Galois teori

Galois-teorien er en gren af algebra , der giver dig mulighed for at omformulere visse spørgsmål om feltteori i gruppeteoriens sprog , hvilket gør dem på en eller anden måde enklere.

Évariste Galois formulerede hovedudsagn i denne teori i form af permutationer af rødderne af et givet polynomium (med rationelle koefficienter); han var den første til at bruge udtrykket " gruppe " til at beskrive et sæt af permutationer, der er lukket under sammensætning og indeholder identitetspermutationen.

En mere moderne tilgang til Galois teori er at studere automorfismer af en udvidelse af et vilkårligt felt ved hjælp af Galois-gruppen svarende til den givne udvidelse.

Ansøgninger

Galois teori giver en enkelt elegant tilgang til at løse sådanne klassiske problemer som

Hvilke figurer kan bygges med et kompas og en lineal ?
Hvilke algebraiske ligninger kan løses ved hjælp af de algebraiske standardoperationer ( addition , subtraktion , multiplikation , division og rodekstraktion )?

Rodsymmetrier

Rodsymmetrier er sådanne permutationer på sættet af rødder af et polynomium, for hvilke enhver algebraisk ligning med rationelle koefficienter (med flere variabler), der er opfyldt af rødderne, også opfyldes af de permuterede rødder.

Eksempel: andengradsligning

Polynomiet af anden grad har to rødder og symmetrisk om punktet . Der er to muligheder: $ax^{2}+bx+c$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x=-b/(2a)$

Hvis disse rødder er rationelle, så opfylder kun én rod ligningen, og gruppen af ligningen er triviel. $x-x_{1}=0$
Hvis rødderne er irrationelle, så indeholder gruppen et ikke-trivielt element og er isomorf . ${\displaystyle x_{1}\Leftrightarrow x_{2))$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

Et mere komplekst eksempel

Overvej nu polynomiet . $(x^{2}-5)^{2}-24$

Dens rødder : $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2} }+{\sqrt {3)),\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Der er forskellige permutationer af rødderne til denne ligning, men ikke alle af dem er symmetrier. Elementerne i Galois-gruppen skal bevare enhver algebraisk ligning med rationelle koefficienter. $4!=24$

En af disse ligninger er . Siden er permutationen ikke i Galois-gruppen. $a+d=0$ $a+c\neq 0$ $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$

Derudover kan det ses, at , men . Derfor er permutationen ikke med i gruppen. $(a+b)^{2}=8$ $(a+c)^{2}=12$ $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$

Endelig kan vi få, at Galois-gruppen af et polynomium består af fire permutationer:

(a,b,c,d)\to (a,b,c,d),

(a,b,c,d)\to (c,d,a,b),

(a,b,c,d)\to (b,a,d,c),

(a,b,c,d)\to (d,c,b,a)

og er en firdobbelt Klein gruppe , isomorf til . $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Formulering i form af feltteori

Felteori giver en mere generel definition af Galois-gruppen som gruppen af automorfier af en vilkårlig Galois-udvidelse .

I dette sprog kan man formulere alle udsagn vedrørende "symmetrierne" af rødderne af et polynomium. Lad nemlig koefficienterne for det givne polynomium høre til feltet K . Betragt en algebraisk forlængelse L af feltet K med rødderne af et polynomium. Så er polynomiets Galois-gruppe gruppen af automorfier af feltet L , der efterlader elementerne i feltet K på plads, det vil sige Galois-gruppen i forlængelsen . For eksempel blev Galois-gruppen i udvidelsen i det foregående eksempel overvejet . $L\uheld K$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$

Opløselige grupper og løsning af ligninger i radikaler

Løsninger til en polynomialligning udtrykkes i radikaler, hvis og kun hvis Galois-gruppen i den givne ligning generelt kan løses . $P(x)=0$

For enhver er der en ligning af th grad, hvis Galois-gruppe er isomorf til den symmetriske gruppe , det vil sige, den består af alle mulige permutationer . Da grupper på ikke kan løses, er der polynomier af grad , hvis rødder ikke kan repræsenteres af radikaler , som er en erklæring fra Abel-Ruffini-sætningen . $n$ $n$ $S_{n}$ $S_{n}$ $n>4$ $n$

Variationer og generaliseringer

En mere abstrakt tilgang til Galois teori blev udviklet af Alexander Grothendieck i 1960. Denne tilgang gør det muligt at anvende hovedresultaterne af Galois-teorien på enhver kategori , der har givet egenskaber (for eksempel eksistensen af biprodukter og kartesiske firkanter ).
- Dette gør det især muligt at overføre resultaterne af Galois-teorien til teorien om belægninger . For at anvende denne teori på kategorien feltudvidelser er det nødvendigt at studere egenskaberne af tensorprodukter af felter .

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (red.) Matematik i det 19. århundrede. — M.: Nauka.

Bind 1 Matematisk logik. Algebra. Talteori. Sandsynlighedsteori. 1978. (utilgængeligt link)

Postnikov M. M. Galois teori. Arkivkopi dateret 2. april 2014 på Wayback Machine - M .: Fizmatgiz , 1963.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971] , Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France , arXiv: math/ 02062 2-85629-141-2
Skopenkov A. B. Nogle flere beviser fra bogen: solvabilitet og uopløselighed af ligninger i radikaler.
Lerner L. Galois Teori uden abstrakt algebra.
Emil Artin . Galois teori. / Per. fra engelsk. A. V. Samokhina. - 2. udg. stereotype. — M.: MTsNMO, 2008. — 66 s. — (Klassiske monografier: matematik). - ISBN 978-5-94057-062-2 .

Links

R. Borcherds , Playlist "Galois theory" på YouTube

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 119587869 J9U : 987007558074605171 LCCN : sh85052872 NDL : 00562218 NKC : ph135380