Cirkel

En cirkel er en lukket plan kurve , som består af alle punkter på planet med lige stor afstand fra et givet punkt, der ligger i samme plan som kurven [1] : dette punkt kaldes cirklens centrum . Det segment, der forbinder midten med et hvilket som helst punkt på cirklen, kaldes radius ; radius kaldes også længden af dette segment. Cirklen deler planet i to dele [2] — endelig indre og uendelig ekstern. Det indre af en cirkel kaldes en cirkel ; grænsepunkter (det vil sige selve cirklen), afhængigt af tilgangen, kan cirklen inkludere eller ikke.

Praktisk konstruktion af en cirkel er mulig med et kompas .

En cirkel med nulradius (en degenereret cirkel) er et punkt; yderligere er dette tilfælde udelukket fra overvejelse, medmindre andet er angivet.

En cirkel kaldes enhed, hvis dens radius er lig med én. Enhedscirklen er et af trigonometriens grundlæggende objekter .

Herefter betegner bogstavet cirklens radius. $R$

Akkorder, buer og tangenter

1 - sekant , 2 - akkord AB (markeret med rødt), 3 - segment (markeret med grønt), 4 - bue
Cirkel sektorer

En ret linje kan ikke have mere end to punkter til fælles med en cirkel.

En linje, der skærer en cirkel i to forskellige punkter, kaldes en sekant . Et sekantsegment placeret inde i en cirkel kaldes en akkord . Korden, der går gennem midten af cirklen, kaldes diameteren ; det samme udtryk bruges om dets længde. Diameteren er to gange radius: den deler cirklen i to lige store dele og er derfor dens symmetriakse . Diameteren er større end nogen anden akkord [3] . $D=2R,$

Akkorden deler cirklen i to dele, kaldet segmenter af cirklen . To forskellige radier deler også cirklen i to dele, kaldet sektorer af cirklen (se billeder) [3] .

Alle to ikke-sammenfaldende punkter på cirklen deler den i to dele. Hver af disse dele kaldes en cirkelbue . En bue kaldes en halvcirkel , hvis segmentet, der forbinder dens ender, er en diameter.

For en given cirkel finder følgende egenskaber sted [3] .

Akkorder lige langt fra midten er lige store. Omvendt, hvis to akkorder er lige lange, så er de lige langt fra midten.
Lige akkorder svarer til lige buer og omvendt.

En linje, der har præcis ét punkt til fælles med en cirkel, kaldes en tangent til cirklen, og deres fælles punkt kaldes linjens og cirklens tangentpunkt. En tangent til en cirkel er altid vinkelret på dens radius (og diameter) tegnet ved kontaktpunktet. Det vil sige, at radius samtidig er normalen til cirklen [4] .

Segmenterne af tangenter til cirklen, tegnet fra et punkt, der ikke ligger på cirklen, er lige store og danner lige store vinkler med linjen, der går gennem dette punkt og cirklens centrum [5] .

Vinkler

Den indskrevne vinkel θ er lig med halvdelen af værdien af den centrale vinkel 2 θ baseret på den samme bue (lyserød)
Til beregning af længden af buen og akkorden

En central vinkel er en vinkel med et toppunkt i midten af cirklen. En indskrevet vinkel er en vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel, og hvis sider skærer cirklen. De siger, at de centrale eller indskrevne vinkler er baseret på en bue skåret på en cirkel af deres stråler, eller på en korde , der underspænder denne bue.

Den centrale vinkel kan tages som vinkelmålet for den bue, den hviler på. Den centrale vinkel dannet af en cirkelbue, der er lig med radius i længden, tages i matematik som en måleenhed for vinkler og kaldes radian .

Det følger af definitionen af radianen , at længden af enhver cirkulær bue er relateret til midtervinklen , baseret på denne bue, ved en simpel relation [6] : i dette tilfælde er længden af den korde, der spænder den samme bue, lig. til Da omkredsen er lig med , med stigende vinkel, ændres værdien af dens radianmål fra 0 til $L$ $\theta$ $L=R\theta ,$ $2R\sin {\theta \over 2}<L.$ $2\pi R$ $2\pi.$

Den ydre vinkel for en indskrevet vinkel er den vinkel, der dannes af den ene side og fortsættelsen af den anden side af den indskrevne vinkel (vinklen θ er brun på figuren). Den ydre vinkel for en indskrevet vinkel er lig med den indskrevne vinkel baseret på den samme korde på den anden side.

Vinklen mellem cirklen og linjen er vinklen mellem sekantlinjen og en af de to tangenter til cirklen i skæringspunktet mellem linjen og cirklen.

Egenskaber for indskrevne vinkler :

En indskrevet vinkel er enten lig med halvdelen af den centrale vinkel baseret på dens bue, eller komplementerer halvdelen af denne vinkel til 180°. En indskrevet vinkel baseret på en bue en halv cirkel lang er altid en ret vinkel (lig med 90°).
En indskrevet vinkel ændrer ikke sin værdi, når dens toppunkt flyttes langs cirklen.
To indskrevne vinkler under den samme bue er lige store.

Andre egenskaber:

Vinklen mellem to sekanter tegnet fra et punkt, der ligger uden for cirklen, er lig med den halve forskel af målene for de buer, der ligger mellem sekanterne.
Vinklen mellem krydsende akkorder er lig med halvdelen af summen af målene af den bue, der ligger i vinklen og buen modsat denne.
Vinklen mellem en tangent og en akkord med et fælles punkt er lig med halvdelen af buens vinkelmål fratrukket af akkorden.

Egenskaber

Isoperimetrisk ulighed : Af alle lukkede kurver af en given længde, afgrænser en cirkel området med det maksimale areal.
Gennem tre punkter, der ikke ligger på samme lige linje, er det muligt at tegne en cirkel, og desuden kun én.
To cirkler siges at røre ved , hvis de har et enkelt fælles punkt. Kontaktpunktet for to cirkler ligger på en lige linje, der går gennem deres centre.
Sekantsætningen : Hvis en sekant trækkes gennem et vilkårligt punkt , så afhænger produktet af afstandene fra dette punkt til skæringspunkterne mellem sekanten og cirklen ikke af valget af sekanten (og er lig med den absolutte værdien af punktets grad i forhold til cirklen ). Hvis et punkt ligger uden for cirklen, kan der trækkes en tangent fra det til cirklen. Kvadraten af længden af tangentsegmentet til kontaktpunktet vil være lig med den samme værdi. $E$ $E$

Som et særligt tilfælde af den foregående, når to akkorder skærer hinanden i et vilkårligt punkt , opnås segmenter, hvis produkt af længderne for en akkord er lig med det tilsvarende produkt for den anden (se figur), dvs. $E$ $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

Formler

Omkreds:

C=2\pi R=\pi D

Cirkel radius:

R={\frac {C}{2\pi }}={\frac {D}{2}}

Cirkeldiameter:

D={\frac {C}{\pi }}=2R

Arealet af en cirkel med radius R :

S=\pi R^{2}={\frac {\pi D^{2}}{4}}

Området af sektoren , begrænset af den centrale vinkel α , målt i grader, med radius R :

{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ ))))

Segmentområde , afgrænset af en cirkelbue, midtervinkel α , korde:

S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}-{\frac {R^{2}\sin \alpha }{2}}

Historie

Cirklen er sammen med den lige linje den mest almindelige kurve i næsten alle områder af menneskelig aktivitet. Historien om dens forskning og anvendelse går tilbage til oldtiden; Opfindelsen af hjulet gav dette emne særlig betydning . Gamle videnskabsmænd betragtede lige linjer og cirkler som det eneste eksempel på "perfekte" kurver, derfor i geometri blev kun konstruktioner ved hjælp af et kompas og lineal anset for acceptable , og planeternes bevægelse blev modelleret som en pålæggelse af rotationer langs cirkler . Teorien om cirkler er viet til den tredje bog " Begyndelser " af Euclid .

Også i antikken blev det opdaget, at forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter ( tal π ) er det samme for alle cirkler. Et historisk vigtigt emne for århundreders forskning har været forfining af dette forhold, såvel som forsøg på at løse " cirkelkvadreringsproblemet " . Senere førte udviklingen af teorien om cirkler til skabelsen af trigonometri , teorien om oscillationer og mange andre praktisk vigtige grene af videnskab og teknologi.

Analytisk geometri af cirkler

Med hensyn til analytisk geometri er en cirkel en simpel andenordens plan algebraisk kurve . Cirklen er et specialtilfælde af en ellipse , hvor halvakserne er lige store, og derfor er cirklen et keglesnit .

