Matematisk struktur

Matematisk struktur  er et navn, der forener begreber, hvis fælles træk er deres anvendelighed på mængder , hvis karakter ikke er defineret. For at bestemme selve strukturen specificeres relationer , hvori elementerne i disse sæt er placeret. Derefter postuleres det, at disse relationer opfylder visse betingelser, som er aksiomer for den betragtede struktur [1] .

Konstruktionen af ​​en aksiomatisk teori om en eller anden struktur er udledningen af ​​logiske konsekvenser fra strukturens aksiomer, uden nogen andre antagelser om de elementer, der overvejes, og især fra hypoteser om deres "natur".

Begrebet struktur var oprindeligt uformelt. I Bourbakis værker blev der konstrueret en formel teori om strukturer, som skulle være grundlaget for matematikken, men denne teori var ikke fikseret i en sådan rolle.

Grundlæggende typer af strukturer

De relationer, der er udgangspunktet i definitionen af ​​strukturen, kan være meget forskelligartede.

Den vigtigste type strukturer er algebraiske strukturer . For eksempel en relation kaldet "sammensætningsloven", det vil sige en relation mellem tre elementer, der entydigt bestemmer det tredje element som en funktion af de to første. Når relationerne i definitionen af ​​en struktur er "sammensætningslove", kaldes den tilsvarende matematiske struktur en algebraisk struktur. For eksempel er strukturerne af en sløjfe , en gruppe , et felt defineret af to love for sammensætning med passende valgte aksiomer. Så addition og multiplikation på mængden af ​​reelle tal bestemmer feltet på mængden af ​​disse tal.

Den anden vigtige type er repræsenteret af strukturer defineret af ordensrelationen , det vil sige ordensstrukturer . Dette er forholdet mellem to elementer , som vi oftest udtrykker med ordene " mindre end eller lig med " og som generelt betegnes som . I dette tilfælde antages det ikke, at denne relation entydigt identificerer et af elementerne som en funktion af det andet.

Den tredje type strukturer er topologiske strukturer , hvor de intuitive begreber naboskab , grænse og kontinuitet realiseres gennem en abstrakt matematisk formulering ved hjælp af generel topologi .

Hierarki af strukturer i matematik

En gruppe matematikere, forenet under navnet Nicolas Bourbaki , præsenterede i artiklen " The Architecture of Mathematics " (1948) matematik som et tre-niveau hierarki af strukturer, der går fra simple til komplekse, fra generel til speciel.

På det første niveau introduceres de vigtigste (genererende) matematiske strukturer, blandt dem, da de vigtigste, genererende ( fr.  les structures-mères ) skelnes:

I hver af disse typer af strukturer er der tilstrækkelig diversitet. Samtidig bør man skelne mellem den mest generelle struktur af den pågældende type med det mindste antal aksiomer og de strukturer, der opnås fra den som følge af dens berigelse med yderligere aksiomer, som hver især medfører nye konsekvenser.

Komplekse matematiske strukturer ( fr.  multipler ) placeres på det andet niveau - strukturer, der samtidigt omfatter en eller flere genererende strukturer, men ikke bare kombineret med hinanden, men organisk kombineret ved hjælp af aksiomer, der forbinder dem. For eksempel studerer topologisk algebra strukturer defineret af sammensætningslove og topologisk struktur, som er forbundet med betingelsen om, at algebraiske operationer er kontinuerte (i den betragtede topologi) funktioner af elementer. Et andet eksempel er algebraisk topologi , som betragter nogle sæt punkter i rummet, defineret af topologiske egenskaber, som elementer, hvorpå algebraiske operationer udføres. Mange af de strukturer, der bruges i applikationer , kan henføres til det andet niveau, for eksempel forbinder begivenhedsstrukturen en delordre med en særlig slags binær relation.

På det tredje niveau - særlige matematiske strukturer, hvor elementerne i de betragtede mængder, som var fuldstændig ubestemte i de generelle strukturer, får en mere bestemt individualitet. Det er på denne måde, at sådanne teorier om klassisk matematik som den matematiske analyse af funktioner af en reel og kompleks variabel, differentialgeometri , algebraisk geometri opnås .

Historie

Begrebet struktur blev oprindeligt brugt uformelt i almindelig algebra . Det mest berømte forsøg på at formalisere dette koncept blev lavet af Bourbaki (denne artikel bygger også på Bourbakis arbejde); før var det for eksempel teorien om algebraiske strukturer af Oystin Ore [2] . Bourbaki brugte sin teori om strukturer som grundlaget for matematik sammen med mængdeteori . Men faktisk er teorien om strukturer kun lidt brugt selv i deres eget videre arbejde og er i det hele taget ikke blevet fastlagt i matematikken [3] . I 1940'erne - 1950'erne førte de akkumulerede ideer om ligheden mellem en bred klasse af algebraiske strukturer og ordensstrukturer til skabelsen af ​​en universel algebra og begrebet et algebraisk system  - et sæt udstyret med et sæt operationer og relationer (dog , ikke alle algebraiske strukturer i betydningen Bourbaki udtrykkes effektivt i sproget universel algebra). Siden 1960'erne og 1970'erne er ideerne om matematiske strukturer oftere blevet udtrykt i kategoriteoriens sprog .

Noter

  1. ↑ Struktur // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
  2. ↑ Corry, 2004 , kapitel 6. Oystein Ore: Algebraic Structures.
  3. ↑ Corry, 2004 , kapitel 7. Nicolas Bourbaki: Theory of Structures .

Litteratur