Polar koordinatsystem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. november 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Et polært koordinatsystem er et todimensionelt koordinatsystem, hvor hvert punkt på et plan er defineret af to tal - en polær vinkel og en polær radius. Det polære koordinatsystem er især nyttigt, når forhold mellem punkter er lettere at repræsentere som radier og vinkler; i det mere almindelige kartesiske eller rektangulære koordinatsystem kan sådanne forhold kun etableres ved at anvende trigonometriske ligninger.

Det polære koordinatsystem er givet af en stråle, som kaldes nulstrålen, eller polaraksen. Punktet, hvorfra denne stråle kommer frem, kaldes oprindelsen eller polen. Ethvert punkt på planet er defineret af to polære koordinater: radial og vinkel. Den radiale koordinat (normalt betegnet ) svarer til afstanden fra punktet til origo. Vinkelkoordinaten kaldes også den polære vinkel eller azimut og betegnes med , svarende til den vinkel, hvormed du skal dreje polaraksen mod uret for at komme til dette punkt [1] . $r$ $\varphi$

Den radiale koordinat defineret på denne måde kan tage værdier fra nul til uendelig , og vinkelkoordinaten varierer fra 0° til 360°. Men for nemheds skyld kan rækkevidden af værdier for den polære koordinat udvides ud over den fulde vinkel og også tillades at tage negative værdier, som svarer til drejningen af den polære akse med uret.

Historie

Begreberne vinkel og radius var kendt allerede i det første årtusinde f.Kr. Den græske astronom Hipparchus (190-120 f.Kr.) lavede en tabel, hvor akkordlængder blev angivet for forskellige vinkler. Der er beviser for hans brug af polære koordinater til at bestemme positionen af himmellegemer [2] . Arkimedes beskriver i sit essay "Spiraler" den såkaldte Arkimedes-spiral, en funktion hvis radius afhænger af vinklen. De græske forskeres arbejde udviklede sig dog ikke til en sammenhængende definition af koordinatsystemet.

I det 9. århundrede brugte den persiske matematiker Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) metoderne til kartografiske projektioner og sfærisk trigonometri til at transformere polære koordinater til et andet koordinatsystem centreret på et tidspunkt på kuglen, i dette tilfælde, for at bestemme Qibla - retningen til Mekka [3] . Den persiske astronom Abu Rayhan Biruni ( 973 - 1048 ) fremsatte ideer, der ligner en beskrivelse af det polære koordinatsystem. Han var den første, der omkring 1025 beskrev den polære ækvi-azimutale ækvidistante projektion af himmelsfæren [4] .

Der findes forskellige versioner om indførelsen af polære koordinater som et formelt koordinatsystem. Den fulde historie om fremkomsten og forskningen er beskrevet i arbejdet af Harvard-professor Julian Lovell Coolidge "The Origin of Polar Coordinates" [5] . Grégoire de Saint-Vincent og Bonaventura Cavalieri nåede uafhængigt frem til et lignende koncept i midten af det 17. århundrede. Saint-Vincent beskrev polarsystemet i personlige noter i 1625 efter at have udgivet sine værker i 1647 ; og Cavalieri udgav sine værker i 1635 og en revideret version i 1653 . Cavalieri brugte polære koordinater til at beregne området afgrænset af Arkimedes spiral. Blaise Pascal brugte efterfølgende polære koordinater til at beregne længden af parabolske buer .

I The Method of Fluxions, skrevet i 1671 , trykt i 1736, udforskede Sir Isaac Newton transformationen mellem polære koordinater, som han betegnede som "Den syvende vej; For spiraler " (" Syvende måde; for spiraler ") og ni andre koordinatsystemer [6] . I en artikel publiceret i 1691 i tidsskriftet Acta eruditorum brugte Jacob Bernoulli et system med et punkt på en linje, som han kaldte henholdsvis polen og polaraksen. Koordinaterne blev angivet som en afstand fra polen og en vinkel fra polaraksen. Bernoullis arbejde var viet til problemet med at finde krumningsradius af kurver defineret i dette koordinatsystem.

Introduktionen af udtrykket "polære koordinater" er krediteret til Gregorio Fontana . I det 18. århundrede blev det optaget i de italienske forfatteres leksikon. Udtrykket kom til engelsk gennem oversættelsen af Sylvester Lacroix' afhandling "Differential and Integral Calculus", udført i 1816 af George Peacock [7] [8] For det tredimensionelle rum blev polære koordinater først foreslået af Alexi Clairaut og Leonard Euler var den første til at udvikle det tilsvarende system [5] .

Grafisk repræsentation

Hvert punkt i det polære koordinatsystem kan defineres af to polære koordinater, som normalt kaldes (radial koordinat, der er en betegnelsesvariant ) og (vinkelkoordinater, polar vinkel, fasevinkel, azimut, positionsvinkel , nogle gange skrevet eller ). Koordinaten svarer til afstanden fra punktet til koordinatsystemets centrum eller pol, og koordinaten er lig med vinklen talt i retning mod uret fra strålen gennem 0° (nogle gange kaldet koordinatsystemets polære akse) [1] . $r$ $\rho$ $\varphi$ $\theta$ $t$ $r$ $\varphi$

Den polære radius er defineret for ethvert punkt i planet og tager altid ikke-negative værdier . Den polære vinkel er defineret for ethvert punkt i planet, undtagen for polen , og antager værdierne . Den polære vinkel måles i radianer og måles fra den polære akse: $r\geqslant 0$ $\varphi$ $O$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi$

i positiv retning (mod urets retning), hvis vinkelværdien er positiv;
i negativ retning (retning med uret), hvis vinkelværdien er negativ.

For eksempel vil et punkt med koordinater optræde på grafen som et punkt på en stråle, der ligger i en vinkel på 60° i forhold til polaksen, i en afstand af 3 enheder fra polen. Punktet med koordinaterne vil blive tegnet samme sted. $(3,\;60^{\cirkel })$ $(3,\;-300^{\cirkel })$

Et af de vigtige træk ved det polære koordinatsystem er, at det samme punkt kan repræsenteres på et uendeligt antal måder. Dette skyldes, at man for at bestemme et punkts azimut skal rotere polaksen, så den peger på punktet. Men retningen til punktet ændres ikke, hvis der laves et vilkårligt antal yderligere hele drejninger. I det generelle tilfælde kan et punkt repræsenteres som eller , hvor er et vilkårligt heltal [9] . $(r,\;\varphi )$ $(r,\;\varphi \pm n\ gange 360^{\cirkel })$ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\ gange 180^{\circ })$ $n$

Koordinater bruges til at angive stangen . Uanset koordinaten er et punkt med nul afstand fra polen altid placeret på det [10] . For at opnå entydige punktkoordinater bør man normalt begrænse afstandsværdien til ikke-negative værdier og vinklen til intervallet eller (i radianer eller ) [11] . $(0,\;\varphi)$ $\varphi$ $r\geqslant 0$ $\varphi$ $[0,\;360^{\cirkel })$ $(-180^{\cirkel},\;180^{\cirkel}]$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Vinkler i polære koordinater er angivet enten i grader eller i radianer med . Valget afhænger normalt af applikationen. Navigation bruger traditionelt grader , mens nogle grene af fysikken og næsten alle grene af matematik bruger radianer [12] . $2\pi \;{\mathrm {RAD}}=360^{\circ }$

Forholdet mellem kartesiske og polære koordinater

Et par polære koordinater og kan konverteres til kartesiske koordinater og ved at anvende de trigonometriske funktioner af sinus og cosinus (det antages, at nulstrålen i det polære koordinatsystem falder sammen med det kartesiske systems akse): $r$ $\varphi$ $x$ $y$ $x$

x=r\cos \varphi ,

y=r\sin \varphi ,

mens de to er kartesiske koordinater og kan konverteres til en polær koordinat : $x$ $y$ $r$

r^{2}=y^{2}+x^{2}

(ved Pythagoras sætning ).

For at bestemme vinkelkoordinaten skal følgende to overvejelser tages i betragtning: $\varphi$

For , kan være et vilkårligt reelt tal. ${r\equiv 0}$ $\varphi$
For at få en unik værdi bør du begrænse dig til et interval på . Vælg normalt interval eller . $r\neq 0$ $\varphi$ $2\pi$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

For at beregne i intervallet kan du bruge følgende ligninger ( betegner den inverse funktion til tangenten): $\varphi$ $[0,\;2\pi )$ $\mathrm{arctg}$

\varphi ={\begin{cases}\operatørnavn {arctg} ({\frac {y}{x)),&x>0,y\geq 0\\\operatørnavn {arctg} ({\frac { y }{x)))+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatørnavn {arctg} ({\frac {y}{x)))+\pi ,&x<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end { sager}}

For at beregne i intervallet kan du bruge følgende ligninger: [13] $\varphi$ $(-\pi ,\;\pi ]$

\varphi ={\begin{cases}\operatørnavn {arctg} ({\frac {y}{x))),&x>0\\\operatørnavn {arctg} ({\frac {y}{x} })+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatørnavn {arctg} ({\frac {y}{x)))-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{ sager}}

I betragtning af, at for at beregne den polære vinkel er det ikke nok at kende forholdet til , og der er også brug for tegnene for et af disse tal, har mange af de moderne programmeringssprog blandt deres funktioner, udover den funktion , der bestemmer buetangens af tallet, også en ekstra funktion , som har separate argumenter for tæller og nævner . I programmeringssprog, der understøtter valgfri argumenter (såsom Common Lisp ), kan en funktion antage en koordinatværdi . Det kan dog bemærkes, at uanset tegnene på de kartesiske koordinater, beregnes de partielle afledte af vinklen i forhold til dem ganske enkelt, takket være hvilket vi opnår praktiske jakobiske matricer: $y$ $x$ atanatan2atan $x$

$J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{ \partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi ))\\{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y}{\partial \ varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi)&-r\sin(\varphi)\\\sin(\varphi)&r\cos(\varphi)\end{vmatrix }}.$

$J^{-1}=\det {\frac {\partial (r,\;\varphi )}{\partial (x,\;y)))={\begin{vmatrix}{\dfrac { \partial r}{\partial x))&{\dfrac {\partial r}{\partial y))\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x))&{\dfrac {\partial \ varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi)&\sin(\varphi)\\-{\dfrac {1}{r}}\sin( \varphi )&{\dfrac {1}{r}}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}.$

Ligning af kurver i polære koordinater

På grund af den radiale karakter af det polære koordinatsystem kan nogle kurver ganske enkelt beskrives ved en polær ligning, hvorimod en ligning i et rektangulært koordinatsystem ville være meget mere kompliceret. Blandt de mest kendte kurver er polarrosen , den arkimedeiske spiral , lemniscaten , Pascals snegl og kardioiden .

Cirkel

Den generelle ligning for en cirkel med centrum ved ( ) og radius er: $r_{0},\;\theta$ $-en$

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Denne ligning kan forenkles for f.eks. særlige tilfælde

r(\varphi )=a

er en ligning, der definerer en cirkel centreret ved polen og med radius [14] . $-en$

Direkte

De radiale linjer (dem der går gennem polen) er defineret af ligningen

\varphi=\theta

hvor er den vinkel, hvormed den rette linje afviger fra polaksen, det vil sige , hvor er hældningen af den rette linje i et rektangulært koordinatsystem. En ikke-radial linje, der vinkelret skærer en radial linje i et punkt, er givet ved ligningen $\theta$ $\theta ={\mathrm {arctg}}\,m$ $m$ $\varphi=\theta$ $(r_{0},\;\theta )$

r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).

Polar Rose

Polarrosen er en velkendt matematisk kurve , der ligner en blomst med kronblade. Det kan bestemmes ved en simpel ligning i polære koordinater:

r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})

for en vilkårlig konstant (inklusive 0). Hvis er et heltal, så vil denne ligning bestemme en rose med kronblade for ulige eller med kronblade for lige . Hvis er et rationelt, men ikke et heltal, vil grafen givet af ligningen danne en form, der ligner en rose, men kronbladene vil overlappe hinanden. Hvis - irrationel, så består rosen af et uendeligt antal delvist overlappende kronblade. Roser med 2, 6, 10, 14 osv. kronblade kan ikke bestemmes af denne ligning. Variablen bestemmer længden af kronbladene. $\theta _{0}$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $k$ $k$ $-en$

Hvis vi antager, at radius ikke kan være negativ, vil vi for enhver naturlig have en -kronbladsrose. Så ligningen vil definere en rose med to kronblade. Fra et geometrisk synspunkt er radius afstanden fra polen til punktet, og den kan ikke være negativ. $k$ $k$ $r(\varphi)=\cos(2\varphi)$

Spiral of Archimedes

Den arkimedeiske spiral er opkaldt efter dens opfinder, den antikke græske matematiker Archimedes . Denne spiral kan defineres ved hjælp af en simpel polær ligning:

r(\varphi )=a+b\varphi .

Ændringer i parameteren fører til rotation af helixen, og ændringen i parameteren fører til afstanden mellem vindingerne, som er en konstant for en bestemt helix. Archimedes-spiralen har to grene, den ene til og den anden til . De to grene går glat sammen ved stangen. Spejling af en gren i forhold til en ret linje, der går gennem en 90°/270° vinkel, vil producere en anden gren. Denne kurve er interessant, fordi den var en af de første beskrevet i den matematiske litteratur, efter keglesnittet , og det er bedre end andre, at det er bestemt af den polære ligning. $-en$ $b$ $\varphi >0$ $\varphi<0$

Keglesnit

Et keglesnit med en af brændpunkterne ved polen og den anden et eller andet sted på polaksen (så den semi-hovedakse ligger langs polaraksen) er givet ved:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

hvor er excentriciteten og er fokusparameteren. Hvis , definerer denne ligning en hyperbel; hvis , så en parabel; hvis , så en ellipse. Et særligt tilfælde er , som definerer en cirkel med radius . $e$ $\ell$ $e>1$ $e=1$ $e<1$ $e=0$ $\ell$

Komplekse tal

Hvert komplekst tal kan repræsenteres af et punkt på det komplekse plan, og i overensstemmelse hermed kan dette punkt defineres i kartesiske koordinater (rektangulær eller kartesisk form) eller i polære koordinater (polær form). Et komplekst tal kan skrives i rektangulær form som denne: $z$

z=x+iy

hvor er den imaginære enhed , eller i polær (se formler for konvertering mellem koordinatsystemer ovenfor): $jeg$

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)

og herfra:

{\displaystyle z=re^{i\varphi ))

hvor er Euler-tallet . Takket være Euler-formlen er begge repræsentationer ækvivalente [15] (I denne formel er vinklen, ligesom andre formler, der indeholder eksponentiering af vinkler, givet i radianer) $e$ $\varphi$

For at skifte mellem rektangulær og polær repræsentation af komplekse tal kan ovenstående konverteringsformler mellem koordinatsystemer bruges.

Multiplikation, division og eksponentiering med komplekse tal er generelt nemmere at udføre i polær form. I henhold til reglerne for eksponentiering:

Multiplikation:

r_{0}e^{{i\varphi _{0}}}\cdot r_{1}e^{{i\varphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i (\varphi _{0}+\varphi _{1})}}.

Division:

{\frac {r_{0}e^{{i\varphi _{0)))){r_{1}e^{{i\varphi _{1))))}={\frac {r_{0 }}{r_{1}}}e^{{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}.

Eksponentiering ( De Moivres formel ):

(re^{{i\varphi }})^{n}=r^{n}e^{{in\varphi }}.

I matematisk analyse

Operationerne af matematisk analyse kan også formuleres ved hjælp af polære koordinater [16] [17] .

Differentialregning

Følgende formler er gyldige:

r{\frac {\partial }{\partial r))=x{\frac {\partial }{\partial x))+y{\frac {\partial }{\partial y)),

{\frac {\partial }{\partial \varphi ))=-y{\frac {\partial }{\partial x))+x{\frac {\partial }{\partial y)).

For at finde tangenten af hældningen af tangenten til et givet punkt på den polære kurve i kartesiske koordinater, udtrykker vi dem gennem et ligningssystem i en parametrisk form: $r(\varphi)$

x=r(\varphi )\cos \varphi ,

y=r(\varphi )\sin \varphi .

Ved at differentiere begge ligninger med hensyn til får vi: $\varphi$

{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,

{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .

Ved at dividere disse ligninger (den anden med den første), opnår vi den ønskede tangent af hældningen af tangenten i det kartesiske koordinatsystem i punktet : $(r,\;r(\varphi))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r( \varphi )\sin \varphi }}.

