Sinus-sætning

Sinussætningen er en sætning , der fastslår forholdet mellem længderne af siderne i en trekant og størrelsen af vinklerne modsat dem . Der er to versioner af sætningen; den sædvanlige sinussætning :

Siderne i en trekant er proportionale med de modsatte vinklers sinus .

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

og den udvidede sinussætning :

For en vilkårlig trekant

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

hvor , , er trekantens sider, er vinklerne modsat dem henholdsvis og er radius af cirklen, der omgiver trekanten. $-en$ $b$ $c$ $\alfa ,\beta ,\gamma$ $R$

Beviser

Bevis for den sædvanlige sinussætning

Vi bruger kun definitionen af trekantens højde, sænket til side b , og sinus for to vinkler: $h_b$

h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha

. Derfor, , som skulle bevises. Ved at gentage den samme begrundelse for de to andre sider af trekanten får vi den endelige version af den sædvanlige sinussætning. ∎

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}

Bevis for den udvidede sinussætning

Bevis

Det er nok til at bevise det

{\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.

Tegn en diameter for den omskrevne cirkel. Ifølge egenskaben af vinkler indskrevet i en cirkel, er vinklen ret, og vinklen er lige, enten hvis punkterne og ligger på samme side af linjen , eller på anden måde. Siden , i begge tilfælde får vi $|BG|$ $GCB$ $CGB$ $\alfa$ $EN$ $G$ $f.Kr$ $\pi-\alfa$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$

a=2R\sin\alfa

Ved at gentage den samme begrundelse for de to andre sider af trekanten får vi:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.

∎ Bevis gennem formler for at finde arealet af en trekant

Lad os tage to formler for at finde arealet af en trekant og $S={\frac {abc}{4R))$ $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\ frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow { \begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}= \sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }} \\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta ))={\frac {c}{\sin \gamma ))$ ∎

Variationer og generaliseringer

I en trekant ligger den større side modsat den større vinkel, og den større vinkel ligger modsat den større side.

I simplex

V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}} }{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},

hvor er vinklen mellem fladerne og ; er et fælles ansigt og ; er rumfanget af simplekset. ${\displaystyle A_{i,j))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ ${\displaystyle V_{n-2}^{i,j))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ $V_{n}$

Historie

I Almagests første kapitel (ca. 140 e.Kr.) bruges sinussætningen, men den er ikke eksplicit angivet [1] .
Det ældste bevis på sinussætningen på det plan, der er kommet ned til os, er beskrevet i bogen af Nasir ad-Din At-Tusi "Afhandling om den komplette firkant" skrevet i det XIII århundrede [2] .
Sinussætningen for en sfærisk trekant blev bevist af matematikere fra det middelalderlige øst allerede i det 10. århundrede [3] . Al-Jayanis værk fra det 11. århundrede "The Book of Unknown Arcs of the Sphere" gav et generelt bevis for sinussætningen om kuglen [4] .

Variationer og generaliseringer

Sfærisk sinussætning
På Lobachevsky-planet med krumning tager sinussætningen følgende form: $-en$ ${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C }{\mathrm {sh} \,c}}.$

Noter

↑ Florian Cajori. A History of Mathematics (engelsk) . — 5. udgave. - 1991. - S. 47.
↑ Berggren, J. Lennart. Matematik i middelalderlig islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien og Islam: En kildebog . - Princeton University Press , 2007. - S. 518. - ISBN 9780691114859 .
↑ Sesiano angiver netop al-Wafa som bidragyder. Sesiano, Jacques (2000). "Islamisk matematik", s. 137. — Side 157, i Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 1402002602
↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani . Hentet 24. august 2011. Arkiveret fra originalen 29. maj 2016. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Litauisk universal Britannica (online)

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater