Terning

En terning eller en terning  er en plan algebraisk kurve af 3. orden, det vil sige et sæt punkter i en plan ( projektiv eller affin ) givet ved en kubisk ligning

som gælder for homogene koordinater på det projektive plan. For at gå over til den affine version er det tilstrækkeligt at sætte z = 1 .

Nogle gange kaldes en terning også for en 3. ordens hyperflade i et rum af vilkårlig dimension [1] .

Accent

I Mathematical Encyclopedic Dictionary er stresset "terning" givet [1] . I en anden ordbog - "kubisk" [2] . I talesproget bruges udtalen med accent på første stavelse: "kube" [3] [4] [5] [6] [7] .

Klassifikation

Den første klassificering af kuben blev givet af Newton i 1704 [8] .

Newton beviste, at for enhver terning kan du vælge et koordinatsystem, hvor det vil have en af ​​følgende former:

• ;
• ;
• ;
• .

Dernæst inddelte Newton alle kurver i klasser, slægter og typer, mens han dog sprang 6 typer over . En komplet klassificering blev givet af Plücker [9] .

Fra 2008 er der ikke fundet en lignende klassifikation for kurver af n . orden, dette problem udgør Hilberts 16. problem .

Egenskaber

• Sætning om ni punkter på en terning (Chals sætning): givet to terninger A og B , der har 9 punkter til fælles. Hvis den tredje terning C går gennem 8 af dem, så går den gennem den niende.
• De tog punkt A på terningen og tegnede 2 tangenter til terningen fra den - den ene rører terningen ved punkt A , den anden ved punkt B. Lad områderne af segmenterne afskåret af disse tangenter fra terningens graf være lig med X og Y . Så er X = 16 Y [10] .
• Det er kendt, at nogle terninger er trisektorer, det vil sige, hvis en graf af en sådan terning er tegnet på et plan, og en vinkel er givet, så kan den opdeles med et kompas og en lineal i 3 lige store dele. Et åbent problem: er enhver terning en trisektor?
• Det maksimalt mulige antal forbundne komponenter for et terningplot i ℝ² er 4. For eksempel: for en terning f  ( x , y ) = 3 x  3 − 5 y  2 x − 4 x  2 − 10 yx + 10 y  2 − 6 x + 20 y + 12 består grafen af ​​tre kurver, der trækker sig tilbage til det uendelige, og et isoleret punkt.
• Hvis en linje går gennem to bøjningspunkter i en terning, så går den også gennem en tredje.
• På terninger kan man indføre addition af punkter og deres multiplikation med et tal, og derved opnå en algebraisk struktur kaldet en elliptisk kurve [11] [12] .
• Linjen skærer terningen i punkterne A , B , C. Tangenterne gendannet til terningen i punkterne A , B , C skærer terningen endnu en gang ved punkterne P , Q , R. Så ligger punkterne P , Q , R også på samme linje [13] [14] .

Ansøgninger

• Kubiske kurver bruges i PostScript-sproget , inklusive Type 1-skrifttyper ( TrueType bruger kun kvadratiske kurver).
• Studiet af kuben har længe været betragtet som et eksempel på ren matematik (der ikke har nogen anvendelse og udsigter til en sådan). Men i de sidste 20 år af det 20. århundrede blev der opfundet kryptografiske algoritmer, der bruger kubens dybe egenskaber, som bruges i dag (især) i bankkryptering, hvilket satte skub i studiet af kubens egenskaber, se elliptisk kryptografi .
• Et stort antal bemærkelsesværdige punkter i trekanten lægger op til flere terninger [15] .
• Frank Morley beviste den berømte sætning opkaldt efter ham ved at studere terningens egenskaber [16] .

Se også

• Sætning om ni punkter på en terning
• Kuber forbundet med en trekant
• Elliptisk kurve
• Klassificering af Newtons terning
• Affin klassificering af en terning
• Isometrisk ækvivalens
• Affin ækvivalens

Noter

1. ↑ 1 2 Matematisk encyklopædisk ordbog / Kap. udg. Yu. V. Prokhorov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S.  304,55 . — 845 s.
2. ↑ Russisk-portugisisk og portugisisk-russisk ordbog for fysik og matematik / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, s.131
3. ↑ A. N. Parshin. Grupperepræsentationsteori og algebraisk geometri på YouTube , startende ved 1:04:26
4. ↑ S. S. Galkin. Algebraiske overflader. Foredrag 3. på YouTube , med start 1:13:16
5. ↑ G. B. Shabat. omkring Poncelet. Foredrag 4 Arkiveret 6. april 2016 på Wayback Machine . Videobibliotek for den all-russiske matematiske portal (ved 20 min 18 sek)
6. ↑ S. M. Lvovsky Syvogtyve linjer. Session 3 Arkiveret 6. april 2016 på Wayback Machine . Videobibliotek for den all-russiske matematiske portal (ved 36 min. 15 sek.)
7. ↑ S. A. Loktev. Grupperepræsentationsteori og algebraisk geometri på YouTube , startende ved 54:24
8. ↑ "Enumeratio linearum tertii ordinis" (der er en russisk oversættelse af "Optælling af kurver af den tredje orden" i D. D. Mordukhai-Boltovskys bog "Isaac Newton. Mathematical Works", s. 194-209, tilgængelig online-side efter side påアーカイブされたコピーHentet 8. februar 2016. Arkiveret fra originalen 12. juni 2008 (ubestemt) .
9. ↑ Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Håndbog om teorien om plankurver af tredje orden. — M .: Fizmatgiz , 1961.
10. ↑ Honsberger R. Flere matematiske stykker // Math. Assoc. amer. — Washington, DC, 1991. — s. 114-118.
11. ↑ Ostrik V. V., Tsfasman M. A. Algebraisk geometri og talteori: rationelle og elliptiske kurver . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 s. - (Bibliotek "Matematisk Uddannelse"). — ISBN 5-900916-71-5 .
12. ↑ Solovyov Yu. P. Rationelle punkter på elliptiske kurver  // Soros Educational Journal . - 1997. - Nr. 10 . - S. 138-143 .
13. ↑ The Cubic Curve and an Associated Structure af D.S. Macnab, The Mathematical Gazette Vol. 50, nej. 372 (maj, 1966), s. 105-110 Udgivet af: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Sideantal: 6 Arkiveret 7. februar 2016 på Wayback Machine .
14. ↑ Se også Weisstein, Eric W. Cubic [4],3][,(downlink)[2],downlink)([1].,MathWorldhos WolframCurve  Wayback Machine , [5] , [6] , [ 7] (utilgængeligt link) , [8] , [9] .    
15. ↑ Se [10] Arkiveret 5. september 2008 på Wayback Machine og [11] .
16. ↑ Se hans arbejde [12] Arkiveret 25. november 2008 på Wayback Machine .

Links

• Biblioteker til interaktiv tegning af en terning (uden isolerede punkter) i Flash og Java .