Integralregning

Lade være regionen dannet af den polære kurve og strålerne og , hvor . Så er området for denne region et bestemt integral : $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$ $0<ba<2\pi$

{\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Et sådant resultat kan opnås som følger. Først opdeler vi intervallet i et vilkårligt antal underintervaller . Således er længden af et sådant delinterval (samlet længde af intervallet) divideret med (antal delintervaller). Lad for hvert delinterval være midtpunktet. Lad os konstruere sektorer med centrum ved polen, radius , centrale vinkler og buelængde . Derfor vil arealet for hver sådan sektor være . Derfor er det samlede areal af alle sektorer: $[a,\;b]$ $n$ $\Delta \varphi$ $ba$ $n$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $\varphi _{i}$ $r(\varphi _{i})$ $\Delta \varphi$ $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$ ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$

\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .

Hvis antallet af underintervaller øges, vil fejlen for et sådant tilnærmet udtryk falde. Ved at indstille vil den resulterende sum blive integral. Grænsen for denne sum ved er bestemt af integralet beskrevet ovenfor: $n$ $n\til\infty$ $\Delta \varphi \til 0$

\lim _{{\Delta \varphi \to 0}}\sum _{{i=1}}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{ 2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Generalisering

Ved hjælp af kartesiske koordinater kan arealet af et infinitesimalt element beregnes som . Når du skifter til et andet koordinatsystem i flere integraler, er det nødvendigt at bruge Jacobi-determinanten : $dA=dx\,dy$

J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }} \end{vmatrix}}.

For et polært koordinatsystem er Jacobi matrix-determinanten : $r$

J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.

Derfor kan arealet af elementet i polære koordinater skrives som følger:

dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .

Nu kan en funktion skrevet i polære koordinater integreres som følger:

\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{{r(\varphi )} }f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

Her er området , som i det foregående afsnit, det, der dannes af den polære kurve og strålerne og . $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$

Formlen til beregning af arealet, beskrevet i det foregående afsnit, fås i tilfælde af . Et interessant resultat af at anvende formlen for flere integraler er Euler-Poisson-integralet : $f=1$

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt \pi }.

Vektoranalyse

For polære koordinater kan elementer af vektoranalyse anvendes . Ethvert vektorfelt på et todimensionalt rum (plan) kan skrives i et polært koordinatsystem ved hjælp af enhedsvektorer : $\mathbf {F}$

{\mathbf {e}}_{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )

i retning og $\mathbf {r}$

{\mathbf {e))_{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );

{\mathbf {F}}=F_{r}{\mathbf {e}}_{r}+F_{\varphi }{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Forbindelsen mellem feltets kartesiske komponenter og og dets komponenter i det polære koordinatsystem er givet ved ligningerne: $F_{x}$ $F_{y}$

F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;

F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .

I overensstemmelse hermed er vektoranalyseoperatorer defineret i det polære koordinatsystem. For eksempel skrives gradienten af et skalarfelt : $\Phi (r,\;\varphi)$

{\mathrm {grad}}\,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}{\mathbf {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{ \frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Alt dette virker bortset fra et enkelt punkt - polen, som den ikke er defineret for, og vektorgrundlaget beskrevet ovenfor kan ikke konstrueres på denne måde på dette tidspunkt. Dette skal man huske på, selvom de vektorfelter, der studeres ved hjælp af polære koordinater, i praksis ofte enten selv har en singularitet på dette tidspunkt eller er lig med nul på den, hvilket letter sagen noget. Derudover komplicerer brugen af polære koordinater ikke på nogen måde udtrykket af et vilkårligt vektorfelt vilkårligt tæt på dette punkt. $\varphi$

3D-udvidelse

Det polære koordinatsystem udvides ind i den tredje dimension med to systemer: cylindrisk og sfærisk, som begge indeholder det todimensionelle polære koordinatsystem som en delmængde. I det væsentlige udvider det cylindriske system det polære system ved at tilføje endnu en afstandskoordinat, mens det sfæriske system tilføjer en anden vinkelkoordinat.

Cylindriske koordinater

Det cylindriske koordinatsystem udvider groft sagt det flade polære system ved at tilføje en tredje lineær koordinat, kaldet "højde" og lig med højden af et punkt over nulplanet, svarende til hvordan det kartesiske system udvides til tilfældet med tre dimensioner. Den tredje koordinat betegnes normalt som , der danner en triade af koordinater . $z$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Den tredobbelte af cylindriske koordinater kan konverteres til det kartesiske system ved følgende transformationer:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases))

Sfæriske koordinater

Polære koordinater kan også udvides til tre dimensioner ved at tilføje en vinkelkoordinat svarende til rotationsvinklen fra den lodrette akse (kaldet zenit eller breddegrad, værdierne er i området fra 0 til 180 °). Det vil sige, at sfæriske koordinater er tre , hvor er afstanden fra centrum af koordinater, er vinklen fra aksen (som i flade polære koordinater), er breddegrad. Det sfæriske koordinatsystem ligner det geografiske koordinatsystem til bestemmelse af et sted på Jordens overflade, hvor oprindelsen falder sammen med Jordens centrum, breddegraden er komplementet og er lig med , og længdegraden beregnes med formlen [ 18] . $\theta$ $z$ $(r,\;\varphi,\;\theta)$ $r$ $\varphi$ $x$ $\theta$ $\delta$ $\theta$ $\delta =90^{\cirkel }-\theta$ $l$ $l=\varphi -180^{\circ }$

Det tredobbelte af sfæriske koordinater kan konverteres til det kartesiske system ved følgende transformationer:

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Generalisering til n dimensioner

Det polære koordinatsystem kan udvides til tilfældet med -dimensionelt rum. Lad , være koordinatvektorer af -dimensionelle rektangulære koordinatsystem. De nødvendige koordinater i det dimensionelle polarsystem kan indtastes som vektorens afvigelsesvinkel fra koordinataksen . $n$ $x_{i}\in {\mathbb {R}}$ $i=1,\;\ldots ,\;n$ $n$ $n$ $x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $x_{{i+2}}$

For at konvertere generaliserede dimensionelle polære koordinater til kartesiske, kan du bruge følgende formler: $n$

{\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3)) \sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3 }}\sin \vartheta _{{n-2}};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{{n-1}}&=&r\cos \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{{n-2}}.\end{array}}

Som det kan vises, svarer tilfældet til det sædvanlige polære koordinatsystem på planet og til det sædvanlige sfæriske koordinatsystem. $n=2$ $n=3$

Jacobianeren for konvertering af polære til kartesiske koordinater er givet af:

\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1}, \;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}

hvor -dimensionelt volumenelement har formen: $n$

dV=r^{{n-1}}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{{n-2}})^ {{n-2}}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{{n-2}}=

=r^{{n-1}}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{{j=1}}^{{n-2}}(\sin \vartheta _{j})^{ j}\,d\vartheta _{j}.

Ansøgning

Det polære koordinatsystem er todimensionelt og kan derfor kun bruges i tilfælde, hvor punktets placering er bestemt på et plan, eller i tilfælde af homogenitet af systemegenskaberne i den tredje dimension, for eksempel, når man overvejer en strømning i et rundt rør. Den bedste kontekst for at bruge polære koordinater er i tilfælde, der er tæt forbundet med retning og afstand fra et eller andet centrum. For eksempel viser ovenstående eksempler, at simple ligninger i polære koordinater er tilstrækkelige til at definere kurver som den arkimedeiske spiral, hvis ligninger i rektangulære koordinater er meget mere komplicerede. Derudover er mange fysiske systemer - dem der indeholder legemer, der bevæger sig rundt i et center, eller fænomener, der forplanter sig fra et eller andet center - meget lettere at modellere i polære koordinater. Årsagen til oprettelsen af det polære koordinatsystem var studiet af orbital og cirkulær bevægelse, senere viste det sig, at det nogle gange er ekstremt praktisk til studiet af ikke-cirkulær bevægelse (se Kepler-problemet ).

Positionering og navigation

Det polære koordinatsystem bruges ofte i navigation , fordi en destination kan angives som afstand og kørselsretning fra udgangspunktet. For eksempel i luftfarten bruges en let modificeret version af polære koordinater til navigation. I dette system, der almindeligvis bruges til navigation, omtales 0°-strålen som 360-retningen, og vinklerne måles i urets retning. Retning 360 svarer til magnetisk nord, og retning 90, 180 og 270 svarer til magnetisk øst, syd og vest [19] . Således kan et fly , der flyver 5 sømil mod øst, beskrives som et fly, der flyver 5 enheder i retning 90 (mission control vil kalde det nin-nul) [20] .

