Vinkelrette

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. maj 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Perpendicularitet (fra lat. perpendicularis - bogstaveligt talt lod) [1] - et binært forhold mellem forskellige objekter ( vektorer , linjer , underrum osv.).

Der er et generelt accepteret symbol for vinkelrethed: ⊥, foreslået i 1634 af den franske matematiker Pierre Erigon . For eksempel er vinkelret på linjer og skrevet som . $m$ $n$ $m\perp n$

På flyet

Vinkelrette linjer i planet

To rette linjer i en plan kaldes vinkelrette, hvis de danner 4 rette vinkler , når de skærer hinanden .

Om en linje vinkelret på en linje trukket gennem et punkt uden for linjen siger de, at der er en vinkelret faldet fra til . Hvis punktet ligger på linjen , så siger de, at der er en vinkelret på gendannet fra til (det forældede udtryk gendannet [2] ). $m$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$

I koordinater

I et analytisk udtryk, rette linjer givet af lineære funktioner

y=a\cdot x+b

y=k\cdot x+m

vil være vinkelret, hvis følgende betingelse på deres skråninger er opfyldt

a\cdot k=-1.

Konstruktion af en vinkelret

Trin 1: Brug et kompas til at tegne en halvcirkel centreret i punktet P , og få punkterne A og B.

Trin 2: Uden at ændre radius, konstruer to halvcirkler centreret i henholdsvis punkt A og B , der går gennem punkt P. Ud over punktet P er der et andet skæringspunkt for disse halvcirkler, lad os kalde det Q .

Trin 3: Forbind punkterne P og Q. PQ er vinkelret på linje AB .

Koordinaterne for basispunktet for vinkelret på linjen

Lad linjen være givet af punkterne og . En vinkelret går ned fra punktet til linjen . Så kan bunden af vinkelret findes som følger. $A(x_a,y_a)$ $B(x_b,y_b)$ $P(x_p,y_p)$ $O(x_o,y_o)$

Hvis (lodret), så og . Hvis (vandret), så og . $x_a = x_b$ $x_o = x_a$ $y_o = y_p$ $y_a = y_b$ $x_o = x_p$ $y_o = y_a$

I alle andre tilfælde:

x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b -y_a)^2+(x_b-x_a)^2}

;

y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p

I 3D-rum

Vinkelrette linjer

To linjer i rummet er vinkelrette på hinanden, hvis de er henholdsvis parallelle med nogle andre to indbyrdes vinkelrette linjer, der ligger i samme plan. To linjer, der ligger i samme plan, kaldes vinkelrette (eller indbyrdes vinkelrette), hvis de danner fire rette vinkler.

En linjes vinkelrethed på et plan

Definition : En linje kaldes vinkelret på en plan, hvis den er vinkelret på alle linjer, der ligger i denne plan.

Tegn : Hvis en linje er vinkelret på to skærende linjer i en plan, så er den vinkelret på denne plan.

Et plan vinkelret på en af to parallelle linjer er også vinkelret på den anden. Gennem ethvert punkt i rummet går der en lige linje vinkelret på et givet plan, og desuden kun én.

Vinkelrette planer

To planer siges at være vinkelrette, hvis den dihedriske vinkel mellem dem er 90°.

Hvis et plan passerer gennem en linje vinkelret på et andet plan, så er disse planer vinkelrette.
Hvis der fra et punkt, der hører til et af to vinkelrette planer, trækkes en vinkelret til det andet plan, så ligger denne vinkelret helt i det første plan.
Hvis vi i et af to vinkelrette planer tegner en vinkelret på deres skæringslinje, så vil denne vinkelrette være vinkelret på det andet plan.
Et plan vinkelret på to skærende planer er vinkelret på deres skæringslinje [3] .

I flerdimensionelle rum

Vinkelrette planer i 4-dimensionelt rum

Perpendikulæriteten af planer i det firedimensionale rum har to betydninger: Planer kan være vinkelrette i 3-dimensionel forstand, hvis de skærer hinanden i en ret linje (og derfor ligger i samme hyperplan ), og den dihedrale vinkel mellem dem er 90°.

Planer kan også være vinkelrette i 4-dimensionel forstand, hvis de skærer hinanden i et punkt (og derfor ikke ligger i samme hyperplan), og eventuelle 2 linjer tegnet i disse planer gennem deres skæringspunkt (hver linje i sit eget plan) er vinkelret.

I 4-dimensionelt rum kan nøjagtigt 2 indbyrdes vinkelrette planer i 4-dimensional forstand trækkes gennem et givet punkt (derfor kan 4-dimensionelt euklidisk rum repræsenteres som et kartesisk produkt af to planer). Hvis vi kombinerer begge typer vinkelret, så gennem dette punkt er det muligt at tegne 6 indbyrdes vinkelrette planer (vinkelret i enhver af de to ovennævnte værdier).

Eksistensen af seks indbyrdes vinkelrette planer kan forklares med følgende eksempel. Lad systemet af kartesiske koordinater x yzt være givet . For hvert par koordinatlinjer er der et plan, der inkluderer disse to linjer. Antallet af sådanne par er : xy , xz , xt , yz , yt , zt , og de svarer til 6 planer. De af disse planer, der inkluderer aksen af samme navn, er vinkelrette i den 3-dimensionelle betydning og skærer i en ret linje (f.eks. xy og xz , yz og zt ), og dem, der ikke inkluderer akserne af samme navn er vinkelrette i 4-dimensional betydning og skærer hinanden i punkt (for eksempel xy og zt , yz og xt ). $\tbinom{4}{2}=6$

Vinkelrethed af en linje og et hyperplan

Lad et n-dimensionelt euklidisk rum (n>2) og det dertil knyttede vektorrum være givet , og linjen l med det vejledende vektorrum og hyperplanet med det vejledende vektorrum (hvor , ) hører til rummet . $\mathbb {R} ^{n}$ $W^n$ $L^1$ $\Pi_{k}$ $L^{k}$ $L_1\undersæt W^n$ $L^k \delmængde W^n,\ k < n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Linjen l kaldes vinkelret på hyperplanet , hvis underrummet er ortogonalt i forhold til underrummet , dvs. $\Pi_{k}$ $L_{1}$ $L^{k}$ $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

Variationer og generaliseringer

I teorien om inversion introduceres: en cirkel eller en ret linje, vinkelret på cirklen . $\Gamma$
I teorien om cirkler og inversion siges to cirkler, der skærer hinanden i rette vinkler , at være ortogonale ( vinkelrette ). Cirkler kan betragtes som ortogonale , hvis de danner en ret vinkel med hinanden. Normalt er vinklen mellem kurver vinklen mellem deres tangenter tegnet ved deres skæringspunkt.
I inversionsteori er en linje vinkelret på en cirkel, hvis den passerer gennem midten af sidstnævnte. $\Gamma$

Se også

Noter

↑ Ordbog over fremmede ord. - M .: " Russisk sprog ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ A. P. Kiselev . Elementær geometri / redigeret af N. A. Glagolev . - 1938.
↑ Alexandrov A.D. , Werner A.L., Ryzhik V.I. Stereometri. Geometri i rummet . - Visaginas: Alfa, 1998. - S. 46 . — 576 s. - (Studentbibliotek). — ISBN 9986582539 .