Viviani Curve

Viviani-kurven er en tredimensionel kurve, skæringspunktet mellem en cirkulær cylinder med en kugle centreret på cylinderens overflade og med en radius lig med cylinderens diameter.

Opkaldt efter Vincenzo Viviani , som gav en detaljeret undersøgelse af denne kurve i 1692 og først bemærkede, at de to områder, der er afgrænset af den på halvkuglen, tillader en simpel kvadratur : deres samlede areal er sådan, at overfladen af den resterende del af halvkuglen er ens. til arealet af kvadratet bygget på kuglens diameter [1] . Før Viviani blev denne kurve studeret af De la Loubert, Simon og Gilles Roberval (1666).

Ligninger

Viviani-kurven er skæringslinjen mellem cylinderens overflade $(xa)^{2}+y^{2}=a^{2}$

med en kugle på to gange radius, hvis centrum ligger på cylinderens overflade:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.

Parametrisk ligning: $\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$

Projektionsligninger på planet , , : $(x\,y)$ $(y\,z)$ $(x\,z)$ $x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$ $y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$ $y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,rx)))\,,$ $z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,rx)))\,,$ $x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2))}\,,$ $z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2))))}\ ,.$

Egenskaber

Projektionen af Viviani-kurven på cylinderens og kuglens fælles tangent er Geronos lemniscat .
Viviani-kurven på halvkuglen, der skærer cylinderen, adskiller to områder, således at arealet af den resterende del af halvkuglen er lig med arealet af kvadratet bygget på kuglens diameter.

Bevis Find overfladearealet afgrænset af Viviani-kurven ved at integrere i koordinater .

{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))

(x\,y)

Overfladearealet bestemmes på sædvanlig måde gennem integralet:

S_{\text{VC}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2 }+\venstre({\dfrac {\partial z}{\partial y))\right)^{2))}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,

hvor er området afgrænset af Viviani-kurven.

\Omega

Lad os beregne integranden:

{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x))\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y} }\right)^{2))}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))\,.

Fortsætter beregningen og tager højde for symmetrien af integrationsregionen omkring aksen (hvorved der opnås fire identiske dele), finder vi:

x\,

S_{\text{VC}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0} ^{\sqrt {x\,(2\,rx)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y ^{2))))=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{ 2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}- 16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.

Det første led i det resulterende udtryk er arealet af en halvkugle med diameter , det andet led er arealet af en firkant med en side lig med samme diameter.

4\,r

Således er forskellen mellem områderne af halvkuglen og overfladen under overvejelse lig med arealet af kvadratet bygget på kuglens diameter:

S_{\text{halvkugle}}-S_{\text{VC}}=(4\,r)^{2}\,,

Q.E.D.

Litteratur

Berger M. Geometry, bind. 1-2. M: Mir, 1984.
Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
Roero CS L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l'Univ. d'Été Hist. des Math., IREM Toulouse, 1986.
Roero CS Den italienske udfordring til Leibnitzian calculus i 1692. Leibnitz og Viviani: en sammenligning af to epistemologier, V Int. Kongressen Leibnitz, Hannover, 1988.

Noter

↑ Mobius-striben og Vivianis vinduer . Hentet 15. august 2017. Arkiveret fra originalen 8. marts 2014. (ubestemt)

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa Hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe