Funktionsgraf

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. marts 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En funktionsgraf er et geometrisk begreb i matematik , der giver en idé om det geometriske billede af en funktion .

Graferne for funktioner med reel værdi af en reel variabel af en variabel er de mest visuelle.

For en kontinuert funktion af to variable er deres grafer overflader i tredimensionelt rum , som er punkters locus . Disse overflader kan afbildes på et plan i enhver isometrisk projektion (se figur). $z=f(x,\ y)$ $z,\ x,\ y.$

Normalt er grafer bygget i et rektangulært koordinatsystem , på et plan kaldes dette koordinatsystem et kartesisk koordinatsystem . Også grafer er ofte bygget i andre koordinatsystemer for at øge klarheden, for eksempel i et polært koordinatsystem eller andre skrå koordinatsystemer .

I tilfælde af brug af et rektangulært koordinatsystem er grafen for en funktion stedet for punkter i planet, abscissen ( x ) og ordinaten ( y ), der er relateret til den viste funktion:

punktet er placeret (eller er placeret) på grafen for funktionen, hvis og kun hvis .

(x,y)

y=f(x)

y=f(x)

En funktion kan således beskrives tilstrækkeligt ved dens graf .

Det følger af definitionen af funktionsgrafen, at ikke hvert sæt punkter i planet kan være grafen for en funktion, for eksempel af kravet om, at funktionen skal være unik, følger det, at der ikke er nogen ret linje parallel med y-aksen kan skære funktionsgrafen i mere end ét punkt. Hvis funktionen er reversibel, så vil grafen for den omvendte funktion (som en delmængde af planet) falde sammen med grafen for selve funktionen (det er simpelthen den samme delmængde af planet).

Nogle funktioner er kun defineret i et endeligt diskret sæt af argumentet, mens grafen for sådanne funktioner er et sæt punkter, for eksempel grafen for en funktion defineret som:

f(x)=\venstre\{{\begin{matrix}a,&x=1\\b,&x=2\\c,&x=3\end{matrix}}\right.

er et sæt af tre punkter $(1,\ a);~(2,\ b);~(3,\ c).$

Grafen for en glat (påkrævet antal gange differentierbar funktion ) er en plan kurve med samme grad af glathed.

Nogle grafer har uafhængige navne, for eksempel:

Grafen for en lineær funktion er en ret linje .
Grafen for en kvadratfunktion er en parabel .
Grafen for en brøkfunktion er en hyperbel .
Graf over en eksponentiel funktion - eksponentiel
Sinusgraf - sinusbølge , cosinusgraf - cosinusbølge, tangent - tangentoid osv.

Grafdefinition

Når man overvejer en afbildning af en vilkårlig form , der virker fra et sæt til et sæt , er grafen for en funktion følgende sæt af ordnede par: $f:X\til Y$ $x$ $Y$

\Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\i X\ gange Y\midt x\i X\,\}.

Især når man betragter dynamiske systemer , er det repræsentative punkt en graf over løsningen af den tilsvarende differentialligning med givne begyndelsesbetingelser , en sådan graf kaldes ofte systemets fasebane . $(t,f(t))$

Eksempler

Fungere	Funktionsgraf	Beskrivelse
$f(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases))$		Funktion Ved punkt $y=\operatørnavn {sgn}(x).$ $x=0~~y=0.$
$f(x)={\begin{cases}0,&x=1\\8,&x=2\\15,&x=3\end{cases))$		Et eksempel på en graf for en funktion, der kun er defineret ved tre punkter og kun indeholder tre punkter med koordinater , og ${\displaystyle \{1,2,3\))$ $(1,0)$ $(2,8)$ $(3,15).$
$f(x)=\sin(x)$ $f(x)=\cos(x)$ $f(x)=\operatørnavn {tg} (x)$ $f(x)=\operatørnavn {ctg} (x)$ $f(x)=\sek(x)$ $f(x)=\operatørnavn {cosec} (x)$		Grafer over trigonometriske funktioner: bihule, cosinus, tangent, cotangens, sekant, cosecant
$f(x)={\frac {1}{x}}$		Hyperbeldiagram. At gennemgår en diskontinuitet af 2. art og er ikke defineret på punktet. $x=0$ $x=0$
$f(x)=b^{x}$		Grafer over funktioner med forskellige baser : ${\displaystyle y=b^{x))$ $b$ base: 10 base: e base: 2 grundlag: en2 Hver kurve går gennem punktet (0, 1) .
$f(x)=x^{3}-9x$		Graf af et kubisk polynomium af en reel variabel, dette er et sæt . $f(x)=x^{3}-9x$ $\{(x,x^{3}-9x)\i \mathbb{R} ^{2}\ \|x\in \mathbb{R} \}$