Konsistens

Konsistens er en egenskab ved et formelt system , som består i ikke-afledning af en modsigelse fra det . Hvis negationen af en sætning fra systemet kan bevises i teorien, så siges sætningen selv at være gendrivelig i den. Konsistensen af et system betyder, at ingen påstand både kan bevises og samtidig tilbagevises i den. Kravet om konsistens er et obligatorisk krav for videnskabelig og i særdeleshed logisk teori. Det modstridende system er åbenbart ufuldkomment: sammen med de sande bestemmelser omfatter det også falske; det både beviser og modbeviser noget på samme tid. I mange systemer gælder Duns Scotus' lov . Under disse forhold betyder bevisbarheden af en modsigelse, hvad der bliver bevisbart.

Formelle systemer, der har denne egenskab, kaldes konsistente eller formelt konsistente . Ellers kaldes det formelle system inkonsistent eller inkonsistent .

For en bred klasse af formelle systemer, hvis sprog indeholder et negationstegn, svarer til egenskaben : "der er ingen formel , sådan at begge kan bevises". En klasse af formler for et givet formelt system siges at være konsistent, hvis ikke alle formler i dette system kan udledes fra denne klasse. $\neg$ $\phi$ $\phi$ $\neg \phi$

Et formelt system kaldes indholdskonsistent, hvis der er en model , hvor alle sætningerne i dette system er sande. Hvis et formelt system er meningsfuldt konsistent, så er det formelt konsistent.

For formelle systemer baseret på den klassiske prædikatregning gælder det omvendte også: i kraft af Gödels sætning om fuldstændigheden af den klassiske prædikatregning har ethvert sådant konsistent system en model. En af måderne til at bevise sammenhængen i et formelt system er således at bygge en model.

En anden, såkaldt metamatematisk metode til at bevise konsistens, foreslået i begyndelsen af det 20. århundrede. Hilbert er, at udsagnet om konsistensen af et bestemt formelt system betragtes som et udsagn om de beviser, der er mulige i dette system. En teori, hvis objekter er vilkårlige matematiske beviser, kaldes bevisteori eller metamatematik. Et eksempel på anvendelsen af den metamatematiske metode er Gentzens bevis på konsistensen af et formelt aritmetiksystem.

Ethvert bevis for konsistens bruger midlerne fra en eller anden matematisk teori, og reducerer derfor kun spørgsmålet om en teoris konsistens til spørgsmålet om en andens konsistens. Det siges også, at den første teori er i overensstemmelse med den anden teori. Af stor betydning er Gödels anden sætning , som siger, at konsistensen af en formel teori indeholdende aritmetik ikke kan bevises ved hjælp af den pågældende teori selv (forudsat at teorien faktisk er konsistent).

Tilstedeværelsen af logisk inkonsistens underminerer grundlaget for ræsonnement, bevis. teori, da logisk inkonsistens er akilleshælen af forkert ræsonnement og undervisning. Etablering af den logiske inkonsekvens af en teori eller et koncept ødelægger teorien eller konceptet uden yderligere argumenter for deres fiasko [1] .

Se også

Noter

↑ Kondakov N.I. Logical Dictionary. - M . : Nauka , 1975. - S. 385.

Litteratur

Stoll R.R. Sæt. Logikker. aksiomatiske teorier. - M .: Uddannelse , 1968. - 231 s.