Den kvadratiske lov om reciprocitet er en række udsagn om løseligheden af en kvadratisk kongruens modulo . Ifølge denne lov, hvis er ulige primtal, og mindst et af dem har formen, så er der to sammenligninger
enten har begge løsninger til eller har begge ikke. Derfor er ordet "gensidighed" brugt i lovens titel. Hvis begge har formen , har løsningen kun én og én af de angivne sammenligninger [1] .
Hvis sammenligningen for givne heltal har løsninger, så kaldes den kvadratisk rest [2] modulo, og hvis der ikke er nogen løsninger, så kvadratisk non-residue modulo Ved hjælp af denne terminologi kan vi formulere den kvadratiske reciprocitetslov som følger:
Hvis er ulige primtal, og mindst én af dem har formen, så er begge kvadratiske rester modulo hinanden, eller begge er ikke-rester. Hvis begge har formen, så er den kvadratiske rest én og kun ét af disse tal - enten modulo eller modulo |
Lad være et heltal, være et ulige primtal. Legendre-symbolet er defineret som følger:
Tabellen nedenfor viser tydeligt, hvilke ulige primtal op til 100 der er rester, og hvilke der er ikke-rester. For eksempel refererer den første linje til modulo 3 og betyder, at tallet 5 er en kvadratisk ikke-rest (H), 7 er en rest (B), 11 er en ikke-rest osv. Tabellen viser tydeligt, at for tal af formen (grønne og blå celler ) er alle koder, der er symmetriske med dem i forhold til matrixens hoveddiagonal, nøjagtig de samme, hvilket er, hvad "gensidighed" betyder. For eksempel har celle (5, 7) den samme kode som celle (7, 5). Hvis cellerne svarer til to tal i formen (gule og røde celler), så er koderne modsatte - for eksempel for (11, 19).
PÅ | q er en rest modulo p | q ≡ 1 (mod 4) eller p ≡ 1 (mod 4) (eller begge) |
H | q er en ikke-rest modulo p | |
PÅ | q er en rest modulo p | både q ≡ 3 (mod 4) og p ≡ 3 (mod 4) |
H | q er en ikke-rest modulo p |
q | |||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 5 | 7 | elleve | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | ||
s | 3 | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | |
5 | H | H | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | ||
7 | H | H | PÅ | H | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | H | ||
elleve | PÅ | PÅ | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | H | PÅ | PÅ | ||
13 | PÅ | H | H | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | H | H | PÅ | H | H | H | ||
17 | H | H | H | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | H | PÅ | PÅ | H | ||
19 | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | H | H | ||
23 | PÅ | H | H | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | ||
29 | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | H | H | ||
31 | H | PÅ | PÅ | H | H | H | PÅ | H | H | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | PÅ | ||
37 | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | ||
41 | H | PÅ | H | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | H | H | ||
43 | H | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | ||
47 | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | H | H | H | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | ||
53 | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | ||
59 | PÅ | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | H | H | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | H | H | H | ||
61 | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | ||
67 | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | ||
71 | PÅ | PÅ | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | ||
73 | PÅ | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | ||
79 | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | H | H | H | H | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | ||
83 | PÅ | H | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | H | H | PÅ | PÅ | H | H | H | H | H | H | ||
89 | H | PÅ | H | PÅ | H | PÅ | H | H | H | H | H | H | H | PÅ | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | ||
97 | PÅ | H | H | PÅ | H | H | H | H | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | PÅ | H | PÅ | H | H | PÅ | PÅ | H | PÅ |
Gauss' kvadratiske reciprocitetslov for Legendre-symboler siger det
hvor p og q er forskellige ulige primtal.
Følgende tilføjelser er også gyldige :
og
Formuleringen af den kvadratiske reciprocitetslov var allerede kendt af Euler i 1783 [3] . Legendre formulerede loven uafhængigt af Euler og beviste den i nogle særlige tilfælde i 1785. Et fuldstændigt bevis blev udgivet af Gauss i Arithmetical Investigations (1801); efterfølgende gav Gauss flere flere af sine beviser, baseret på helt andre ideer.
Et af de enkleste bevis blev foreslået af Zolotarev i 1872. [4] [5] [6]
Efterfølgende blev der opnået forskellige generaliseringer af den kvadratiske reciprocitetslov [7] .
![]() |
---|