Sfærisk geometri

Sfærisk geometri er en gren af geometri , der studerer geometriske former på overfladen af en kugle . Sfærisk geometri opstod i antikken i forbindelse med geografiens og astronomiens behov .

Grundlæggende begreber

En storcirkel er en cirkel, der deler en kugle (kugle) i to lige store halvdele. Storcirklens centrum falder altid sammen med kuglens centrum. På en globus er alle meridianer for eksempel store cirkler. Men af parallellerne er det kun ækvator , der er en storcirkel. Alle andre paralleller er små cirkler .

Store cirkler på overfladen af en kugle spiller en rolle svarende til den af rette linjer i planimetri . Den korteste vej mellem to punkter vil følge den store cirkellinje.

Gennem to vilkårlige punkter på overfladen af en kugle, undtagen de diametralt modsatte, kan man tegne en enkelt storcirkel. Et hvilket som helst antal storcirkler kan tegnes gennem diametralt modsatte punkter på en kugle.

Enhver to storcirkler skærer hinanden i en lige linje, der går gennem sfærens centrum, og storcirklernes cirkler skærer hinanden i to diametralt modsatte punkter.

Når to storcirkler skærer hinanden, dannes fire sfæriske digoner . Arealet af en diagon er givet af , hvor er kuglens radius og er vinklen på diagonen i radianer. $S=2R^2 \alfa$ $R$ $\alfa$

Tre store cirkler, der ikke skærer hinanden i ét punkt, danner otte sfæriske trekanter . En sfærisk trekant, hvis sider er mindre end halvdelen af den store cirkel, kaldes Euler. Ud over de tre lighedstegn for flade trekanter er der for sfæriske trekanter en mere: to sfæriske trekanter er lige, hvis deres tilsvarende vinkler er lige store.

Siderne af en sfærisk trekant måles ved vinklen dannet af kuglens radier trukket til enderne af den givne side. Hver side af en sfærisk trekant er mindre end summen og større end forskellen mellem de to andre. Summen af alle sider af en sfærisk trekant er altid mindre end . Summen af vinklerne i en sfærisk trekant er altid mindre og mere end . Mængden kaldes sfærisk overskud. Arealet af en sfærisk trekant bestemmes af Girards formel . $2\pi$ $s=\alfa +\beta +\gamma$ $3\pi$ $\pi$ $s-\pi = \varepsilon$ $S=R^{2}\varepsilon$

Relationer mellem elementerne i en sfærisk trekant studeres ved sfærisk trigonometri .

Se også

Litteratur

Alekseevskii DV , Vinberg EB , Solodovnikov AS Geometrien af rum med konstant krumning. // Resultater af videnskab og teknologi. Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. - M .: VINITI , 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometri. / Per. fra fransk, i 2 bind - M .: Mir , 1984. - Vol. II, del V: Kuglens indre geometri, hyperbolsk geometri, kuglers rum.
Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - L. - M. , 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M .: Fizmatlit , 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometri. — M .: Nauka , 1990.
Aleksandrov PS Hvad er ikke-euklidisk geometri. — M .: URSS , 2007.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer jorden rundt Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4182228-6 NDL : 01212460