Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi (nogle gange Agnesis lås ) er en plan kurve , stedet for punkter , som forholdet gælder , hvor er cirklens diameter, er halvkorden af denne cirkel, vinkelret på . Agnesi versiera fik sit navn til ære for den italienske matematiker Maria Gaetana Agnesi , som studerede denne kurve. $M$ $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ $OA$ $f.Kr$ $OA$

Historie

Pierre Fermat fandt i 1630 området i regionen mellem kurven og dens asymptote. I 1703 beskrev Guido Grandi , uafhængigt af Fermat, konstruktionen af denne kurve, og i sit arbejde fra 1718 kaldte han den for en versiera ( italiensk Versiera , fra latin Versoria ), da sinus-versus- funktionen blev brugt i dens konstruktion . [en]

I 1748 udgav Maria Agnesi det velkendte generaliserende værk Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , hvor kurven, som i Grandis værk, blev kaldt en versier. Tilfældigvis havde det italienske ord Versiera/Aversiera , afledt af det latinske Adversarius , også betydningen "heks" (engelsk heks ) [2] . Måske af denne grund har Cambridge-professoren John Colson, som oversatte Agnesis værk til engelsk, fejloversat dette ord, som et resultat af hvilket kurven ofte omtales i engelsk litteratur som heksen fra Agnesi .

Ligninger

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

I et rektangulært koordinatsystem:

y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Konklusion

Koordinaterne for punktet, der ligger på versionen, er , . og per definition bygger vi andelen $M$ $x=BM$ $y=OB$ $OA=a$

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

Herfra

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

På den anden side kan findes fra cirkelligningen: $f.Kr$

\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Vi ved det , så vi udtrykker : $y=OB$ $x^{2}$

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Sæt lighedstegn mellem begge udtryk for : $f.Kr$

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac { a}{2}}\right)^{2}

Kvadring, oversættelse og parentesering: $y^{2}$

\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay

Vi udtrykker y (y=0 er ikke egnet pr. definition):

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Hvis - dette ikke er diameter , men radius af cirklen, så er ligningen: $-en$

\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Parametrisk ligning:

{\begin{cases}x=a\,\operatørnavn {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases))

, hvor er vinklen mellem og

\varphi

OA

OC

Konklusion

Koordinaterne for et punkt er entydigt bestemt af vinklen mellem og . Hvis , og , så ved definitionen af en versionr, kan man sammensætte proportionen $M$ $\varphi$ $OB$ $OC$ $OB=y$ $BM=x$

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ ved antagelse er lig med . Fra trekanten : , så $-en$ $OBC$ $BC=y\,\operatørnavn {tg}\,\varphi$

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatørnavn {tg}\,\varphi }}

herfra . Vi erstatter denne formel i kurvens ligning: $x=a\,\operatørnavn {tg}\,\varphi$

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatørnavn {tg}^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatørnavn {tg}^{2}\,\varphi }}

Ved at bruge identiteten får vi

y=a\cos ^{2}\varphi

I det polære system er versionra-ligningen ret kompliceret: for at finde den skal du løse den kubiske ligning :

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Den resulterende formel vil dog være for kompleks og besværlig til at have nogen praktisk værdi.

Egenskaber

Verzier er en kurve af tredje orden.
Diameteren er kurvens eneste symmetriakse . $OA$
Kurven har et maksimum - og to bøjningspunkter - $A(0;a)$ $\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}({\sqrt {3))));{\frac {3a}{4}}\right)$
I nærheden af toppunktet nærmer versioneren sig en cirkel med diameter . Punktet berøres, og kurven falder sammen med cirklen. Dette er vist ved værdien af krumningsradius i punktet :. $EN$ $OA$ $EN$ $EN$ $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$
Arealet under grafen . Det beregnes ved at integrere ligningen over det hele . $S=\pi a^{2}$ $\textstyle {\mathbb {R}}$
Volumenet af versionerens rotationslegeme omkring dets asymptote (akse ) . $OKSE$ $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$

Bygning

En cirkel med diameter og en tangent til den er konstrueret. På en tangent vælges et referencesystem med origo i kontaktpunktet. En ret linje bygges gennem det valgte tangentpunkt og cirkelpunktet modsat tangentpunktet. Denne linje skærer cirklen på et tidspunkt. En linje parallel med tangenten trækkes gennem dette punkt . Versionr-punktet ligger i skæringspunktet mellem denne linje og vinkelret på tangenten i det valgte punkt. $-en$

Interessante fakta

Springbræt - rampen til det russiske hangarskib Admiral of the Fleet of the Soviet Union Kuznetsov blev dannet af versioner Agnesi. Når flyet forlader rampen, er det i den ideelle angrebsvinkel med en hastighed på 180-200 km/t (for Su-27 ). Teoretisk set kan et fly af enhver startvægt lette fra et springbræt. [3]

Se også

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i højere matematik. — M .: AST : Astrel , 2006.

Noter

↑ C. Truesdell . Rettelse og tilføjelser til 'Maria Gaetana Agnesi // Archive for History of Exact Science. - 1991. - Bd. 43. - S. 385-386. - doi : 10.1007/BF00374764 .
↑ Pietro Fanfani . Vocabolario dell' uso toscano, s. 334 Arkiveret 2. maj 2014 på Wayback Machine
↑ En skønheds krølle og en kæmpe armbrøst: trådsimulatoren - fortiden og fremtiden . Hentet 21. august 2012. Arkiveret fra originalen 20. april 2012. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online) Treccani

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe