Steiners design

Steiner-konstruktionen er en måde at definere et ikke-degenereret keglesnit i det projektive plan over et felt . Det blev foreslået af den schweiziske matematiker Jacob Steiner .

Konstruktion

Lad to blyanter af linjer på punkter gives (alle linjer indeholder henholdsvis og) og en projektiv, men ikke perspektivisk kortlægning fra til . Så danner skæringspunkterne for de tilsvarende linjer et ikke-degenereret projektivt keglesnit [1] [2] [3] [4] (billede 1) $B(U),B(V)$ $U,V$ $U$ $V$ $\pi$ $B(U)$ $B(V)$

En blyant -til-bundt perspektivkortlægning er en bijektion , således at de tilsvarende linjer skærer hinanden på en fast linje kaldet perspektivkortlægningsaksen (billede 2). $\pi$ $B(U)$ $B(V)$ $-en$ $\pi$

En projektiv kortlægning er en sammensætning af et begrænset antal perspektivkortlægninger.

Eksempler på almindeligt anvendte felter er reelle tal , rationelle tal og komplekse tal . Konstruktionen fungerer også på endelige felter , hvilket giver eksempler i endelige projektive planer. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Bemærkning: Hovedsætningen for projektive planer siger, at en projektiv kortlægning i et projektivt plan over et felt er unikt bestemt af billederne af tre linjer. [5] Det betyder, at for Steiner-konstruktionen, udover to punkter , skal kun billederne af tre linjer angives. Da billedet af en linje er unikt bestemt af skæringspunktet med billedet, følger det, at en kegle er entydigt bestemt af fem punkter, der ligger på den. $U,V$

Eksempel

I det følgende eksempel er billederne af tre linjer kendt (se billede 3): . En projektiv kortlægning er en sammensætning af perspektivafbildninger : 1) er en perspektivisk afbildning af en blyant ved et punkt på en blyant i et punkt med aksen . 2) er en perspektivisk afbildning af en stråle ved et punkt på en stråle i et punkt med aksen . Vi skal kontrollere, at den har følgende egenskaber: . For en vilkårlig linje kan dens billede konstrueres . Linjerne og indeholder kun punkterne af kegle- og hhv. Derfor, og er tangent til den konstruerede kegle. $a,u,w$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $\pi$ $\pi _{b},\pi _{a}$ ${\displaystyle \pi _{b))$ $U$ $O$ $b$ $\pi _{a}$ $O$ $V$ $-en$ ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b))$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $g$ $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ $u$ $v$ $U$ $V$ $u$ $v$

Beviset for, at denne metode gør det muligt at konstruere en kegle, er lavet ved at gå videre til et affint diagram, hvor linjen er linjen i det uendelige, punktet er oprindelsen, og punkterne er punkter i det uendelige svarende til x- og y - akserne , henholdsvis. og prik . Den affine del af den konstruerede kegle viser sig at være en hyperbel . [3] $w$ $O$ $U,V$ $E=(1,1)$ $y=1/x$

Steiners konstruktion af den dobbelte koniske

Definitioner

Når man passerer til det dobbelte projektive plan, ombyttes ordene "punkt" og "linje" og operationerne af krydsende linjer og forbindelsespunkter. Det dobbelte projektive plan er også et projektivt plan, og man kan indføre homogene koordinater på det. Et ikke-degenereret keglesnit i det dobbelte projektive plan er også defineret af en kvadratisk form.

Den dobbelte kegle kan konstrueres ved den dobbelte Steiner-metode:

Lad der være givet linjer og en projektiv, men ikke perspektivisk kortlægning fra til . Så danner linjerne, der forbinder de tilsvarende punkter, et dobbelt ikke-degenereret projektivt keglesnit. $u,v$ $\pi$ $u$ $v$

En perspektivisk kortlægning af et sæt punkter på en linje på et sæt punkter på en linje er en bijektion, således at linjerne, der forbinder de tilsvarende punkter, skærer hinanden i et fast punkt , som kaldes perspektivcentret (se billede). $\pi$ $u$ $v$ $Z$ $\pi$

En projektiv kortlægning er en sammensætning af et begrænset antal perspektivkortlægninger.

I det tilfælde, hvor hovedfeltet har karakteristik 2, skærer alle tangentkegleformede kegler i et punkt kaldet keglens knude (eller kerne ). Derfor er den koniske dual til en ikke-degenereret kegle en delmængde af den dobbelte linje, og ikke en oval kurve (i det dobbelte plan). Så den dobbelte kegle er kun ikke-degenereret, hvis karakteristikken for jordfeltet ikke er lig med 2.

Eksempel

I det følgende eksempel er billederne af tre punkter kendt : . En projektiv kortlægning kan repræsenteres som en sammensætning af perspektivkortlægninger : $A,U,W$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $\pi$ $\pi _{B},\pi _{A}$

1) er en perspektivisk kortlægning af et sæt punkter på en linje på et sæt punkter på en linje med centrum .

\pi _{B}

u

o

B

2) er en perspektivisk kortlægning af et sæt punkter på en linje på et sæt punkter på en linje med centrum .

\pi _{A}

o

v

EN

Det er nemt at verificere, at kortlægningen opfylder . For et vilkårligt punkt kan dets billede konstrueres, og linjen er et element i den dobbelte kegle. $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $G$ $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ ${\overline {G\pi (G)))$

Noter

↑ Coxeter, 1993 , s. 80.
↑ Merserve, 1983 , s. 65.
↑ 12 Hartmann , s. 38.
↑ Jacob Steiners Vorlesungen über synthetische Geometrie , BG Teubner, Leipzig 1867 Part II , s. 96
↑ Hartmann, , s. 19

Litteratur

Coxeter, HSM The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
Hartmann, Erich , Planar Circle Geometries, en introduktion til Moebius-, Laguerre- og Minkowski-planer
Merserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9