Grad af et punkt i forhold til en cirkel

Graden af et punkt i forhold til cirklen er værdien , hvor er afstanden fra punktet til cirklens centrum, a er cirklens radius. Ifølge denne definition har punkter inde i en cirkel negative grader, punkter uden for cirklen har positive grader, og punkter på en cirkel har grader nul. For et punkt, der ligger uden for cirklen, følger det af Pythagoras sætning , at punktets grad i forhold til cirklen er kvadratet på længden af tangenten trukket fra det givne punkt til den givne cirkel. Graden af et punkt er også kendt som graden af en cirkel , eller graden af en cirkel omkring et punkt. $d^{2}-R^{2}$ $d$ $R$

Egenskaber

Hvis linjen, der går gennem punktet, skærer cirklen ved punkterne og , så er graden relativt lig med ; i denne formel er "+", hvis det er udenfor og "-", hvis det er indeni. I særdeleshed, $EN$ $\Gamma$ $B$ $C$ $EN$ $\Gamma$ $\pm AB\cdot AC$ $EN$ $\Gamma$
- ( Sætning af to sekanter ) Hvis to sekanter tegnes fra et punkt, der ligger uden for cirklen , så er produktet af en sekant ved sin ydre del lig med produktet af den anden sekant ved sin ydre del: (fig.). $AB\cdot AC=AD\cdot AE$
- ( Sekant- og tangentsætningen ) Hvis en tangent og en sekant trækkes fra et punkt til en cirkel , så er produktet af hele sekanten ved dens ydre del lig med kvadratet af tangenten.

Relaterede definitioner

For to ikke-koncentriske cirkler er stedet for punkter P , for hvilke graderne med hensyn til begge cirkler er lige store, en ret linje, kaldet cirklernes radikalakse .

For tre cirkler, hvis centre ikke ligger på én ret linje, eksisterer der et enkelt punkt, således at dets grader i forhold til alle tre cirkler er lige store. Dette punkt kaldes det radikale centrum af de tre cirkler .

Begrebet omvendt afstand er tæt forbundet med graden af et punkt i forhold til en cirkel .

Historie

Udtrykket "grad" i denne betydning blev først brugt af Jacob Steiner .

Variationer og generaliseringer

Graden af et punkt i forhold til en kugle i det euklidiske rum er defineret på samme måde. $n$

Litteratur

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Ja. P. Ponarin. §3.1 Grad af et punkt i forhold til en kugle // Elementær geometri. - M. : MTsNMO , 2006. - T. 2. - S. 146. - 256 s. - 2000 eksemplarer. — ISBN 5-94057-223-5 .