Brachistochrone

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. november 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Brachistochrone (fra græsk βράχιστος "korteste" + χρόνος "tid") - kurven for den hurtigste nedstigning. Opgaven med at finde den blev sat i juni 1696 af Johann Bernoulli som følger:

Blandt plankurverne, der forbinder to givne punkter og ligger i det samme lodrette plan ( nedenfor ), skal du finde den, der bevæger sig langs, som, under påvirkning af kun tyngdekraften , i samme retning som den negative halvakse , materialets punkt fra vil nå ind den korteste tid. $EN$ $B$ $B$ $EN$ $OY$ $EN$ $B$

Løsningen på brachistochrone-problemet er en bue af en cykloid med en vandret base, hvis spids er ved punktet , eller med andre ord har en lodret tangent i punktet . $EN$ $EN$

Det er bemærkelsesværdigt, at tidspunktet for nedstigning til bundpunktet ikke afhænger af startpunktets placering på cykloidens bue.

Løsning af brachistochrone problem

Isaac Newton , Jacob Bernoulli , G.V. Leibniz , G.F. Lopital , E.V. Tschirnhaus reagerede på Johann Bernoullis artikel . Alle løste de, ligesom Johann Bernoulli selv, problemet på forskellige måder. Løsningsmetoden opnået den 26. januar 1697 af Isaac Newton dannede grundlaget for naturvidenskabens vigtigste felt - variationsregningen .

Lad der være to vilkårlige punkter placeret på forskellige ordinater . Lad endvidere et vilkårligt materiale punkt M rulle ned fra punkt A til punkt B kun under påvirkning af tyngdekraften ( der er ingen friktionskræfter ). Lad os finde en sådan bane , hvor rulletiden vil være minimal.

Lad os rette y-aksen ned og sammenligne nulværdien af ordinaten med startpunktet. Lad os nedskrive energibevarelsesloven for materialepunktet M:

{\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,

hvor

m

- kropsvægt ,

g

er det frie falds acceleration ,

y

- ordinere ,

v

er kroppens hastighed .

Vi får:

v={\sqrt {2gy)),

hvor du kan finde værdien af projektionen af hastighed på aksen : $x$

v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2))))={\frac {\sqrt {2gy)){\sqrt {1+(y ')^{2}}}}.

Da tiden til at falde er , er problemet reduceret til at minimere værdien af integralet $\int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx$

{\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}} \,dx.

Litteratur

Kleiber I. A. Brachistochrone // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Links

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe