Sfæriske funktioner

Sfæriske funktioner er den vinkelformede del af familien af ortogonale løsninger af Laplaces ligning , skrevet i sfæriske koordinater . De er meget brugt til at studere fysiske fænomener i rumlige områder afgrænset af sfæriske overflader og til at løse fysiske problemer med sfærisk symmetri. Sfæriske funktioner er af stor betydning i teorien om partielle differentialligninger og teoretisk fysik , især i problemerne med at beregne elektronorbitaler i et atom, geoidens gravitationsfelt , planeternes magnetfelt og intensiteten af den kosmiske mikrobølge stråling .

Definition

Sfæriske funktioner er egenfunktioner af Laplace-operatoren i et sfærisk koordinatsystem (notation ). De danner et ortonormalt system i funktionsrummet på en kugle i tredimensionelt rum: $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ $\mathbb {S} ^{2}$

\langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d \theta \,d\varphi =1

\langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^ {\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _ {mm'}

hvor * angiver kompleks konjugation , er Kronecker-symbolet . $\delta _{{ll'}}$

De sfæriske funktioner har formen

Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )

hvor funktionerne er løsninger af ligningen $\Theta _{{lm}}(\theta )$

{\frac {1}{\sin {\theta ))}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm} }{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _ {l}^{m}=0

og har formen

\Theta _{l}^{m}={\sqrt ({\frac {2l+1}{2)){\frac {(lm)!}{(l+m)!)))) P_{l}^{m}(\cos \theta )

Her er de tilknyttede Legendre polynomier , og er faktorialet . $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ $m!$

De tilknyttede Legendre polynomier med negativ introduceres her som $m$

P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!)}P_{\ ell }^{m}(x)

Løsningen af Laplace-ligningen i sfæriske koordinater er den såkaldte sfæriske funktion opnået ved at gange den sfæriske funktion med løsningen af den radiale ligning.

Ægte form

For sfæriske funktioner er formen af afhængigheden af vinklen en kompleks eksponent. Ved hjælp af Eulers formel kan man introducere reelle sfæriske funktioner. Nogle gange er de mere bekvemme at bruge på grund af det faktum, at virkelige funktioner tydeligt kan vises i illustrationer i modsætning til komplekse. $\varphi$

{\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\ tekst{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,( -1)^{m}\,\operatørnavn {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^ {0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatørnavn {Re} [{Y_{\ell }^ {m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}

Omvendt konvertering:

Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\right)&{\text{}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{}}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^ {m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0. \end{sager}}

Nogle gange kaldes virkelige sfæriske funktioner zonale, tessale og sektorielle. [1] . Funktioner med m > 0 afhænger af vinklen som en cosinus, og med m < 0 som en sinus.

$Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{ (\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m <0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\ \displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\ slut{cases}}$

Drejer

Overvej en rotation af koordinatsystemet ved hjælp af Euler-vinkler , som omdanner en enhedsvektor til en vektor . I dette tilfælde er vektorvinklerne i det nye koordinatsystem udtrykt i form af vinklerne i det gamle koordinatsystem som følger ${\mathcal {R}}$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r} }'$ $\theta ',\varphi '$ ${\mathbf {r} }'$

\cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )

\operatørnavn {ctg} \left(\varphi ^{\prime}+\gamma \right)=\operatørnavn {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatørnavn {ctg } \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )))

I det nye koordinatsystem vil en sfærisk funktion med indekser og blive repræsenteret som en lineær kombination af alle funktioner med samme tal og forskellige . Koefficienterne i den lineære kombination er de komplekse konjugat Wigner D-matricer [2] $\ell$ $m$ $\ell$ $m$

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ', \varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_ {\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),

Nummererede sfæriske funktioner danner grundlag for en irreducerbar repræsentation af dimensionen af SO(3)-rotationsgruppen. $\ell$ $(2\ell +1)$

Udvidelse af en plan bølge i form af sfæriske funktioner

Den komplekse eksponent kan repræsenteres som en udvidelse i sfæriske funktioner

e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\ sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\venstre({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m }\venstre({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)

Her er den sfæriske Bessel-funktion $j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

Nedbrydning af produkter af sfæriske funktioner

Clebsch-Gordan- udvidelserne for produkter med to sfæriske funktioner er som følger [3] :

Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L, M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)))}\langle \ell _{ 1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2 }|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )

Se også

Liste over sfæriske funktioner

Noter

↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of matematisk fysik Arkiveret kopi af 27. december 2019 på Wayback Machine
↑ M. A. Morrison, G. A. Parker . En guide til rotationer i kvantemekanik Arkiveret 1. oktober 2019 på Wayback Machine . — Australian Journal of Physics, Vol. 40, s. 465, 1987
↑ Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Kvanteteori om vinkelmomentum. Arkivkopi dateret 11. november 2007 på Wayback Machine - L .: Nauka, 1975.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — Udgave 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). - ISBN 5-02-014421-5 . - matematiske tilføjelser