Sætning om produktet af segmenter af akkorder

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Sætningen om produktet af segmenter af akkorder beskriver forholdet mellem segmenter dannet af to krydsende akkorder i en cirkel. Sætningen siger, at produkterne af længderne af segmenterne i hver af akkorderne er lige store.

Udtalelse af sætningen

For to akkorder AC og BD , der skærer hinanden ved punkt S , gælder følgende lighed:

Det omvendte er også sandt, dvs. hvis for to segmenter AC og BD , der skærer hinanden i punktet S, gælder ovenstående lighed, så ligger deres ender A , B , C og D på samme cirkel. Med andre ord, hvis diagonalerne af firkanten ABCD skærer hinanden i punkt S og ovenstående lighed gælder, så er denne firkant indskrevet .

Gradpunkt

Værdien af ​​to produkter i akkordsætningen afhænger af afstanden mellem skæringspunktet S fra midten af ​​cirklen og kaldes den absolutte værdi af graden af ​​punktet S. Mere præcist kan dette udtrykkes som følger:

hvor r er cirklens radius og d er afstanden mellem cirklens centrum og skæringspunktet S . Denne egenskab følger direkte af anvendelsen af ​​akkordsætningen til tredje akkord gennem punktet S og midten af ​​cirklen M (se figur).

Sammen med sekant- og tangentsætningen og to sekantsætningen er skærende akkordsætningen et af de tre hovedtilfælde af en mere generel sætning om to skærende linjer og en cirkel - punktpotenssætningen .

Bevis for sætningen

Sætningen kan bevises ved hjælp af lignende trekanter (via den indskrevne vinkelsætning ). Overvej vinklerne for trekanter ASD og BSC :

(vinkler baseret på akkord AB) (vinkler baseret på akkord-cd) (lodrette hjørner)

Dette betyder, at trekanter ASD og BSC ligner hinanden, og derfor:

Du kan se en interaktiv illustration af teoremet og dets bevis [1] [2] .

Noter

  1. ↑ Amit Quackenbush. Skærende akkords sætning  . GeoGebra . Hentet 30. april 2021. Arkiveret fra originalen 21. januar 2021.
  2. ↑ Josiah Fan Ern Wei. Skærende akkordsætning  . GeoGebra . Hentet 30. april 2021. Arkiveret fra originalen 21. januar 2021.

Litteratur