Kartesiske koordinater

Den generelle ligning af en cirkel er skrevet som:

x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,

eller

\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},

hvor

2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C)).

Punktet er midten af cirklen og er dens radius. $\venstre(x_{0},y_{0}\højre)$ $R$

Ligning af en cirkel med en radius centreret i origo : $R$

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

Ligningen for en cirkel, der går gennem punkter , der ikke ligger på en ret linje (ved hjælp af determinanten ): $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{ 2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3 }&1\end{vmatrix}}=0.

Så er koordinaterne for cirklens centrum eksplicit bestemt af formlerne:

x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3} ^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1 }^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{ x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^ {2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1} ^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_ {1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

En cirkel kan også beskrives ved hjælp af en parametrisk ligning :

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases)),\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .

I det kartesiske koordinatsystem er cirklen ikke en funktionsgraf , men den kan beskrives som foreningen af graferne for følgende to funktioner:

y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Hvis midten af cirklen falder sammen med oprindelsen, har funktionerne formen:

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.

Polære koordinater

Cirkel med radius centreret i punktet : $R$ $\left(\rho _{0},\phi _{0}\right)$

\rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{ 2}.

Hvis de polære koordinater for cirklens centrum, så beskrives cirklen, der går gennem oprindelsen, ved ligningen: $\rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha ,$

\rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac \pi 2}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac \pi 2}.

Hvis centrum er oprindelsen af koordinater, så vil ligningen se ud

\rho=R.

Kompleks plan

På det komplekse plan er cirklen givet ved formlen:

\left|z-z_{0}\right|=R

eller i parametrisk form

z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .

Cirkler i rummet

I rummet kan en cirkel med radius centreret i et punkt defineres som konturen af et diametralt snit af en kugle $R$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}

fly

a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0

hvor er parametre, der ikke samtidigt er lig med nul; det vil sige, at alle punkter, der ligger på en given cirkel, er løsninger til systemet $a,b,c$

{\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2} ,\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{ sager}}

For eksempel, når man løser dette system, kan man indstille det parametrisk som følger: $a=c\neq 0$

{\begin{cases}x=x_{0}+{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{2))))}\cdot \!\left(c\cdot \ cos t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2))))}\right)\!,\ \[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2)))){{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}+c^{2)))))\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{ 2}}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+ c^{2}}}}}\right)\!,\end{cases}}t\in [0;2\pi ).

Tangenter og normaler

Ligningen for en tangent til en cirkel i et punkt er givet af ligningen $\venstre(x_{1},y_{1}\højre)$

\left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0.

Normalligningen i samme punkt kan skrives som

{\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.

Koncentriske cirkler

Cirkler med et fælles centrum, men forskellige radier kaldes koncentriske . To cirkler givet af ligningerne:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

er koncentriske hvis og kun hvis og $A_{1}=A_{2}$ $B_{1}=B_{2}.$

Yderligere information

Definition af trekanter for én cirkel

En trekant ABC kaldes indskrevet i en cirkel (A,B,C), hvis alle tre hjørner A , B og C ligger på denne cirkel. I dette tilfælde kaldes cirklen den omskrevne cirkel af trekanten ABC (Se omskrevne cirkel ).
En tangent til en cirkel tegnet gennem et hvilket som helst toppunkt i en trekant, der er indskrevet i den, er antiparallel til siden af trekanten modsat det givne toppunkt.
En trekant ABC siges at være omskrevet omkring en cirkel (A',B',C'), hvis alle tre sider AB , BC og CA berører denne cirkel i nogle punkter henholdsvis C' , A' og B' . I dette tilfælde kaldes cirklen den indskrevne cirkel af trekanten ABC (Se. Indskrevet cirkel ).
En trekant ABC kaldes ud af cirklen for en cirkel (A',B',C'), hvis alle 3 dens sider AB , BC og CA berører denne cirkel i nogle punkter henholdsvis C' , A' og B' , nemlig: en af de 2 sider berører direkte, samt forlængelser af 2 andre sider uden for trekanten. I dette tilfælde kaldes cirklen omkredsen af trekanten ABC (Se omkreds ).

Varianter af definition af en cirkel

En cirkel med diameter AB er en figur bestående af punkterne A, B og alle punkter i planet, hvorfra segmentet AB er synligt i en ret vinkel (Definition gennem en vinkel baseret på diameteren af en cirkel ).
En cirkel med en korde AB er en figur bestående af punkterne A, B og alle punkter i planet, hvorfra segmentet AB er synligt i en konstant vinkel på den ene side svarende til den indskrevne vinkel på buen AB , og i en anden konstant vinkel på den anden side lig med 180 grader minus den indskrevne vinkel for buen AB specificeret ovenfor (Defineret af den indskrevne vinkel ).
En figur bestående af sådanne punkter , at forholdet mellem længderne af segmenterne AX og BX er konstant: det er en cirkel (Definition gennem cirklen af Apollonius ). $x,$ ${\frac {AX}{BX}}=c\neq 1,$
Figuren, der består af alle sådanne punkter, for hver af hvilke summen af kvadrerede afstande til to givne punkter er lig med en given værdi, større end halvdelen af kvadratet af afstanden mellem de givne punkter, er også en cirkel (Definition gennem Pythagoras sætning for en vilkårlig retvinklet trekant indskrevet i en cirkel, med en hypotenuse , som er diameteren af cirklen).
En cirkel er en lukket, selv-ikke-skærende figur med følgende egenskab. Hvis nogen akkorder AB , CD , GF osv. trækkes gennem et vilkårligt punkt E inde i den, så er lighederne gyldige: (se fig.). Ligheder vil altid være opfyldt uanset valget af punkt E og retningerne af de akkorder, der trækkes igennem det (Definition gennem krydsende akkorder ). $AE\cdot EB=CE\cdot ED=GE\cdot EF$

En cirkel er en lukket, selv-ikke-skærende figur med følgende egenskab. Hvis to tangenter trækkes gennem et vilkårligt punkt M uden for det til punkterne for deres kontakt med cirklen, for eksempel A og B , så vil deres længder altid være ens: . Ligestilling vil altid være gældende uanset valget af punkt M (Definition via lige tangenter ). $MA=MB$
En cirkel er en lukket, selv-ikke-skærende figur med følgende egenskab. Forholdet mellem længden af en hvilken som helst af dens akkorder og sinus af enhver af dens indskrevne vinkler , baseret på denne akkord, er en konstant værdi lig med diameteren af denne cirkel (Definition gennem sinussætningen ).
En cirkel er et specialtilfælde af en ellipse , hvor afstanden mellem brændpunkterne er nul (Definition gennem en degenereret ellipse ).
Cirklen er en sinusformet spiral ved . $n=1$

Relaterede definitioner for to cirkler

To cirkler, der har et fælles centrum, kaldes koncentriske .
To cirkler, der kun har ét fælles punkt, siges at tangere eksternt , hvis deres cirkler ikke har andre fælles punkter, og internt, hvis deres cirkler ligger inden i hinanden.
To cirkler, der har to fælles punkter, kaldes skærende . Deres cirkler (afgrænset af dem) skærer hinanden i et område kaldet et dobbelt cirkelsegment.
Vinklen mellem to skærende (eller tangent) cirkler er vinklen mellem deres tangenter tegnet ved et fælles skæringspunkt (eller tangens).
Vinklen mellem to skærende (eller tangent) cirkler kan også betragtes som vinklen mellem deres radier (diametre) tegnet ved et fælles skæringspunkt (eller tangens).
Da for enhver cirkel dens radius (eller diameter) og tangenten trukket gennem ethvert punkt i cirklen er indbyrdes vinkelrette, kan radius (eller diameter) betragtes som en normal til cirklen konstrueret ved dets givne punkt. Derfor vil de to typer vinkler, der er defineret i de to foregående to afsnit, altid være ens med hinanden, ligesom vinkler med indbyrdes vinkelrette sider.
Den radikale akse af to cirkler er stedet for punkter, hvis grader i forhold til to givne cirkler er ens. Med andre ord er længderne af fire tangenter trukket til to givne cirkler fra ethvert punkt M af et givet punktsted lige .

Definitioner af vinkler for to cirkler

Vinklen mellem to skærende cirkler er vinklen mellem tangenterne til cirklerne ved skæringspunktet for disse cirkler. Begge vinkler mellem to skærende cirkler er lige store.
Vinklen mellem to ikke-skærende cirkler er vinklen mellem to fælles tangenter til to cirkler, dannet ved skæringspunktet mellem disse to tangenter. Skæringspunktet for disse to tangenter skal ligge mellem de to cirkler og ikke på siden af en af dem (denne vinkel tages ikke i betragtning). Begge lodrette vinkler mellem to ikke-skærende cirkler er lige store.

Ortogonalitet (vinkelret)

To cirkler, der skærer hinanden i rette vinkler , kaldes ortogonale ( vinkelret ). To cirkler givet af ligningerne:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

er ortogonale, hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt:

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=2\venstre(C_{1}+C_{2}\højre).

Med andre ord kaldes to cirkler, der skærer hinanden i punkterne A og B med centrene O og O' , ortogonale , hvis de er rette vinkler OAO' eller OBO' . Det er denne betingelse, der garanterer en ret vinkel mellem cirklerne. I dette tilfælde er radierne (normalerne) af de to cirkler tegnet til punktet for deres skæringspunkt vinkelrette. Derfor er tangenterne af to cirkler trukket til punktet for deres skæringspunkt også vinkelrette. Cirklens tangent er vinkelret på radius (normal) tegnet til kontaktpunktet. Normalt er vinklen mellem kurver vinklen mellem deres tangenter tegnet ved deres skæringspunkt.

Der kan være en anden yderligere betingelse. Lad to cirkler, der skærer i punkterne A og B , have midtpunkter af skærende buer i punkterne C og D , det vil sige, at buen AC er lig med buen CB , buen AD er lig med buen DB . Så kaldes disse cirkler ortogonale , hvis CAD og CBD er rette vinkler .
I teorien om inversion introduceres: en cirkel eller en ret linje, vinkelret på cirklen . I dette tilfælde bestemmes vinkelret på samme måde som ovenfor. $\Gamma$
I inversionsteori er en linje vinkelret på en cirkel, hvis den passerer gennem midten af sidstnævnte. $\Gamma$

Relaterede definitioner for tre cirkler

Tre cirkler kaldes gensidigt tangerende (skærende), hvis to af dem rører (skærer) hinanden.
I geometri er det radikale centrum af tre cirkler skæringspunktet for de tre radikale akser af par af cirkler. Hvis det radikale centrum ligger uden for alle tre cirkler, så er det midten af den eneste cirkel ( radikal cirkel ), der skærer de tre givne cirkler ortogonalt .

Lemma af Archimedes

Lemma af Archimedes . Hvis cirklen er indskrevet i segmentet af cirklen trukket fra akkorden og rører buen i punktet , og akkorden er tangent til punktet , så er linjen halveringslinjen for vinklen . Arkimedes ' Lemma spiller en vigtig rolle i opbygningen af den icirkulære transformation . $f.Kr$ $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{1}A_{2}$ $BA_{1}C$

Bevis

Lad være en homotety, der tager en lille cirkel til en stor. Så er det klart, hvad der er centrum for denne homoteti. Så vil linjen gå ind i en linje, der tangerer storcirklen, og vil gå til et punkt på denne linje og høre til storcirklen. Når vi husker på, at homoteti omdanner linjer til linjer parallelt med dem, forstår vi, at . Lad og vær et punkt på den linje , der er skarp, og vær et punkt på den linje , der er skarp. Da er siden en tangent til den store cirkel . Derfor - ligebenet, og derfor , Det vil sige - vinklens halveringslinje . $G$ $A_{1}$ $f.Kr$ $-en$ $A_{2}$ $a\parallel BC$ $G(A_{2})=A_{3}$ $D$ $-en$ $\angle CA_{3}D$ $E$ $-en$ $\angle BA_{3}E$ $-en$ $\angle CA_{3}D$ $=$ ${\displaystyle \angle CBA_{3))$ ${\displaystyle =\angle BCA_{3}E=\angle BCA_{3))$ ${\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3))$ ${\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3))$ $A_{1}A_{2}$ $\angle BA_{1}C$

Descartes' sætning for radierne af fire parvise tangentcirkler

Descartes' sætning siger, at radierne af alle fire indbyrdes tangerende cirkler opfylder en andengradsligning . De kaldes undertiden Soddy- cirkler .

Cirkulær bevægelse

Multidimensionel generalisering

En generaliseret cirkel kan defineres for enhver matematisk struktur, hvor begrebet afstand er givet. Især er hypersfæren en generalisering for det højdimensionelle euklidiske rum ; i tredimensionelt rum er det en almindelig kugle . I sfærisk geometri spilles en vigtig rolle af cirkler på sfæren, hvis centrum falder sammen med sfærens centrum (" store cirkler ").

I kultur og mystik

Cirklen, sammen med lignende begreber om cirkel , ring og kugle , blev fra oldtiden betragtet som et guddommeligt symbol på den højeste perfektion, et symbol på skønhed og lighed. Gamle astronomer var overbevist om, at himmellegemerne var placeret på roterende kugler og dermed bevægede sig i cirkler. Kong Arthurs riddere sad ved et rundt bord, hvilket understregede deres lighed [7] .

I egyptisk mytologi formede skaberguden Khnum mennesker på et keramikerhjul . Salomons Ordsprogs Bog siger, at ved verdens skabelse "tegner Gud en cirkel på dybets overflade" ( Ordsp. 8:27 ). For at beskytte mod " onde ånder " skulle det tegne en cirkel omkring sig selv ( magisk cirkel ). På billederne af kristne helgener er deres ansigter omgivet af en rund glorie . Underverdenen i mange religioner består af koncentriske cirkler, som symboliserer håbløshed. Hos Stonehenge og andre cromlechs er stenene arrangeret i en cirkel [7] [8] .

I forskellige mystiske doktriner symboliserer cirklen ofte tilværelsens uendelighed og cyklicitet ( ouroboros , Samsara ), balance ( yin/yang ), stabilitet osv. [9] . En lignende betydning ses i mange folkeslags idiomer og ordsprog, for eksempel: "hele året rundt", "social cirkel", "ond cirkel", "gensidigt ansvar" osv. Sandsynligvis er den udbredte skik med at udveksle ringe mellem de brudeparret symboliserer følelsernes evighed, familiens stabilitet [8] [10] .

Se også

Ordliste over planimetri for ordet "Omkreds"
Omkreds
Indskrevet og omkreds af en trekant
Indskrevne og omskrevne figurer for en trekant
Indskrevet cirkel
Kategori:Cirkler - grundlæggende begreber og sætninger for cirkler
Omskrevet cirkel
Cycloid

Noter

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 15-16.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 408-409.
↑ 1 2 3 Elementær matematik, 1976 , s. 410-411.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 409-410.
↑ L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , I. I. Yudina. Geometri. 7-9 klassetrin: lærebog for uddannelsesinstitutioner. - 19. udg. - M . : Education , 2009. - S. 167. - 384 s. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 510.
↑ 1 2 Yakovleva T. S., Demenok S. L. Strukturer og symboler (abstraktion er et empirisk faktum). - Sankt Petersborg. : Strata, 2020. - S. 65-69. — 232 s. - (bare). - ISBN 978-5-907314-11-5 .
↑ 1 2 Krug Arkiveret 5. august 2021 på Wayback Machine .
↑ Abdullahi, Yahya (29. oktober 2019), Cirklen fra øst til vest, i Charnier, Jean-François, Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art , Rizzoli International Publications, Incorporated, ISBN 9782370741004 .
↑ Cirkel . Hentet 17. marts 2022. Arkiveret fra originalen 24. januar 2022. (ubestemt)

Litteratur

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Yderligere kapitler til 8. klasses lærebog // Geometri. — 3. udgave. — M. : Vita-Press, 2003.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Korn G., Korn T. Egenskaber for cirkler, ellipser, hyperbler og parabler // Håndbog i matematik. - 4. udgave. - M . : Nauka, 1978. - S. 70.
Markushevich A. I. Bemærkelsesværdige kurver, nummer 4 . - M . : Gostekhizdat, 1952. - 32 s. Arkiveret14. september 2008 påWayback Machine
Cirkel // Matematisk Encyklopædi (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4.

Links

Circle Arkiveret 8. maj 2017 på Wayback Machine på www.univer.omsk.su.
Cirkel og omkreds Arkiveret 17. marts 2017 på Wayback Machine på MetMaths hjemmeside.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Ny Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	GND : 4032962-8 J9U : 987007286430105171 LCCN : sh85026057 LNB : 000321923 NKC : ph121971

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Keglesnit
Hovedtyper	Ellipse Hyperbel Parabel
Degenereret	Prik Lige Par lige linjer
Et særligt tilfælde af en ellipse	Cirkel
Geometrisk konstruktion	keglesnit Mælkebær-bolde Steiners design
se også	Konisk konstant
Matematik • Geometri