis , så har den kun én rod. Find disse rødder: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\ikke=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(ac)^{2 }}}}{2a}}={\frac {-ac\pm |ac|}{2a}}={\frac {-ac\pm a\mp c}{2a}}

x_{1}={\frac {-ac-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+ac}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

Især hvis , så vil roden være en: $a=c$ $-en.$

Metode 2.

Vi bruger den geometriske model af rødderne til en andengradsligning: vi vil betragte dem som skæringspunkterne mellem parablen og abscisseaksen. Enhver parabel, uanset det udtryk, der definerer den, er en figur, der er symmetrisk omkring en ret linje . Dette betyder, at segmentet af enhver ret linje vinkelret på den, afskåret af en parabel på den, er divideret med symmetriaksen i halvdelen. Ovenstående gælder især for x-aksen. For enhver parabel er således en af følgende ligheder sand: (hvis ) eller (hvis uligheden i den modsatte betydning er sand). Ved at bruge identiteten , der udtrykker modulets geometriske betydning, og også acceptere, at (dette kan bevises ved at substituere ligheden i kvadrattrinomialet: , derfor er -1 roden til en sådan ligning), når vi frem til følgende lighed: Hvis vi tager højde for, at forskellen i tilfældet, når vi tilføjer modulet, er den altid positiv, og når vi trækker den er negativ, hvilket indikerer identiteten af disse tilfælde, og desuden, husker vi ligheden , åbner vi modulet : . I det andet tilfælde, efter at have foretaget lignende transformationer, kommer vi til det samme resultat osv. $y=ax^{2}+bx+c$ $x=-{\frac {b}{2a}}$ $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ $\rho (a;b)=|ab|$ $x_{1}=-1$ $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ $ba=c$ $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {ba }{a}}=-{\frac {c}{a}}$

Det følger heraf, at før du løser en andengradsligning, er det tilrådeligt at kontrollere muligheden for at anvende denne teorem på den: sammenlign summen af den førende koefficient og det frie led med den anden koefficient. Rødderne af en andengradsligning, hvis sum af alle koefficienter er nul

Hvis summen af alle dens koefficienter i en andengradsligning er lig med nul ( ), så er rødderne af en sådan ligning også forholdet mellem det frie led og den førende koefficient ( ). $a+b+c=0$ $en$ ${\frac {c}{a))$

Bevis

Metode 1. Først og fremmest bemærker vi, at det følger af lighed, at Lad os sætte antallet af rødder: $a+b+c=0$ $b=-(a+c)$

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c ^{2}=(ac)^{2}.

For alle værdier af koefficienterne har ligningen mindst én rod: ja, for alle værdier af koefficienterne , og derfor er diskriminanten ikke-negativ. Bemærk venligst, at hvis , så har ligningen to rødder, men hvis , så kun én. Find disse rødder: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\ikke=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(ac)^{2}}} }{2a}}={\frac {a+c\pm |ac|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+ac}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

Q.E.D.

Især hvis , så har ligningen kun én rod, som er tallet .

a=c

en

Metode 2. Ved at bruge ovenstående definition af roden af en andengradsligning finder vi ved substitution, at tallet 1 er sådan i det pågældende tilfælde: - den korrekte lighed, derfor er enheden roden til denne type andengradsligninger. Yderligere, ifølge Vieta-sætningen, finder vi den anden rod: ifølge denne sætning er produktet af ligningens rødder lig med tallet svarende til forholdet mellem det frie led og den førende koefficient - osv. $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$

Det følger heraf, at før man løser ligningen ved hjælp af standardmetoder, er det tilrådeligt at kontrollere anvendeligheden af denne sætning til den, nemlig tilføjelsen af alle koefficienterne for den givne ligning og fastslå, om denne sum ikke er lig med nul.

V måde. Dekomponering af et kvadratisk trinomium i lineære faktorer

Hvis et trinomium af formen på en eller anden måde kan repræsenteres som et produkt af lineære faktorer , så kan du finde ligningens rødder - de vil være og , ja, fordi efter at have løst de angivne lineære ligninger, får vi ovenstående. Et kvadratisk trinomium dekomponeres ikke altid i lineære faktorer med reelle koefficienter: dette er muligt, hvis ligningen, der svarer til det, har reelle rødder. $ax^{2}+bx+c~(a\not =0)$ $(kx+m)(lx+n)=0$ $ax^{2}+bx+c=0$ $-{\frac {m}{k))$ $-{\frac {n}{l}}$ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array} }$

Nogle særlige tilfælde tages i betragtning.

Ved at bruge formlen for kvadratet af summen (forskel)

Hvis det kvadratiske trinomium har formen , kan du ved at anvende ovenstående formel opdele det i lineære faktorer og derfor finde rødderne: $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$

(ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},

(ax+b)^{2}=0,

x=-{\frac {b}{a}}.

Valg af det fulde kvadrat af summen (forskel)

Den navngivne formel bruges også ved hjælp af metoden kaldet "udvælgelse af det fulde kvadrat af summen (forskel)". I forhold til den givne andengradsligning med den tidligere introducerede notation betyder det følgende:

lægge til og trække det samme tal fra: .
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$
anvend formlen på det resulterende udtryk, overfør subtrahenden og det frie udtryk til højre side:
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{ 2}})^{2}+q)=0,$
$(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
tag kvadratroden fra venstre og højre side af ligningen og udtryk variablen:
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q)),$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q}}).$

Bemærk: denne formel falder sammen med den, der er foreslået i afsnittet "Rødder til den reducerede andengradsligning", som igen kan fås fra den generelle formel (1) ved at erstatte ligheden a = 1 . Denne kendsgerning er ikke kun en tilfældighed: Ved den beskrevne metode er det dog muligt at udlede en generel formel, efter at have lavet nogle yderligere ræsonnementer, såvel som at bevise diskriminantens egenskaber.

VI måde. Brug af Vietas direkte og omvendte sætninger

Vietas direkte sætning (se nedenfor ) og dens inverse sætning giver os mulighed for at løse de givne andengradsligninger mundtligt, uden at ty til beregninger ved hjælp af formel (1).

Ifølge den inverse sætning er ethvert talpar (tal) , en løsning til et ligningssystem $x_{1},x_{2}$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases))

er ligningens rødder .

x^{2}+px+q=0

En direkte sætning vil hjælpe dig verbalt at vælge tal, der opfylder disse ligninger. Med dens hjælp kan du bestemme røddernes tegn uden at kende selve rødderne. For at gøre dette skal du følge reglen:

1) hvis det frie led er negativt, så har rødderne et andet fortegn, og den største absolutte værdi af rødderne er fortegnet modsat fortegnet for ligningens anden koefficient; 2) hvis frileddet er positivt, så har begge rødder samme fortegn, og dette er det modsatte fortegn af den anden koefficient.

7. vej. Overførselsmetode

I sin kerne er "roll-over"-metoden simpelthen en modifikation af Vietas sætning .

"Rollover"-metoden er reduktionen af en ligning, der ikke kan reduceres, så alle koefficienter forbliver heltal, til en reduceret ligning med heltalskoefficienter:

1) gange begge dele med den førende koefficient:

ax^{2}+bx+c=0\quad \cdot a,

(ax)^{2}+b(ax)+ac=0;

2) udskifte

y=ax\colon

y^{2}+by+ac=0.

Dernæst løser vi ligningen for y ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor , og finder x = y / a .

Som du kan se, er seniorkoefficienten i "overførselsmetoden" bare " overført " til den frie periode.

Geometrisk sans

Grafen for en kvadratisk funktion er en parabel . Løsningerne (rødderne) af en andengradsligning er abscissen af parablens skæringspunkter med abscisseaksen . Hvis parablen beskrevet af den kvadratiske funktion ikke skærer x-aksen, har ligningen ingen reelle rødder. Hvis parablen skærer x-aksen i et punkt (ved parablens toppunkt), har ligningen én reel rod (ligningen siges også at have to sammenfaldende rødder). Hvis parablen skærer x-aksen i to punkter, har ligningen to reelle rødder (se billedet til højre).