Ansøgninger i fysik

Systemer med radial symmetri er meget velegnede til at blive beskrevet i radiale koordinater, hvor koordinatsystemets pol falder sammen med symmetriens centrum. Et eksempel er grundvandsstrømningsligningen i tilfælde af radialt symmetriske boringer. Systemer med centrale kræfter er også velegnede til modellering i polære koordinater. Sådanne systemer inkluderer gravitationsfelter, der adlyder loven om omvendt kvadratisk afhængighed, og generelt centrale kræfter. Polære koordinater giver også betydelig bekvemmelighed, når man arbejder med systemer, der har punkt- (eller tilnærmelsesvis punkt) energikilder, såsom radioantenner - når man studerer deres stråling på relativt store afstande fra antennen, udbredelsen af lyd eller lys - især (men ikke nødvendigvis) sfærisk eller cylindrisk symmetrisk. I visse problemer, herunder de ovenfor nævnte, er brugen af sfæriske eller cylindriske koordinater (som er naturlige for disse problemer) i det væsentlige reduceret til kun at bruge todimensionelle polære koordinater.

Polære koordinater, både til beregninger og til at visualisere deres resultater, er ganske nyttige ikke kun i tilfælde, hvor symmetrien af problemet generelt er tæt på aksial eller sfærisk, men også i tilfælde, hvor symmetrien er klart langt fra sådan, f.eks. beregn feltdipolen . I dette tilfælde er brugen af polære koordinater motiveret af feltkildens lille størrelse (dipolens ladninger er placeret meget tæt på hinanden), desuden er feltet for hver sådan ladning simpelthen udtrykt i polære koordinater, især hvis du placerer stangen i en af disse ladninger (feltet af den anden vil være anderledes, bortset fra tegnet, kun ved en lille korrektion).

I kvantemekanik og kemi bruges polære koordinater (sammen med sfæriske koordinater til mere komplekse tilfælde) til at skildre vinkelafhængigheden af bølgefunktionen af en elektron i et atom, herunder med henblik på kvalitativ analyse og klarhed i undervisningen.

Anvendelser, strålingsmønstre

I forskellige anvendte områder bruges polære koordinater både på måder tæt på dem, der bruges i de tilsvarende områder af grundlæggende fysik, og på en uafhængig måde.

3D-modellering af lyden fra højttalere kan bruges til at forudsige deres ydeevne. Det er nødvendigt at lave flere diagrammer i polære koordinater for en bred vifte af frekvenser, da fronten varierer betydeligt med lydens frekvens. Polære diagrammer hjælper dig med at se, at mange nedadgående højttalere mister retningsbestemthed. I tilfælde af en radiator med streng aksial symmetri eller lidt afvigende fra den, er det tilstrækkeligt at bruge ikke sfæriske, men almindelige (to-dimensionelle) polære koordinater, da i alle planer, der passerer gennem symmetriaksen, vil afhængigheden være det samme eller næsten det samme. Hvis der ikke er en sådan symmetri, kan et par (for hver frekvens) af polære diagrammer i vinkelrette planer, for en elliptisk eller rektangulær radiator, forbundet med dens hovedakser, give en ide om lydstrømmen i forskellige retninger.

I polære koordinater er det også sædvanligt at repræsentere retningskarakteristikken for mikrofoner , bestemt af forholdet mellem følsomhed, når en lydbølge falder i en vinkel i forhold til mikrofonens akustiske akse i forhold til dens aksiale følsomhed.

I princippet kan polære diagrammer bruges til at repræsentere næsten ethvert forhold. Men i praksis vælges denne type repræsentation normalt i tilfælde, hvor den afhænger af den reelle geometriske retning (se f.eks . Vindrose , Spredningsdiagram , afhængighed af den reflekterede lysflux på vinklen i fotometri , strålingsmønster for antenner, LED'er og andre lysgivere, fotosensorer, akustiske systemer osv.). Det er også ret almindeligt at støde på brugen af polære koordinater i tilfælde, hvor en af variablerne har en cyklisk karakter (i polære koordinater er det ret naturligt at repræsentere den som en vinkel).

Felter, der ikke er direkte relateret til fysik, kan også anvendes (selv om der nogle gange kan spores en mere eller mindre direkte analogi i denne henseende), for eksempel kan polære diagrammer, der ligner vindrosen, bruges, for eksempel til at studere dyrets retninger migrationer. En sådan brug er ret praktisk og visuel.

Se også

Koordinatsystemer i elementær matematik

Noter

↑ 1 2 Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis / Andrew M. Gleason. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. - ISBN 0-395-77114-5 .
↑ Friendly, Michael Milepæle i historien om tematisk kartografi, statistisk grafik og datavisualisering (link ikke tilgængeligt) . Hentet 10. september 2006. Arkiveret fra originalen 26. april 2001. (ubestemt)
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine , Elsevier , s. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), "Astronomy and Islamic Society: Qibla, gnomics and timekeeping", i Roshdi Rashed (red.), Encyclopedia of the History of Arabic Science , Vol. 1, s. 128-184 [153], Routledge, London og New York
↑ 1 2 Coolidge, Julian The Origin of Polar Coordinates (engelsk) // American Mathematical Monthly : tidsskrift. - 1952. - Bd. 59 . - S. 78-85 . - doi : 10.2307/2307104 .
↑ Boyer, C. B. Newton som ophavsmand til polære koordinater // American Mathematical Monthly : journal . - 1949. - Bd. 56 . - S. 73-78 . - doi : 10.2307/2306162 .
↑ Miller, Jeff Tidligste kendte anvendelser af nogle af matematikkens ord . Hentet 10. september 2006. Arkiveret fra originalen 15. februar 2012. (ubestemt)
↑ Smith, David Eugene. History of Mathematics, bind II (ubestemt) . - Boston: Ginn og Co., 1925. - S. 324.
↑ Polære koordinater og graftegning (PDF) (utilgængeligt link) ( 2006-04-13 ). Dato for adgang: 22. september 2006. Arkiveret fra originalen 15. februar 2012. (ubestemt)
↑ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar. Precalculus: Med Unit-Cirkel Trigonometri . — Fjerde Udgave. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305 .
↑ Stewart, Ian; David Tall. Kompleks analyse (blafferens guide til flyet ) . - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 0521287634 .
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. Fysikprincipper (uspecificeret) . — Brooks/Cole—Thomson Learning, 2005. — ISBN 0-534-49143-X .
↑ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. Elevens introduktion til Mathematica® . - Cambridge University Press , 1999. - ISBN 0521594618 .
↑ Claeys, Johan Polarkoordinater (link ikke tilgængeligt) . Hentet 25. maj 2006. Arkiveret fra originalen 15. februar 2012. (ubestemt)
↑ Smith, Julius O. Eulers identitet // Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT ) . - W3K Publishing, 2003. - ISBN 0-9745607-0-7 .
↑ Husch, Lawrence S. Områder afgrænset af polære kurver (link utilgængeligt) . Hentet 25. november 2006. Arkiveret fra originalen 11. oktober 2014. (ubestemt)
↑ Lawrence S. Husch. Tangentlinjer til polære grafer (ikke tilgængeligt link) . Hentet 25. november 2006. Arkiveret fra originalen 2. juli 2015. (ubestemt)
↑ Wattenberg, Frank Sfæriske koordinater (link utilgængeligt) (1997). Hentet 16. september 2006. Arkiveret fra originalen 15. februar 2012. (ubestemt)
↑ Santhi, Sumrit Aircraft Navigation System (link utilgængeligt) . Hentet 26. november 2006. Arkiveret fra originalen 15. februar 2012. (ubestemt)
↑ Nødprocedurer (PDF). Dato for adgang: 15. januar 2007. Arkiveret fra originalen 15. februar 2012. (ubestemt)

Litteratur

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Koordinatmetode. (utilgængeligt link) Femte udgave, stereotypisk. Serie: Fysik- og Matematikskolens bibliotek. Matematik. Nummer 1. M.: Nauka, 1973, s. 47-50.

Links

Programmer til at tegne grafer i Curlie Link Directory (dmoz)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Britannica (online) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4323692-3

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor