Ellipse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. august 2022; checks kræver 5 redigeringer .

Ellipse ( anden græsk ἔλλειψις "udeladelse; mangel, mangel ( på excentricitet op til 1)") - en lukket kurve på et plan, som kan opnås som skæringspunktet mellem et plan og en cirkulær cylinder eller som en ortogonal projektion af en cirkel på et fly .

En cirkel er et specialtilfælde af en ellipse. Sammen med hyperbelen og parablen er ellipsen et keglesnit og en quadric .

Definition

Ellipse - locus af punkterne M i det euklidiske plan , for hvilke summen af afstandene til to givne punkter og (kaldet foci ) er konstant og større end afstanden mellem brændpunkterne, dvs. $F_{1}$ $F_{2}$

|F_{1}M|+|F_{2}M|=2\cdot a

, i øvrigt

|F_{1}F_{2}|<2\cdot a.

Andre definitioner

En ellipse kan også defineres som:

en figur, der kan fås fra en cirkel ved at anvende en affin transformation
ortogonal projektion af en cirkel på et plan
skæringspunktet mellem et plan og en cirkulær cylinder .

Relaterede definitioner

Segmentet AB , der går gennem ellipsens brændpunkter , hvis ender ligger på ellipsen, kaldes denne ellipses hovedakse . Længden af hovedaksen er 2 a i ovenstående ligning.
Segmentet CD , vinkelret på ellipsens hovedakse, der går gennem hovedaksens centrale punkt, hvis ender ligger på ellipsen, kaldes ellipsens lilleakse .
Skæringspunktet mellem ellipsens hoved- og biakser kaldes dens centrum .
Segmenterne trukket fra midten af ellipsen til hjørnerne på hoved- og biaksen kaldes henholdsvis ellipsens store halvakse og lille halvakse og betegnes a og b .
Afstandene og fra hver af brændpunkterne til et givet punkt på ellipsen kaldes brændvidden på det punkt. $r_{1}$ $r_{2}$
Afstanden kaldes brændvidden . $c={\frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}$
Mængden kaldes excentricitet . $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
Diameteren af en ellipse er en vilkårlig akkord, der passerer gennem dens centrum. De konjugerede diametre af en ellipse er et par af dens diametre, der har følgende egenskab: midtpunkterne af korderne parallelt med den første diameter ligger på den anden diameter. I dette tilfælde ligger midtpunkterne af korderne parallelt med den anden diameter også på den første diameter.
Radius af ellipsen i et givet punkt er det segment, der forbinder ellipsens centrum med punktet, samt dens længde, som beregnes ved formlen , hvor er vinklen mellem radius og semi-hovedaksen. $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$
Den fokale parameter er halvdelen af længden af akkorden , der passerer gennem fokus og vinkelret på ellipsens hovedakse. $p={\frac {b^{2}}{a}}$
Forholdet mellem længderne af den lille og store halvakse kaldes ellipsekompressionsforholdet eller ellipticiteten :. Værdien lig kaldes ellipsens sammentrækning . For en cirkel er kompressionsfaktoren lig med én, kompressionen er nul. Kompressionsforholdet og ellipsens excentricitet hænger sammen med relationen $k={\frac {b}{a}}$ $(1-k)={\frac {ab}{a}},$ $k^{2}=1-e^{2}.$
For hver af brændpunkterne er der en ret linje, kaldet directrix , således at forholdet mellem afstanden fra et vilkårligt punkt på ellipsen til dens fokus og afstanden fra dette punkt til den givne linje er lig med ellipsens excentricitet . Hele ellipsen ligger på samme side af sådan en lige linje som fokus. Directrix-ligningerne for en ellipse i kanonisk form skrives som for henholdsvis foci . Afstanden mellem fokus og retningslinjen er . $x=\pm {\frac {p}{e\left(1-e^{2}\right)))$ $\left(\pm {\frac {pe}{1-e^{2}}},\,0\right)$ ${\frac {p}{e}}$