Hvis koefficienten er positiv, er parablens grene rettet opad og omvendt. Hvis koefficienten er positiv (for positiv , for negativ, omvendt), så ligger parablens toppunkt i venstre halvplan og omvendt. $-en$ $b$ $-en$

Grafisk måde at løse andengradsligninger på

Ud over den universelle metode beskrevet ovenfor, er der en såkaldt grafisk metode . Generelt er denne metode til at løse en rationel ligning af formen som følger: i et koordinatsystem, grafer af funktioner og og find abscissen af de fælles punkter i disse grafer; de fundne tal vil være ligningens rødder. $f(x)=g(x)$ $y=f(x)$ $y=g(x)$

Der er kun fem hovedmåder til grafisk at løse andengradsligninger. Metode I

For at løse en andengradsligning på denne måde konstrueres en funktionsgraf, og abscissen af skæringspunkterne mellem en sådan graf og aksen findes . $ax^{2}+bx+c=0$ $y=ax^{2}+bx+c$ $x$

Metode II

For at løse den samme ligning på denne måde konverteres den til formen, og grafer for en kvadratisk funktion og en lineær funktion plottes i det samme koordinatsystem , hvorefter abscissen af deres skæringspunkter findes. $ax^{2}=-bx-c$ $y=ax^{2}$ $y=-bx-c$

Metode III

Løsningen ved denne metode involverer transformationen af den oprindelige ligning til formen ved hjælp af metoden til at udtrække det fulde kvadrat af summen (forskel) og derefter til . Derefter bygges en funktionsgraf (det er en funktionsgraf, der er forskudt med skalaenheder til højre eller venstre afhængigt af tegnet) og en ret linje parallel med x-aksen. Ligningens rødder vil være abscissen af skæringspunkterne mellem parablen og linjen. $a(x+l)^{2}+m=0$ $a(x+l)^{2}=-m$ $y=a(x+l)^{2}$ $y=ax^{2}$ $|l|$ $y=-m$

Metode IV

Den andengradsligning konverteres til formen , en graf for funktionen bygges (det er grafen for funktionen , forskudt med skalaenheder op, hvis denne koefficient er positiv, eller ned, hvis den er negativ), og , find abscissen af deres fælles punkter. $ax^{2}+c=-bx$ $y=ax^{2}+c$ $y=ax^{2}$ $c$ $y=-bx$

Vej V

Den andengradsligning konverteres til en speciel form:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}});

ax+b+{\frac {c}{x}}=0;

derefter

ax+b=-{\frac {c}{x}}.

Efter at have lavet transformationer, bygger de grafer af en lineær funktion og omvendt proportionalitet , finder abscissen af skæringspunkterne for disse grafer. Denne metode har en grænse for anvendelighed: hvis , så bruges metoden ikke. $y=ax+b$ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\ikke =0)$ $c=0$

Løsning af andengradsligninger med kompas og ligekant

Metoderne til grafisk løsning beskrevet ovenfor har betydelige ulemper: de er ret besværlige, mens nøjagtigheden af at konstruere kurver - paraboler og hyperbler - er lav. Disse problemer er ikke iboende i metoden foreslået nedenfor, som involverer relativt mere nøjagtige konstruktioner med kompas og lineal.

For at træffe en sådan beslutning skal du udføre følgende rækkefølge af handlinger.

Konstruer en cirkel i Oxy-koordinatsystemet med centrum i det punkt, der skærer y-aksen i punktet C(0;1). $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {a+c}{2a)))$
Yderligere tre tilfælde er mulige:
- længden af cirklens radius overstiger længden af vinkelret på x-aksen, udeladt fra punktet S: i dette tilfælde skærer cirklen x-aksen i to punkter, og ligningen har to reelle rødder lig med abscissen af disse punkter;
- radius er lig med vinkelret: et punkt og en reel rod af multiplicitet 2;
- radius er mindre end vinkelret: der er ingen rødder i sættet . $\mathbb {R}$

Bevis

Metoden, der overvejes, involverer konstruktionen af en cirkel, der skærer y-aksen i punkter (punkter), hvis abscisser er rødderne (eller roden) af den ligning, der løses. Hvordan skal sådan en cirkel konstrueres? Lad os antage, at det allerede er bygget. En cirkel er entydigt defineret ved at angive tre af dens punkter. Lad, hvis der er to rødder, vil disse være punkter , hvor , naturligvis, er de reelle rødder af andengradsligningen (vi understreger: hvis de eksisterer ). Find koordinaterne for midten af en sådan cirkel. For at gøre dette beviser vi, at denne cirkel passerer gennem punktet . Faktisk, ifølge sekantsætningen , gælder lighed i den accepterede notation (se figur). Ved at transformere dette udtryk får vi værdien af segmentet OD, som bestemmer den ønskede ordinat af punktet D: (i den sidste transformation blev Vieta-sætningen brugt (se nedenfor i afsnittet med samme navn)). Hvis der kun er én rod, dvs. abscisseaksen vil tangere en sådan cirkel, og cirklen skærer y-aksen i et punkt med ordinaten 1, så vil den helt sikkert skære den i et punkt med ovenstående ordinat (især hvis 1=c/a, dette er der kan være sammenfaldende punkter), hvilket bevises på samme måde ved hjælp af sekant- og tangentsætningen, som er et specialtilfælde af sekantsætningen. I det første tilfælde ( ), vil tangentpunktet, y-aksepunktet med ordinat 1 og dets samme punkt med ordinat være definerende . Hvis c/a og 1 er sammenfaldende punkter, og der er to rødder, vil dette punkt og skæringspunkterne med abscisseaksen være definerende. I det tilfælde, hvor (1=c/a) og der kun er én rod, er den angivne information tilstrækkelig til bevis, da der kun kan være én sådan cirkel - dens centrum vil være hjørnet af kvadratet dannet af tangenterne og perpendikulære, og radius vil være siden af dette kvadrat, der udgør 1. Lad S være midten af en cirkel, der har to fælles punkter med x-aksen. Lad os finde dens koordinater: for dette sænker vi vinkelrette linjer til koordinatakserne fra dette punkt. Enderne af disse perpendikulære vil være midtpunkterne af segmenterne AB og CD - når alt kommer til alt er trekanter ASB og CSD ligebenede , da AS=BS=CS=DS i dem er radius af en cirkel, derfor er højderne i dem tegnet til baser er også medianer. Find koordinaterne for midtpunkterne af de navngivne segmenter. Da parablen er symmetrisk i forhold til linjen , så vil punktet på denne linje med samme abscisse være midtpunktet af segmentet AB. Derfor er abscissen af punktet S lig med dette tal. Hvis ligningen har en rod, er x-aksen tangent til cirklen, derfor er dens radius vinkelret på aksen ifølge dens egenskab, derfor er det angivne tal i dette tilfælde centrums abscisse. Vi finder dens ordinat som følger: . I det tredje mulige tilfælde, når c\a=1 (og dermed a=c), så . $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ $x_{1},x_{2}$ $D(0;{\frac {c}{a}})$ $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ ${\frac {c}{a}}\not =1$ ${\frac {c}{a))$ $x=-{\frac {b}{2a}}$ ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac { c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$

Så vi har fundet de nødvendige data til byggeriet. Faktisk, hvis vi konstruerer en cirkel med et centrum i et punkt, der går gennem et punkt , så vil den, i tilfælde hvor ligningen har reelle rødder, skære x-aksen i punkter, hvis abscisse er disse rødder. Desuden, hvis længden af radius er større end længden af vinkelret på Ox-aksen, så har ligningen to rødder (hvis man antager det modsatte, ville vi få en modsigelse med det, der blev bevist ovenfor), hvis længderne er ens, derefter en (af samme grund), hvis længden af radius er mindre end længden af vinkelret , så har cirklen ingen fælles punkter med x-aksen, derfor har ligningen ingen reelle rødder (det er også bevist modsigelse: hvis der er rødder, så falder cirklen gennem A, B, C sammen med den givne, og skærer derfor aksen, dog må den ikke krydse abscisseaksen efter betingelse, hvilket betyder, at antagelsen er forkert) . $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {c+a}{2a)))$ $C(0;1)$

Rødderne af en andengradsligning på mængden af komplekse tal

Ligning med reelle koefficienter

En andengradsligning med reelle koefficienter har altid, under hensyntagen til multipliciteten , to komplekse rødder , som angivet af algebraens grundlæggende sætning . I dette tilfælde, i tilfælde af en ikke-negativ diskriminant, vil rødderne være reelle, og i tilfælde af en negativ, vil de være komplekse konjugerede : $a~b~c$

når ligningen vil have to reelle rødder: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}});$
når - én rod af multiplicitet 2 (med andre ord, to identiske rødder): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a));$
at er to komplekse konjugerede rødder udtrykt med samme formel som for den positive diskriminant. Det kan også omskrives, så det ikke indeholder et negativt radikalt udtryk, som følger: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$

Ligning med komplekse koefficienter

I det komplekse tilfælde løses andengradsligningen ved hjælp af den samme formel (1) og dens varianter angivet ovenfor, men kun to tilfælde kan skelnes: nul diskriminant (en dobbeltrod) og ikke-nul (to rødder af enhedsmultiplicitet).

Rødderne af den reducerede andengradsligning

En andengradsligning af den form , hvor den førende koefficient er lig med én, kaldes reduceret . I dette tilfælde er formlen for rødderne (1) forenklet til $x^{2}+px+q=0,$ $-en$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Mnemoniske regler:

Fra " Babyalarm ":

"Minus" vi skriver først,
Ved siden af det p i halvdelen,
"Plus-minus" er tegnet på det radikale,
Fra barndommen kendt for os.
Nå, under roden, min ven,
Det hele bliver til ingenting:
p i halve og firkantet
Minus den smukke [2] q .

Fra " Babyalarm " (anden version):

p , med et omvendt fortegn,
Vi deler det i to,
og adskiller det pænt fra roden med et
minus-plustegn.
Og under roden er meget praktisk
Halv p kvadrat
Minus q - og her er løsningerne,
Det vil sige rødderne af ligningen.

Fra " Babymonitor " (tredje version baseret på motivet fra Moscow Evenings ):

For at finde x til halv p ,
Glem ikke taget med et minus,
Tilføj en radikal med et plus minus,
Pænt, ikke på en eller anden måde.
Og under det er kvadratet af halv p ,
Du, subtrahere med q og slutningen,
Der vil være en given formel,
Din begrundelse er kronen.
Der vil være en given formel,
Din begrundelse er kronen.

Vietas sætning

Formulering for den reducerede andengradsligning

Summen af rødderne af den givne andengradsligning er lig med koefficienten med et minustegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led $x^{2}+px+q=0$ $s$ $q\colon$

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

Med dens hjælp kan de givne ligninger løses mundtligt:

Eksempel

x^{2}-8x+12=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{cases))

x_{1}=2,\quad x_{2}=6.

For en ikke-reduceret andengradsligning

I det generelle tilfælde, det vil sige for en ikke-reduceret andengradsligning $ax^{2}+bx+c=0\colon$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases))

I praksis (ved at følge "overførselsmetoden" ) bruges en modifikation af Vieta-sætningen til at beregne rødderne:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{ 2};\end{cases}}

{\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases))

hvorved du verbalt kan finde økse 1 , økse 2 og derfra - selve rødderne:

Eksempler

8x^{2}+2x-1=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {1}{4)).

8x^{2}-2x-3=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {3}{4)).

Men for nogle ikke-reducerede ligninger kan rødderne gættes verbalt selv af standard Vieta-sætningen:

Eksempel

5x^{2}-26x+5=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5)),\\x_{1}x_ {2}=1,\end{cases}}

x_{1}={\tfrac {1}{5)),\quad x_{2}=5.

Faktorisering af kvadrattrinomialet og sætninger, der følger heraf

Hvis begge rødder af et kvadratisk trinomium er kendt, kan det udvides med formlen

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) Bevis

For at bevise denne påstand bruger vi Vietas sætning. Ifølge denne sætning danner rødderne og andengradsligningen relationer med dens koefficienter :. Erstat disse forhold i kvadrattrinomialet: $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$ $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a))$

{\begin{aligned}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a} })=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1} x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x -x_{1})(x-x_{2}).\end{aligned}}

I tilfælde af en nuldiskriminant bliver dette forhold en af varianterne af formlen for kvadratet af summen eller forskellen .

Formel (2) har to vigtige konsekvenser: Konsekvens 1 Hvis et kvadratisk trinomium dekomponeres i lineære faktorer med reelle koefficienter, så har det reelle rødder. Bevis

Lad . Når vi derefter omskriver denne udvidelse, får vi: $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k)))n(x+{\frac {l}{n)))=kn(x-(-{\frac { m}{k))))(x-(-{\frac {l}{n))))

Ved at sammenligne det resulterende udtryk med formel (2), finder vi, at rødderne til et sådant trinomium er og . Da koefficienterne er reelle, er tallene modsat deres forhold også elementer i mængden . $-{\frac {m}{k))$ $-{\frac {l}{n}}$ $\mathbb {R}$

Konsekvens 2 Hvis et kvadrattrinomium ikke har nogen reelle rødder, kan det ikke dekomponeres i lineære faktorer med reelle koefficienter. Bevis

Faktisk, hvis vi antager det modsatte (at et sådant trinomium kan dekomponeres i lineære faktorer), så har det ifølge Corollary 1 rødder i mængden , hvilket modsiger betingelsen, og derfor er vores antagelse falsk, og sådan et trinomium kan ikke dekomponeres i lineære faktorer. $\mathbb {R}$

Kvadratiske ligninger

Algebraisk

En ligning af formen er en ligning, der reduceres til en andengradsligning. $a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$

I det generelle tilfælde løses det ved at erstatte hvor E er værdisættet af funktionen f , efterfulgt af at løse andengradsligningen . $f(x)=t,~t\in E(f),$ $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$

Når du løser, kan du også undvære erstatning ved at løse et sæt af to ligninger:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

For eksempel, hvis , så bliver ligningen: $f(x)=x^{2}$

ax^{4}+bx^{2}+c=0.

Sådan en ligning af 4. grad kaldes biquadratisk [3] [1] .

Ved at udskifte

y=x+{\dfrac {k}{x}}

ligningen reduceres til en andengradsligning

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

kendt som den reciproke eller generaliserede symmetriske ligning [1] .

Differentialer

Lineær homogen differentialligning med konstante koefficienter af anden orden

y''+py'+qy=0

substitution reducerer til den karakteristiske andengradsligning: $y=e^{kx}$

k^{2}+pk+q=0

Hvis løsningerne af denne ligning og ikke er ens med hinanden, har den generelle løsning formen: $k_{1}$ $k_{2}$

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, hvor og er vilkårlige konstanter.

EN

B

For komplekse rødder kan den generelle løsning omskrives ved hjælp af Eulers formel : $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x }\cos(k_{i}x+\varphi ),

hvor A , B , C , φ er enhver konstant. Hvis løsningerne af den karakteristiske ligning er de samme , skrives den generelle løsning som: $k_{1}=k_{2}=k$

y=Axe^{kx}+Be^{kx}

Ligninger af denne type forekommer ofte i en lang række problemer inden for matematik og fysik, for eksempel i teorien om svingninger eller teorien om vekselstrømkredsløb .

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ en anden mulighed - "uheldig"
↑ Matematisk encyklopædisk ordbog. — M.: Sovjetisk Encyklopædi. - 1988.

Litteratur

Kvadratisk ligning; Firkantet trinomium // Encyklopædisk ordbog for en ung matematiker / Komp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 133 -136. — 352 s.

Links

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Afledning af formlen for rødderne af den komplette andengradsligning. Løsning af de reducerede andengradsligninger og ligninger med en lige anden koefficient Arkiveret kopi af 28. januar 2016 på Wayback Machine / Open Lesson Festival of Pedagogical Ideas.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 12124598x J9U : 987007552898205171 LCCN : sh85044517

Algebraiske ligninger
Lineær ligning Kvadratisk ligning kubisk ligning Ligning af fjerde grad Ligning af femte grad Ligning af sjette grad Ligning af syvende grad

Kvadratisk ligning

Historisk information om andengradsligninger

Det gamle Babylon

Indien

Rødderne af en andengradsligning på mængden af ​​reelle tal

jeg måde. Den generelle formel til beregning af rødder ved hjælp af diskriminanten

II måde. Rødderne af en andengradsligning med en lige koefficient b

III måde. Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

IV måde. Brug af partialkoefficientforhold

V måde. Dekomponering af et kvadratisk trinomium i lineære faktorer

VI måde. Brug af Vietas direkte og omvendte sætninger

7. vej. Overførselsmetode

Geometrisk sans

Grafisk måde at løse andengradsligninger på

Løsning af andengradsligninger med kompas og ligekant

Rødderne af en andengradsligning på mængden af ​​komplekse tal

Ligning med reelle koefficienter

Ligning med komplekse koefficienter

Rødderne af den reducerede andengradsligning

Vietas sætning

Formulering for den reducerede andengradsligning

For en ikke-reduceret andengradsligning

Faktorisering af kvadrattrinomialet og sætninger, der følger heraf

Kvadratiske ligninger

Algebraisk

Differentialer

Noter

Litteratur

Links

Rødderne af en andengradsligning på mængden af reelle tal

Rødderne af en andengradsligning på mængden af komplekse tal