Cirkulær fraktal

En cirkulær fraktal  er en klasse af geometriske (konstruktive) fraktaler (se f.eks. [1] [2] ) konstrueret ved gentagne gange at indskrive andre cirkler med mindre radius i en cirkel. (se fig. la, lb, 1c).

Ansøgning

Konstruktive cirkulære fraktaler kan bruges som modeller af forskellige naturlige strukturer inden for kemi, biologi, materialeteknologi osv. Fraktaler af denne type blev foreslået i [3] [4] som modeller af magnetiske fluxrørklynger i de øverste lag af solkonvektiven zone. Mere komplekse strukturer af denne art er også blevet betragtet, for eksempel cirkulære fraktaler med overlappende elementer, der simulerer snoede magnetiske fluxrør [5] , se også [6] [7] [8] . Det er også muligt at bygge multifraktale strukturer af denne type til modellering af mere komplekse strukturer. I modsætning til Sierpinski-tæpper er sådanne fraktaler bygget ikke af rektangulære eller trekantede, men af ​​cirkulære elementer.

De første tre af en potentielt uendelig sekvens af sådanne cirkulære fraktaler er vist i fig. la, Ib og 1c.

For at beregne Hausdorff-dimensionerne ( d ) af disse objekter kan du bruge den velkendte formel for konstruktive fraktaler: . I tilfælde af fig. la, værdi n = 3. Parameteren a er forholdet mellem de karakteristiske længder af tilstødende skalaer. I dette tilfælde er det ; hvor  er radius af den større cirkel,  er radius af cirklen af ​​den tilstødende mindre skala. Ud fra simple geometriske betragtninger finder vi: a = 0,4641. Ved at erstatte disse værdier i formlen får vi d≈1,43. For varianten i fig. 1b, henholdsvis n=4, a=0,4142…, d≈1,57… 1c, har vi: n=7, a=1/3 og dimension d≈1,77… Ved at øge antallet af indskrevne cirkler får vi en uendelig sekvens af fraktale objekter med Hausdorff-dimensioner d → 2.

Eksempel

Syv cirkler med radius R/3 er indskrevet i en cirkel med radius R på en sådan måde, at de alle rører hinanden, men ikke skærer hinanden. Syv R/9 cirkler er indskrevet i hver af disse syv cirkler, og så videre.

Noter

  1. ↑ Morozov A. D. Introduktion til teorien om fraktaler. - Moskva-Izhevsk. Institut for Computerforskning, 2002, 160 s.
  2. ↑ Bozhokin S. V., Parshin D. A. Fractals and multifractals. — Izhevsk. Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001, 128 s.
  3. ↑ Chumak O. V. Fraktale dimensioner af MFT-associationer. - Astronomisk cirkulære, nr. 1546, 1990
  4. ↑ Chumak O. V. Entropi og fraktaler i dataanalyse. - M.-Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2011, 164s.
  5. ↑ Chumak O. V. Selvlignende fraktaler med overlappende elementer som en model af fotosfæriske magnetiske strukturer. - Astronomisk cirkulære, nr. 1546, 1990
  6. ↑ Chumak OV, Zhang H. - Størrelse-flux relation i aktive regioner. — Kinesisk Tidsskrift Astron. og Astroph., bind. 3, nr. 2, 2003, s. 175-182
  7. ↑ Chumak O. V. Fraktale dimensioner og "areal-flux"-forhold for lokale magnetfelter på Solen. - Astronomisk cirkulære nr. 1545, 1990.
  8. ↑ Chumak O. - Selvlignende og selvaffine strukturer i observationsdata om solaktivitet - Asrton&Astroph. Trans. V. 24, nr. 2, 2005, s. 93-99

Litteratur