Kurvejagt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juni 2017; checks kræver 5 redigeringer .

Chase- kurven er en kurve, der repræsenterer løsningen af "chase"-problemet, som er opstillet som følger. Lad punktet bevæge sig ensartet langs en given kurve. Det er påkrævet at finde en bane med ensartet bevægelse af et punkt , således at tangenten trukket til banen på et hvilket som helst tidspunkt af bevægelse vil passere gennem positionen af det punkt, der svarer til dette øjeblik . $EN$ $P$ $EN$

Historie

Kurvejagtproblemet blev stillet af Leonardo da Vinci og løst af Bouguer i 1732.

Generelt tilfælde af indstilling af problemet

For at udlede linjeligningen vælger vi et koordinatsystem, hvor abscisseaksen passerer gennem punkternes begyndelsesposition og , og punktet er ved begyndelsen af xAy- koordinatsystemet . Forholdet mellem punkternes konstante hastigheder vil blive betegnet med k . $P$ $EN$ $EN$

Hvis vi antager, at punktet i et uendeligt kort tidsrum passerede afstanden , og punktet - afstanden , så får vi ifølge ovenstående betingelse forholdet , eller $P$ $dS$ $EN$ $dS_{1}$ $dS=kdS_{1}$

{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.

(en)

Yderligere skal man udtrykke og i form af x, y og deres differentialer. Ved betingelse skal punktets koordinater opfylde ligningen for tangenten til den ønskede kurve, dvs. $d\xi$ $d/eta$ $P$

\eta -y={\frac {dy}{dx}}(\xi -x).

Ved at tilføje til denne ligning ligningen for "undviger"-bevægelsens bane givet af betingelsen, er det muligt at bestemme ud fra det resulterende system af ligninger og . Efter at have erstattet disse værdier i differentialligningen (1), vil det blive skrevet i formen $F(\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

\Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx)),{\frac {d^{2}y}{dx^{2))}\right)=0

Integrationskonstanterne kan findes ud fra startbetingelserne ( at ). $y=0;y'=0$ $x=0$

I det generelle tilfælde, for en vilkårligt givet kurve , er det ret svært at finde en løsning på den resulterende ligning. Problemet er meget forenklet, hvis vi betragter det enkleste tilfælde, hvor "unddragerens" bane er lige. $F(\xi ,\eta )$

En simpel jagtkurve

En simpel chase-kurve opnås i det simple tilfælde, hvor det forfulgte punkt bevæger sig i en lige linje. Det blev først beskrevet af Pierre Bouguer i 1732. Senere overvejede Pierre Louis de Maupertuis jagtkurven for andre sager.

Definition

Lad udgangspunktet for genstanden for forfølgelsen, og vær udgangspunktet for forfølgeren. Lad punktet bevæge sig ensartet med en hastighed i en bestemt retning, og lad punktet bevæge sig med en hastighed, der altid er rettet mod punktet . Punktets bane er en simpel jagtkurve. $A_0$ $P_0$ $EN$ $V=konst$ $P$ $W=konst$ $EN$ $P$

Ligning i kartesiske koordinater

Lade $k={\tfrac {V}{W}}$

Lad punkt A også bevæge sig langs x -aksen . Derefter $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0),$

x(y)={1 \over 2}\left({{1-y^{(1-k)}} \over (1-k)}-{{1-y^{(1+ k)}} \over {(1+k)}}\right)

til

k\neq 1

x(y)={1 \over 4}\cdot \left({y^{2}}-\ln {y^{2}}-1\right)

til

k=1\;

Konklusion

Betragt tilfældet A 0 (0,0), P 0 (0,1) , når "undvigeren" bevæger sig langs x -aksen og for k > 0. På et vilkårligt tidspunkt er "undvigeren" altid tændt en tangent til kurven for "forfølgeren" bevægelsesbane, dvs

{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}={\frac {-y}{ax}},

på grundlag af hvilket vi skriver differentialligningen :

y+y'(ax)=0\;

, hvor

y>0

Det følger af betingelsen , efter differentiering med hensyn til tid og , på grundlag af hvilken: $a=V\cdot t$ ${\frac {y}{y'}}+Vt=x$ ${\dot y}=y'\cdot {\dot x}$ ${\dot y}'=y''\cdot {\dot x}$

{\dot x}={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {V\cdot y'^{2}}{y\cdot y ''}}

Lad os skrive et udtryk for at bestemme længden af kurven :

l=Wt=k\int _{0}^{x}{\sqrt {1+(y')^{2}}}{\mathrm {d}}x

Fra

{\mathrm {d}}x^{2}+{\mathrm {d}}y^{2}=W^{2}{\mathrm {d}}t^{2}

w^{2}={\frac {{\mathrm {d}}x^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {{\mathrm {d}} y^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}={\dot x}^{2}+(y'\cdot {\dot x})^{2}

skulle gerne

{\dot x}={\frac {W}{{\sqrt {1+y'^{2))))}

På samme måde differentierer vi med hensyn til : $y$

y''-k\cdot {\frac {y'^{2}}{y}}\cdot {\sqrt {1+y'^{2}}}=0

Substitutionsløsning

u=x'={\frac {1}{y'}},y''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {{\mathrm {d}}u}{ {\mathrm {d}}x}}

når adskillelse af variable fører til

{\frac {-{\mathrm {d}}u}{{\sqrt {1+u^{2}}}}}=k\cdot {\frac {{\mathrm {d}}y}{y} }

efter integration får vi:

\operatørnavn {arsinh}u=k\cdot \ln y+C

og yderligere efter at have brugt den formelle definition af sinh fra får vi: $C_{1}=e^{C}$

x'={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}y}}={\frac {1}{2}}\venstre[(C_{1}\cdot y) ^{k}-(C_{1}\cdot y)^{{-k}}\right]

Genintegrere med definitionen af integrationskonstanten . Fra oprindelige forhold $C_{2}$

\left.{\tfrac {dx}{dy}}\right|_{{y=1}}=0

skulle gerne

C_{1}=1

såvel som

\left.x\right|_{{y=1}}=0

vi får:

C_{2}={\frac {k}{1-k^{2))}

eller for

C_{2}=-{\frac {1}{4}}

k=1

eller:

x(y)={1 \over 2}\venstre({\begin{matrix}\quad \\{y^{{(1+k)}} \over (1+k)}\\\quad \end {matrix}}-\venstre\lbrace {\begin{matrix}{y^{{(1-k)}} \over (1-k)}\\{\ln {|y|}}\end{matrix }}\right\rbrace \right)+\left\lbrace {\begin{matrix}{k \over {1-k^{2}}}\\-{1 \over 4}\end{matrix}}\ højre\rbrace \ {\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases))

Ud fra disse ligninger kan ovenstående ligninger fås.

Egenskaber

For k > 1 vil jagtlinjen krydse bevægelseslinjen for "undvigeren", og punkt P vil faktisk overhale punkt A.

For k ≤ 1 nærmer jagtlinjen sig asymptotisk bevægelseslinjen for "undvigeren", og punktet P vil ikke overhale punktet A .

For en rationel værdi på k ≠ 1 er chase-linjen en algebraisk kurve. Når k = 1 , og når k er irrationel, bliver chase-kurven en transcendental kurve.

For k = 1 (med samme hastigheder som "forfølgeren" og "unddrageren"), ligner chase-kurven en tractrix , men har en anden ligning.

Problem med flere forfølgere

Praktisk anvendelse

Opgaven med at konstruere en chase-kurve opstod først ved valg af skibskurs under hensyntagen til eksterne faktorer (sidevind, strøm) for optimal opnåelse af rejsens destinationspunkt.

Igen opstod dette problem med den militære brug af ubåde, torpedoer og senere styrede missiler til at nå og ødelægge bevægelige mål. Derudover anvendes chase-kurven i rumnavigation.

Missilsøgningssystemer

Hovedopgaven for missilsøgningssystemet er at sikre, at det rammer målet eller opsnapper målet med et minimum overfald . Da styrede missiler har evnen til at ændre missilets bane umiddelbart efter affyring, er der mange baner, langs hvilke et målsøgende missil vil ramme målet. Men i praksis forsøger man at vælge den, der under givne skydeforhold giver størst sandsynlighed for at ramme målet.

Den tilstand, der ligger til grund for driften af missilstyresystemet, kaldes styremetoden. Styringsmetoden bestemmer missilets teoretiske bane. Den valgte vejledningsmetode implementeres som regel ved hjælp af en computerenhed, der modtager information om missilets og målets relative position, om hastighederne og retningerne for deres bevægelse. Baseret på denne information beregnes missilets ønskede bane, og det mest fordelagtige punkt for dets møde med målet bestemmes. På baggrund af resultaterne af beregningerne genereres styrekommandoer, der ankommer til styrerorene. Rorene styrer raketten i henhold til en given lov. En af metoderne til missilføring er brugen af matematiske sammenhænge, der beskriver jagtkurven [1] .

Variationer og generaliseringer

I en bredere forstand er ensartetheden af et punkts bevægelse ikke påkrævet, og det er i denne forstand, at tractrix chase-kurven er . $P$

Noter

↑ Kurotkin V.I., Sterligov V.L. Missile homing. M.: Militært forlag under USSR's forsvarsministerium. 1963, 88 s.

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe