Peano Curve

En Peano-kurve  er en generel betegnelse for parametriske kurver , hvis billede indeholder en firkant (eller mere generelt åbne områder af rummet). Et andet navn er en rumudfyldende kurve .

Opkaldt efter Giuseppe Peano (1858-1932), opdageren af ​​denne slags kurver, i en særlig forstand er Peano-kurven navnet på den specifikke kurve, som Peano fandt.

Definition

Intuitivt kan en kontinuert kurve i dimensionerne 2 eller 3 (eller højere) forstås som den sti, der gennemløbes af et kontinuerligt bevægende punkt. For at eliminere den iboende usikkerhed ved denne forståelse foreslog Jordan i 1887 følgende definition, som siden er blevet accepteret som den nøjagtige definition af en kontinuerlig kurve :

En kurve (med endepunkter) er en kontinuerlig mapping , hvis domæne er enhedssegmentet [0, 1].

I sin mest generelle form kan domænet for en sådan kortlægning ligge i et vilkårligt topologisk rum , men i de fleste af de undersøgte tilfælde ligger domænet i et euklidisk rum , såsom et todimensionalt plan ( plan kurve ) eller en tre- dimensionelt rum ( rumkurve ).

Nogle gange identificeres kurven med kortlægningens område (sættet af alle mulige kortlægningsværdier) og ikke med den faktiske funktion. Man kan også definere en kurve uden endepunkter som en kontinuerlig funktion på den reelle linje (eller på det åbne interval (0, 1)).

Historie

I 1890 opdagede Peano en kontinuerlig kurve, nu kaldet Peano-kurven, som passerer gennem et hvilket som helst punkt på enhedskvadraten [1] . Hans mål var at konstruere en kontinuerlig kortlægning fra enhedssegmentet til enhedspladsen . Det var Georg Cantors tidligere uventede resultat, at sættet af punkter i et enhedsinterval har samme kardinalitet som sættet af punkter i enhver finitdimensional manifold , især enhedskvadraten , der foranledigede undersøgelsen af ​​Peanos problem . Problemet, som Peano løste, var spørgsmålet - kan en sådan kortlægning være kontinuerlig, det vil sige, kan en kurve fylde rummet. Peanos løsning etablerer ikke en kontinuerlig en -til-en mapping mellem enhedsintervallet og enhedskvadraten, og desuden eksisterer en sådan mapping ikke (se nedenfor).

Det var generelt accepteret at forbinde den tågede forestilling om tykkelse og endimensionalitet med en kurve. Alle almindeligt forekommende kurver var stykkevis differentiable (dvs. havde stykkevis kontinuerlige afledte), og sådanne kurver kan ikke fylde hele enhedskvadraten. Den rumfyldende Peano-kurve blev således opfattet som i strid med sund fornuft.

Fra Peanos eksempel er det let at udlede kontinuerte kurver, der fylder en n - dimensional hyperkube (for ethvert positivt heltal n ). Det var også nemt at udvide Peanos eksempel til kurver uden start- eller slutpunkt, og disse kurver fylder hele det n -dimensionelle euklidiske rum (hvor n er 2, 3 eller ethvert andet positivt heltal).

De fleste af de velkendte rumudfyldende kurver er konstrueret iterativt som grænsen for en sekvens af stykkevis lineære kontinuerlige kurver, der nærmer sig den rumfyldende kurve ved hvert trin.

Peanos revolutionære papir indeholdt ingen illustration af konstruktionen, som blev defineret i form af ternære udvidelser og spejling . Den grafiske konstruktion var dog tydelig for ham - han lavede et ornament, der afspejler konstruktionen af ​​kurven på hans hus i Torino. I slutningen af ​​artiklen bemærkede Peano, at teknikken kunne udvides til andre ulige baser, ikke kun til base 3. Hans valg om at undgå enhver grafisk visualisering var uden tvivl drevet af ønsket om at levere et solidt, perfekt strengt bevis, der gjorde ikke stole på nogen tegninger. På det tidspunkt (begyndelsen af ​​forskning i generel topologi) indgik ofte grafiske argumenter i beviset, men ofte fungerede de som en hindring for at forstå resultaterne, der modsige sund fornuft.

Et år senere publicerede David Hilbert i samme tidsskrift en anden version af Peano-konstruktionen [2] . Hilberts papir var det første til at inkludere en tegning for at hjælpe med at introducere byggeteknikken. I det væsentlige var det den samme tegning som vist her. Den analytiske form af Hilbert-kurven er imidlertid væsentligt mere kompliceret end Peanos.

Egenskaber

hvor de to første funktioner definerer Peano-kurven. Selvom denne bue kan beskytte mod lodret sollys, kan den ikke beskytte mod regn, fordi den ikke er en sammenhængende overflade.

Integration

Wiener påpegede, at en rumudfyldende kurve kunne bruges til at reducere Lebesgue-integration i høje dimensioner til Lebesgue-integration på et linjesegment.

Eksempler

Analytisk konstruktion [3] .

Overvej funktionerne og defineret på intervallet som følger. Lad nedbrydningen i det ternære talsystem have formen (hver af er lig med 0, 1 eller 2). Så definerer vi som et tal med følgende dekomponering i det ternære system:



, hvis lige, og , hvis ulige , hvis lige


, hvis ulige

På lignende måde definerer vi en funktion i det ternære talsystem:

, hvis lige, og , hvis ulige , hvis lige , hvis ulige


Overvej nu kortlægningen: . Det kan bevises, at:

1. Funktionerne og er veldefinerede (det vil sige i tal, der tillader 2 repræsentationer i det ternære talsystem, vil værdierne og vise sig at være uafhængige af valget af repræsentation).

2. Funktionerne og er kontinuerlige på .

3. Ligningssystemet og har mindst 1 og højst 4 løsninger for enhver og liggende på intervallet .

Afbildningen med koordinatfunktioner og på planet kvadrerer således segmentet kontinuerligt .

Geometrisk konstruktion.

Overvej et enhedssegment og et enhedskvadrat. På 1. konstruktionstrin vil vi opdele firkanten med midterste linjer i 4 lige store firkanter, og segmentet i 4 lige store dele. Vi får firkanter og segmenter af 1. niveau. Ved hvert efterfølgende trin opdeler vi firkanterne og segmenterne på det forrige niveau i 4 dele - vi får firkanterne og segmenterne på det næste niveau. Vi har 4 felter på 1. niveau, 16 felter af 2. niveau osv.; det samme med nedskæringer. Lad os indstille rækkefølgen for at omgå firkanterne på hvert niveau. For 1., 2., ..., 6. niveau er bypass-rækkefølgen vist på figuren. Gennemløbsrækkefølgen definerer en en-til-en overensstemmelse mellem sættet af kvadrater på det n -te niveau og sættet af segmenter på det n -te niveau.

Lad nu  være et vilkårligt punkt i det oprindelige enhedssegment. Lad være  nummeret på segmentet på det 1. niveau, som punktet hører til ,  være nummeret på segmentet på det 2. niveau, som punktet hører til , osv. Overvej firkanter med de samme tal . Rækkefølgen, hvori firkanterne krydses, er arrangeret på en sådan måde, at (opmærksom!) firkanterne danner et indlejret system. Ifølge den indlejrede (sammentrækkende) system af segmenter-sætning har firkanter et enkelt fælles punkt .

Hvis det hører til 2 segmenter samtidigt, svarer disse segmenter til 2 firkanter med en fælles side - sådan er bypass-rækkefølgen arrangeret. Vi kalder sådanne firkanter tilstødende. I dette tilfælde skal du overveje rektangler i stedet for kvadrater – kombinationer af tilstødende kvadrater. Og så  - det eneste fælles punkt i det indlejrede system af disse rektangler.

Lignende ræsonnement viser, at hvert punkt i kvadratet vil svare til et eller andet punkt i enhedssegmentet.

Den konstruerede mapping bestemmer den ønskede Peano-kurve. Kontinuiteten i visningen følger af, at tætte segmenter svarer til tætte firkanter. Hvert punkt har:

Kurverne, der angiver rækkefølgen af ​​at gå rundt om firkanterne, er successive tilnærmelser til Peano-kurven. Peano-kurven er grænsen for disse kurver.

Den væsentligste forskel mellem Peano-kurven og Hilberts fortolkning er, at det oprindelige enhedskvadrat ikke er opdelt i 4, men i 9 dele, hver med sidestørrelserne 3 -n x3 -n , hvor n er iterationstallet [4] .

Variationer og generaliseringer

Hvis  er et kontinuum , er følgende betingelser ækvivalente:

  1. rummet er lokalt forbundet,
  2.  er det kontinuerlige billede af intervallet.

Et ikke-tomt Hausdorff topologisk rum er billedet af et enhedsinterval, hvis og kun hvis det er kompakt, forbundet , lokalt forbundet , og det andet tællelighedsaksiom gælder for det .

Mellemrum, der er det kontinuerlige billede af enhedsintervallet, kaldes nogle gange Peano-rum . I mange formuleringer af Hahn-Mazurkiewicz-sætningen er opfyldelsen af ​​det andet tælleaksiom erstattet af begrebet metrizable . Disse to formuleringer er ækvivalente. I den ene retning er et kompakt Hausdorff-rum et normalt rum , og ved Urysohns metrizabilitetsteorem indebærer opfyldelsen af ​​det andet tællelighedsaksiom metrizabilitet. I den modsatte retning gælder det andet tælleaksiom for et kompakt metrisk rum .

Noter

  1. Peano, 1890 , s. 157.
  2. Hilbert, 1891 .
  3. Ideen er taget fra bogen: Makarov B. M., Goluzina M. G., Lodkin A. A., Podkorytov A. N. Udvalgte problemer i reel analyse. - M . : Nauka, 1992. - S. 44.
  4. Slyusar, V. Fractal Antennas. En fundamentalt ny type "knækkede" antenner. Del 2. . Elektronik: videnskab, teknologi, forretning. - 2007. - Nr. 6. S. 82-89. (2007). Hentet 22. april 2020. Arkiveret fra originalen 3. april 2018.
  5. Cannon, Thurston, 2007 .

Litteratur

Links

Java-applets på Cut-the-Knot- siden :