Relationer mellem elementer i en ellipse

${\fed symbol {a}}$ - en stor halvakse;
${\fed symbol {b))$ - mindre halvakse;
${\bold symbol {c}}$ - brændvidde (halv afstand mellem brændpunkter);
${\fed symbol {p}}$ — fokal parameter;
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokal afstand (den mindste afstand fra fokus til et punkt på ellipsen);
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokusafstand (maksimal afstand fra fokus til et punkt på ellipsen);

$a^{2}=b^{2}+c^{2};$

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0 \leqslant e<1);$

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

	${\fed symbol {a}}$	${\fed symbol {b))$	${\bold symbol {c}}$	${\fed symbol {p}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{p))))$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{a))))$
${\fed symbol {a}}$ - stor halvaksel	${\fed symbol {a}}$	$a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2))))$	$a={\frac {c}{e}}$	${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2))))$	$a={\frac {r_{p}}{1-e}}$	$a={\frac {r_{a}}{1+e}}$
${\fed symbol {b))$ - mindre aksel	${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2))))$	${\fed symbol {b))$	$b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2)))){e}}$	$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\displaystyle b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	${\displaystyle b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$
${\bold symbol {c}}$ - brændvidde	$c=ae$	$c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {c}}$	${\displaystyle c={\frac {pe}{1-e^{2))))$	$c={\frac {r_{p}e}{1-e))$	$c={\frac {r_{a}e}{1+e}}$
${\fed symbol {p}}$ — fokal parameter	$p=a(1-e^{2})$	${\displaystyle p=b~{\sqrt {1-e^{2))))$	$p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}$	${\fed symbol {p}}$	$p=r_{p}(1+e)$	$p=r_{a}(1-e)$
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokal afstand	$r_{p}=a(1-e)$	${\displaystyle r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$	$r_{p}=c~{\frac {1-e}{e))$	$r_{p}={\frac {p}{1+e))$	${\boldsymbol {r}}_{p}$	$r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e))$
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokus afstand	$r_{a}=a(1+e)$	${\displaystyle r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	$r_{a}=c~{\frac {1+e}{e))$	$r_{a}={\frac {p}{1-e))$	$r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e))$	${\boldsymbol {r}}_{a}$

Koordinat repræsentation

Ellipse som en andenordenskurve

Ellipsen er en central ikke-degenereret kurve af anden orden og opfylder formens generelle ligning

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

med invarianter og , hvor: $D>0$ $\Delta I<0$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\ ende{vmatrix}},

D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} ,

I=\operatørnavn {tr} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22} .

Relationer mellem invarianterne af andenordenskurven og ellipsens halvakser (kun gyldig, hvis ellipsens centrum falder sammen med oprindelsen og ): $a_{{33}}=-1$

\Delta =-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

D={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

I={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Forhold

Hvis vi omskriver den generelle ligning som

AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,

så er koordinaterne for ellipsens centrum:

h={\frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={\frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},

rotationsvinklen bestemmes ud fra udtrykket

tg(2\Theta )={\frac {B}{AC}}.

Aksers vektorretninger:

{\begin{pmatrix}B&(C-A+{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))})\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}B&( CA -{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2}}})\end{pmatrix}},

herfra

\operatorname {tg} \Theta ={\frac {CA\pm {\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))){B)).

Længderne af halvakserne bestemmes af udtrykkene

a={\sqrt {\frac {2F'({\sqrt {(AC)^{2}+B^{2))}+A+C)}{4AC-B^{2))} },

b={\sqrt {{\frac {2F'}{{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}+A+C}}.}}

Det omvendte forhold - koefficienterne for den generelle ligning fra ellipsens parametre - kan opnås ved at erstatte udtrykket for at rotere koordinatsystemet med en vinkel Θ i den kanoniske ligning (se afsnit nedenfor) og overføre det til punktet : $(x_{c},\,y_{c})$

{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1,

x'=(x-x_{c})\cos \Theta +(y-y_{c})\sin \Theta ,

y'=-(x-x_{c})\sin \Theta +(y-y_{c})\cos \Theta .

Ved at erstatte og udvide parenteserne får vi følgende udtryk for koefficienterne i den generelle ligning:

A=a^{2}\sin ^{2}\Theta +b^{2}\cos ^{2}\Theta ,

B=2(b^{2}-a^{2})\sin \Theta \cos \Theta ,

C=a^{2}\cos ^{2}\Theta +b^{2}\sin ^{2}\Theta ,

D=-2Ax_{c}-By_{c},

E=-Bx_{c}-2Cy_{c},

F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}.

Hvis du kun indtaster vinklen og lader midten af ellipsen stå ved origo, så

D=0,

E=0,

F=-a^{2}b^{2}.

Det skal bemærkes, at i ligningen for den generelle form for en ellipse givet i det kartesiske koordinatsystem , er koefficienterne (eller, hvad der er det samme, ) defineret op til en vilkårlig konstant faktor, det vil sige ovenstående notation og $A,B,C,D,E,F$ ${\displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33))$

AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0,

hvor er tilsvarende. Det kan ikke forventes, at udtrykket $k\neq 0,$

1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck

vil blive udført for evt . $k$

Forholdet mellem den invariante og halvakserne er generelt som følger: $jeg$

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A+C}{F\cdot (A\cdot h ^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)))={\frac {I}{F')),

hvor er koefficienten, når koordinaternes oprindelse flyttes til midten af ellipsen, når ligningen reduceres til formen $F'=F\cdot (A\cdot h^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)$ $F$

AX^{2}+BXY+CY^{2}+F'=0.

Andre invarianter er i følgende relationer:

-{\frac {\Delta }{F'^{3}}}={\frac {D}{F'^{2}}}={\frac {1}{a^{2}} }{\frac {1}{b^{2}}}.

Kanonisk ligning

For enhver ellipse kan du finde et kartesisk koordinatsystem, således at ellipsen vil blive beskrevet med ligningen:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Denne ligning kaldes ellipsens kanoniske ligning. Den beskriver en ellipse centreret ved origo, hvis akser falder sammen med koordinatakserne [Komm. 1] .

Forhold

For bestemthedens skyld antager vi, at I dette tilfælde er mængderne og henholdsvis ellipsens store og mindre halvakser. $0<b\leqslant a.$ $-en$ $b$

Ved at kende ellipsens halvakser kan vi beregne:

dens brændvidde og excentricitet $\left|F_{1}F_{2}\right|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\;\;\;e={\frac {\ sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1,$
ellipse foci koordinater $\left(ae,\,0\right),\left(-ae,\,0\right).$

Ellipsen har to retningslinjer, hvis ligninger kan skrives som

x={\frac {a}{e}},\;\;\;x=-{\frac {a}{e}}.

Den fokale parameter (det vil sige halvdelen af længden af akkorden , der passerer gennem fokus og vinkelret på ellipsens akse) er

p={\frac {b^{2}}{a}}.

Fokale radier, det vil sige afstandene fra brændpunkterne til et vilkårligt punkt på kurven : $\venstre(x,\,y\højre)$

r_{1}=a+ex,\;\;\;r_{2}=a-ex.

Ligning af diameter konjugeret til akkorder med hældning : $k$

y=-{\frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.

Ligningen for en tangent til en ellipse i et punkt er: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Betingelsen for tangens mellem linjen og ellipsen skrives som relationen $y=mx+k$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ $k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}.$

Ligningen for tangenter , der går gennem et punkt : $\venstre(x_1, y_1\højre)$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {-x_{1}y_{1}\pm {\sqrt {b^{2}x_{ 1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}} }.

Ligningen for tangenter med en given hældning : $k$

y=kx\pm {\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2))},

tangentpunkter på en sådan linje i ellipsen (eller hvad der er det samme, punkter på ellipsen, hvor tangenten har en vinkel med tangent lig med ): $k$

x=\mp {\frac {ka^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=\pm {\frac {b^{2 }}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.

Normal ligning i et punkt $\venstre(x_{1},y_{1}\højre):$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.

Ligninger i parametrisk form

Den kanoniske ligning for en ellipse kan parametriseres:

{\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,

hvor er en parameter. $t$

Kun i tilfælde af en cirkel (det vil sige ved ) er parameteren vinklen mellem den positive retning af x- aksen og radiusvektoren for det givne punkt. $a=b$ $t$

I polære koordinater

Hvis vi tager ellipsens fokus som polen og hovedaksen som polaksen, så vil dens ligning i polære koordinater se ud som $\venstre(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi )),

hvor e er excentriciteten og p er den fokale parameter. Minustegnet svarer til at placere polen af polære koordinater i venstre fokus, og plustegnet i højre fokus.

Afledning af ligningen

Lad r 1 og r 2 være afstandene til et givet punkt på ellipsen fra det første og andet brændpunkt. Lad også koordinatsystemets pol være ved det første fokus, og lad vinklen måles fra retningen til det andet fokus. Så følger det af definitionen af en ellipse, at $\varphi$

r_{1}+r_{2}=2a

Herfra . På den anden side fra cosinussætningen ${\displaystyle r_{2}^{2}=\left(2a-r_{1}\right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2))$

r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}c\cos \varphi .

Eliminerer vi fra de sidste to ligninger, får vi $r_{2}$

r_{1}={\frac {a^{2}-c^{2}}{ac\cos \varphi }}={\frac {a(1-c^{2}/a^{ 2})}{1-c/a\cos \varphi }}.

Under hensyntagen til det og , opnår vi den krævede ligning. $p=a(1-e^{2})$ $e=\frac{c}{a}$

Hvis vi tager ellipsens centrum som polen og hovedaksen som polaksen, så vil dens ligning i polære koordinater se ud som $\venstre(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi ))}={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^ {2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}.

Buelængden af en ellipse

Længden af buen af en flad linje bestemmes af formlen:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\ frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.

Ved at bruge den parametriske repræsentation af ellipsen får vi følgende udtryk:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t} }\,dt.

Efter udskiftningen får udtrykket for buelængden den endelige form: $b^{2}=a^{2}\venstre(1-e^{2}\højre)$

l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\ e<1.

Det resulterende integral tilhører familien af elliptiske integraler , som ikke udtrykkes i elementære funktioner, og reduceres til et elliptisk integral af den anden slags . Især ellipsens omkreds er: $E\venstre(t,e\højre)$

l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e),

hvor er det komplette elliptiske integral af den anden slags . $E\venstre(e\højre)$

Tilnærmede formler for omkredsen

$L\ca. 4{\frac {\pi ab+(ab)^{2}}{a+b}}.$

Den maksimale fejl i denne formel for ellipsens excentricitet (forholdet mellem akserne ). Fejlen er altid positiv. $\approx 0{,}63\ \%$ $\approx 0{,}988$ $\approx 1/6{,}5$

Cirka to gange mindre fejl i en bred vifte af excentriciteter er givet af formlen : $L\ca. 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}$ $x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2))))$ $\approx 0{,}36\ \%$ $\approx 0{,}980$ $\ca. 1/5$

Betydeligt bedre nøjagtighed er leveret af Ramanujan- formlen : $0{,}05<a/b<20$ $L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\right].$

Med ellipsens excentricitet (forholdet mellem akserne ) er fejlen . Fejlen er altid negativ. $\approx 0{,}980$ $\ca. 1/5$ $\approx 0{,}02\ \%$

Ramanujans anden formel viste sig at være endnu mere præcis: $L\approx \pi (a+b)\venstre[1+{\frac {3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}{10+{ \sqrt {4-3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right].$

Præcise formler for omkredsen

James Ivory [1] og Friedrich Bessel [2] opnåede uafhængigt af hinanden en formel for omkredsen af en ellipse:

L=\pi (a+b)\venstre[1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n -1)\cdot 2^{n}\cdot n!}}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{n}\right]^{2}\right].

