Cissoid

En cissoid er en kurve skabt ud fra to givne kurver C 1 , C 2 omkring punktet O ( pol ). Lad L være en linje, der går gennem O og skærer C 1 ved P 1 og C 2 ved P 2 . Lad P være et punkt på L , således at OP = P 1 P 2 (faktisk er der to sådanne punkter, men P er valgt således, at P er i samme retning fraO som P2 fra P1 ) . _ Sættet af sådanne punkter P kaldes cissoidet af kurver C 1 , C 2 med hensyn til O .

Lidt forskellige, men i det væsentlige ækvivalente definitioner kan findes hos forskellige forfattere. For eksempel kan P defineres ved et punkt, således at OP = OP 1 + OP 2 . Denne definition er ækvivalent med den ovenfor, hvis C 1 erstattes af dens refleksion med hensyn til O . Det er også muligt at definere P som midten af P 1 og P 2 . Denne kurve falder sammen med kurven fra den tidligere definition med en lighedsfaktor på 1/2.

Ordet "cissoid" kommer fra det græske sprog - kissoeidēs "like vedbend " - fra kissos "vedbend" og oeidēs "lignende".

Ligninger

Hvis C 1 og C 2 er givet i polære koordinater af henholdsvis funktionerne og , så definerer ligningen cissoiden af C 1 og C 2 med hensyn til oprindelsen. Et punkt kan dog repræsenteres på forskellige måder i polære koordinater, så der kan være andre grene af cissoidet med andre ligninger. Især kan C1 defineres som $r=f_{1}(\theta )$ $r=f_{2}(\theta )$ $r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )$

r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ), \ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots

Således er cissoiden foreningen af kurverne givet af ligningerne

r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r= f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\

r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots

Nogle af disse ligninger vil føre til gentagne kurver og kan udelades.

Lad for eksempel C 1 og C 2 være ellipser

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}

Den første gren af cissoidet er givet af ligningen

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0

det vil sige, at denne gren er et enkelt punkt - oprindelsen. Ellipsen er også givet af ligningen

r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}

så den anden gren af cissoiden er givet ved ligningen: , og denne kurve har form som en oval. $r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}$

Hvis C 1 og C 2 er givet ved de parametriske ligninger

x=f_{1}(p),\ y=px

x=f_{2}(p),\ y=px

så er cissoidet i forhold til oprindelsen givet ved ligningen :. $x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px$

Særlige lejligheder

Hvis C 1 er en cirkel centreret ved O , så er cissoidet en conchoid af C 2 .

Hvis C 1 og C 2 er to parallelle linjer, så er deres cissoid den tredje linje parallel med disse to.

Hyperbler

Lad C 1 og C 2 være to ikke-parallelle linjer og lad O være oprindelsen. Lad C 1 og C 2 være givet i polære koordinater ved ligningerne

r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}

r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}

Vi kan rotere med en vinkel , så vi kan antage, at . Så er cissoiden C 1 og C 2 i forhold til oprindelsen givet ved ligningen $(\alpha _{1}-\alpha _{2})/2$ $\alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha$

r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )))-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )))

={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\ theta-\alpha )}}

={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}

Betegner konstante udtryk, får vi

r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}

som i kartesiske koordinater bliver

x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy

Denne formel definerer en hyperbel, der passerer gennem oprindelsen. Således er cissoiden af to ikke-parallelle linjer en hyperbel, der passerer gennem polen. Lignende ræsonnement viser, omvendt, at enhver hyperbel er en cissoid af to ikke-parallelle linjer med hensyn til ethvert punkt på hyperbelen.

Zaradniks cissoids

Zaradniks cissoid (opkaldt efter Karel Zaradnik ) er defineret som cissoidet af et keglesnit og en linje i forhold til ethvert punkt på sektionen. Disse cissoider danner en bred familie af rationelle kubiske kurver, hvoraf nogle er velkendte. I særdeleshed:

Maclaurin trisectrix , givet ved formlen

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

er cissoidet af en cirkel og en streg om oprindelsen.

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

x={-{a \over 2}}

Højre strophoid

y^{2}(a+x)=x^{2}(ax)

er cissoidet af en cirkel og en streg om oprindelsen.

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

x=-a

Cissoid af Diocles

x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0

er cissoidet af en cirkel og en streg om oprindelsen. Faktisk er dette den kurve, som familien er opkaldt fra, og nogle forfattere omtaler den blot som en cissoid.

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

x=-2a

Cissoid af en cirkel og en ret linje , hvor k er en parameter. Cissoiden kaldes Sluze conchoid ( disse kurver er ikke rigtige conchoider). Denne familie inkluderer de tidligere eksempler. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))$ $x=ka$

Kartesisk ark

x^{3}+y^{3}=3axy

er ellipsens cissoid og en ret linje i forhold til oprindelsen. For at vise dette bemærker vi, at linjen kan defineres som

x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)

x+y=-a

x=-{\frac {a}{1+p)),\ y=px

, og ellipsen kan gives som

x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px

. Så cissoiden er givet af ligningen

x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{ 1+p^{3}}},\ y=px

og denne ligning er det parametriske bladhandicap.

Se også

Litteratur

Savelov A.A. Flade kurver. Systematik, egenskaber, anvendelser (Referenceguide). - Moskva: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1960. - 293 s.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Håndbog i teorien om plankurver af tredje orden. - Moskva: Fizmatgiz, 1961. - 263 s.
J. Dennis Lawrence. Et katalog over specielle plankurver . - Dover Publications, 1972. - S. 53-56 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 s.

Links

Weisstein, Eric W. Cissoid (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
CA Nelson "Note om rationelle plane kubikker" Bull. amer. Matematik. soc. Bind 32, nummer 1 (1926), 71-76.
2D kurver
"Courbe Cissoïdale" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (på fransk)
"Cissoïdales de Zahradnik" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (på fransk)

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe