Parametrisk repræsentation

Parametrisk repræsentation er en slags repræsentation af variabler , der bruges i matematisk analyse , når deres afhængighed udtrykkes gennem en ekstra mængde - en parameter.

Parametrisk repræsentation af en funktion

Lad os antage, at den funktionelle afhængighed af ikke er givet direkte som men gennem en mellemværdi $y$ $x$ $y=f(x),$ $t.$

Derefter formlerne:

x=\varphi (t);\

y=\psi (t)

definere en parametrisk repræsentation af en funktion af en variabel.

Hvis vi antager, at begge disse funktioner og har afledte, og for der er en invers funktion, udtrykkes den eksplicitte repræsentation af funktionen i form af den parametriske som [1] : $\varphi$ $\psi$ $\varphi$ $\theta ,$

y=\psi [\theta (x)]=f(x)

og den afledede af funktionen kan beregnes som: $y(x)$

y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t )}{\varphi '(t))).

Parametrisk repræsentation giver en så vigtig fordel, at den giver dig mulighed for at studere implicitte funktioner i tilfælde, hvor deres reduktion til en eksplicit form er vanskelig eller umulig gennem elementære funktioner undtagen gennem parametre .

Parametrisk repræsentation af ligningen

Parametrisk repræsentation for det mere generelle tilfælde: når variablerne er forbundet med en ligning (eller et ligningssystem , hvis der er mere end to variable).

Parametrisk ligning

Et nært beslægtet koncept er en parametrisk ligning [2] for et sæt punkter, når punkternes koordinater er givet som funktioner af et sæt frie parametre. Hvis parameteren er én, får vi den parametriske ligning for kurven.

x=x(t);y=y(t)

(kurve på et plan),

x=x(t);y=y(t);z=z(t)

(kurve i 3-dimensionelt rum),

Ved at udtrykke koordinaterne for overfladepunkterne i form af to frie parametre får vi en parametrisk specifikation af overfladen .

Eksempler

Cirkelligningen er :

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Parametrisk cirkelligning:

x=r~\cos ~t~;

y=r~\sin ~t~;~~0\leq t<2\pi

En hyperbel er beskrevet med følgende ligning:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Parametrisk ligning for højre gren af hyperbelen:

x=a~\operatørnavn {ch} ~t

;~y=b~\operatørnavn {sh} ~t~;~~-\infty <t<+\infty

Se også

Parametrisk overfladespecifikation

Noter

↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning. Bind I. Moskva 1969. Side 218.
↑ Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 5. - S. 221-222.