Alternativ formel

L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2))})))),

hvor er den aritmetisk-geometriske middelværdi 1 og , og er den modificerede aritmetisk-geometriske middelværdi 1 og , som blev introduceret af S.F. Adlai i et papir fra 2012 [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Området af en ellipse og dens segment

Ellipsens areal beregnes af formlen

S=\pi ab.

Området af segmentet mellem buen , konveks til venstre, og den lodrette korde , der går gennem punkterne og kan bestemmes af formlen [4] : $\venstre(x,\,y\højre)$ $\left(x,\,-y\right),$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\venstre(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).

Hvis ellipsen er givet af ligningen , kan arealet bestemmes af formlen $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$

S={\frac {2\pi }{\sqrt {4AC-B^{2))))

Andre egenskaber

Optisk
- Lys fra en kilde placeret ved et af brændpunkterne reflekteres i en ellipse, så de reflekterede stråler skærer hinanden ved det andet fokus.
- Lys fra en kilde, der er uden for nogen af brændpunkterne, reflekteres i en ellipse, så de reflekterede stråler ikke skærer hinanden ved noget fokus.
Hvis og er brændpunkter for ellipsen, så for ethvert punkt X , der hører til ellipsen, er vinklen mellem tangenten i dette punkt og linjen lig med vinklen mellem denne tangent og linjen . $F_{1}$ $F_{2}$ $(F_{1}X)$ $(F_{2}X)$
En linje trukket gennem midtpunkterne af segmenter afskåret af to parallelle linjer, der skærer ellipsen, vil altid passere gennem midten af ellipsen. Dette gør det muligt at bygge med et kompas og en rettekant for nemt at opnå centrum af ellipsen, og senere akser, toppunkter og foci.
- Tilsvarende formulering: gennem midtpunkterne af to parallelle akkorder af ellipsen passerer en eller anden diameter af ellipsen. Til gengæld passerer enhver diameter af ellipsen altid gennem midten af ellipsen.
Udviklingen af en ellipse er en astroid , der strækker sig langs den lodrette akse.
Ellipsens skæringspunkter med akserne er dens toppunkter .
Ellipsens excentricitet , det vil sige forholdet karakteriserer ellipsens forlængelse. Jo tættere excentriciteten er på nul, jo mere ligner ellipsen en cirkel, og omvendt, jo tættere excentriciteten er på enhed, jo mere langstrakt er den. $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0\leqslant e <1),$
- Hvis ellipsens excentricitet er nul (hvilket er det samme som brændvidden er nul: ), så degenererer ellipsen til en cirkel . $F_{1}F_{2}=0$
Ekstreme egenskaber [5]
- Hvis er en konveks figur og er indskrevet i en -gon med maksimalt areal, så $F$ $T_{n}$ $F$ $n$ $S(T_{n})\geq S(F)\cdot {\frac {n}{2\cdot \pi }}{\sin(2\cdot \pi /n)},$

hvor angiver arealet af figuren .

S(F)

F

Desuden opnås lighed, hvis og kun hvis den er afgrænset af en ellipse. $F$

Blandt alle konvekse lukkede kurver, der afgrænser et givet område, ellipser og kun de har den maksimale affin længde .

Hvis en vilkårlig ellipse er indskrevet i trekant ABC og har foci P og Q , så er relationen [6] sand for den:

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Hvis en stige (et uendeligt tyndt linjestykke) lænes op ad en lodret væg med et vandret gulv, og den ene ende af stigen glider langs væggen (berører den hele tiden) og den anden ende af stigen glider langs gulvet ( hele tiden ved at røre ved den), så vil et hvilket som helst fast punkt på stigen (ikke ved dens ender) bevæge sig langs buen af en ellipse. Denne egenskab forbliver sand, hvis vi tager et punkt ikke inde i stigesegmentet, men på dets tænkelige fortsættelse. Den sidste egenskab bruges i -ellipsografien beskrevet ovenfor .

En tangent, der går gennem et punkt, der tilhører en ellipse, har følgende ligning: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Opbygning af en ellipse

Værktøjerne til at tegne en ellipse er:

trammel
to nåle stukket ind i ellipsens brændpunkter og forbundet med en tråd af længden 2 a , som trækkes med en blyant. Metoden blev opfundet af James Maxwell i en alder af 14 og, da hans far spurgte til Royal Society of Edinburgh, viste den sig at være hidtil ukendt [7] .

Ved at bruge et kompas eller et kompas og en straightedge kan du konstruere et hvilket som helst antal punkter, der hører til en ellipse, men ikke hele ellipsen.

Ellipser forbundet med en trekant

Brokars ellipse - en ellipse med foci ved Brocards punkter
Ellipse Mandart
Ellipse Steiner

Se også

Kommentarer

↑ Hvis der på højre side er en enhed med et minustegn, så er den resulterende ligning ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$ beskriver en imaginær ellipse, den har ingen punkter på det virkelige plan.

Noter

↑ Ivory J. En ny serie til korrigering af ellipsen // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. - 1798. - Bd. 4 . - S. 177-190 . - doi : 10.1017/s0080456800030817 .
↑ Bessel FW Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (tysk) // Astron. Nachr. . - 1825. - Bd. 4 . - S. 241-254 . - doi : 10.1002/asna.18260041601 . - . På engelsk oversat: Bessel FW Beregningen af længde- og breddegrad fra geodætiske målinger (1825 ) // Astron. Nachr. . - 2010. - Bd. 331 . - s. 852-861 . - doi : 10.1002/asna.201011352 . - arXiv : 0908.1824 .
↑ Adlaj S. En veltalende formel for omkredsen af en ellipse // Meddelelser om AMS . - 2012. - Bd. 76 , udg. 8 . - S. 1094-1099 . - doi : 10.1090/noti879 .
↑ Korn, 1978 , s. 68.
↑ Feyesh Toth L. Kapitel II, §§ 4, 6 // Arrangementer på flyet, på sfæren og i rummet . - M. : Fizmatgiz, 1958. - 364 s. (Russisk)
↑ Allaire PR, Zhou J., Yao H. Beviser en ellipseidentitet fra det nittende århundrede // Mathematical Gazette. - 2012. - Bd. 96 , nr. 535 . - S. 161-165 .
↑ Kartsev V.P. Maxwell. - M .: Young Guard, 1974. (Serie "Life of Remarkable People"). s. 26-28.

Litteratur

Korn G., Korn T. Egenskaber for cirkler, ellipser, hyperbler og parabler // Håndbog i matematik. - 4. udgave. - M . : Nauka, 1978. - S. 70-73.
Selivanov D. F. Ellipse // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky Geometriske egenskaber for kurver af anden orden, - M.: MTSNMO , 2007. - 136 s.
I. Bronstein . Ellipse // Kvant , nr. 9, 1970.
A. I. Markushevich. Bemærkelsesværdige kurver // " Populære forelæsninger om matematik ", nummer 4.

Links

S. Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Gennemgang af kendte formler
Grand P. Michon . Perimeter of an Ellipse (Endelige svar) (engelsk) , 2000-2005. — 20. kl.
Video: Sådan tegner du en ellipse

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Great Soviet (1 udg.) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 11981967h GND : 4194779-4 J9U : 987007540845005171 LCCN : sh85042604

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Keglesnit
Hovedtyper	Ellipse Hyperbel Parabel
Degenereret	Prik Lige Par lige linjer
Et særligt tilfælde af en ellipse	Cirkel
Geometrisk konstruktion	keglesnit Mælkebær-bolde Steiners design
se også	Konisk konstant
Matematik • Geometri