Svamp Menger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. december 2020; checks kræver 5 redigeringer .

Menger-svampen er en geometrisk fraktal , en af de tredimensionelle analoger af Sierpinski-tæppet .

Bygning

Iterativ metode

En terning med kant 1 er opdelt af planer parallelt med dens flader i 27 lige store terninger. Den centrale terning og alle terningerne i denne underafdeling, der støder op til den langs todimensionelle flader, fjernes fra terningen. Det viser sig et sæt bestående af 20 resterende lukkede kuber af "første rang". Gør vi det samme med hver af terningerne i første rang, får vi et sæt bestående af 400 terninger af anden rang. Hvis vi fortsætter denne proces i det uendelige, får vi en uendelig rækkefølge $C_{0}$ $C_{0}$ $C_{1}$ $C_{2}$

C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots

skæringspunktet mellem hvis medlemmer er Menger-svampen.

Kaosspil

Menger-svampen kan også opnås ved en proces kaldet kaosspillet [1] [2] , som er som følger:

20 attraktionspunkter er specificeret: 8 spidser og 12 midtpunkter på kanterne af den originale terning.
Der er sat et eller andet udgangspunkt , som ligger inde i kuben. $P_0$
En sekvens af punkter bygges i følgende cyklus:
1. En attraktor er tilfældigt udvalgt blandt 20 mulige med lige stor sandsynlighed. $EN$
2. Et punkt bygges med nye koordinater: , hvor: — koordinater for det foregående punkt ; er koordinaterne for den valgte attraktor. $P_{i}$ $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3));y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}} {3));z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$ $x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}$ $P_{{i-1}}$ $x_{A},y_{A},z_{A}$

Hvis du udfører cyklussen mange gange (mindst 100 tusind) og derefter kasserer de første par tiere af point, så vil de resterende point danne en figur tæt på Menger-svampen.

Egenskaber

Menger-svampen består af 20 identiske dele, hvis lighedskoefficient er 1/3.
Ortogonale projektioner af Menger-svampen repræsenterer Sierpinski-tæppet.
Menger-svampen har en mellemliggende (det vil sige ikke heltal ) Hausdorff-dimension , som er ens , fordi den består af 20 lige store dele, som hver især ligner hele svampen med en lighedsfaktor på 1/3. $\ln 20/\ln 3\approx 2{,}73$
Menger-svampen har desuden topologisk dimension 1
- Menger-svampen er topologisk karakteriseret som et endimensionelt forbundet lokalt forbundet, metriserbart kompakt sæt, der ikke har lokalt brudpunkter (det vil sige, at sættet er forbundet i ethvert forbundet nabolag til ethvert punkt ) og ikke har ikke-tomme åbne undergrupper kan indlejres i flyet. $U$ $x \i M$ $U\setminus x$
Menger-svampen er en universel Uryson-kurve , det vil sige, uanset Urysohn-kurven , er der en undergruppe i Menger-svampen , der er homøomorf . $C$ $C'$ $C$
Menger-svampen har nul volumen, men uendelig ansigtsareal.
- Volumen bestemmes af formlen 20/27 for hver iteration: $\left({\frac {20}{27}}\right)^{n}$

Sektionen af Menger-svampen, afgrænset af en terning med side 1 og centrum ved origo, af et plan indeholder hexagrammer . $x+y+z=0$
Menger-svampen spreder chokbølger godt. [3]

Se også

Kaosteori
System af iterable funktioner

Noter

↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Fraktale transformationer // Fraktaler som kunst. Artikelsamling / Pr. på engelsk, fransk E. V. Nikolaeva. - Sankt Petersborg. : Sparta, 2015. - S. 35. - 224 s. — ISBN 9785040137008 .
↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Stokastiske modeller med Power-Law Tails: Ligningen X = AX + B . — Springer, 2016-07-04. — 325 s. - S. 7. - ISBN 9783319296791 .
↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Shockwave dissipation af interface-dominerede porøse strukturer // AIP Advances. - 2020-07-01. - T. 10 , nej. 7 . - S. 075016 . - doi : 10.1063/5.0015179 . Arkiveret fra originalen den 12. marts 2022.

Links

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe