Enhedscirkel

Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 centreret ved origo [1] . Dette koncept er meget brugt til at definere og studere trigonometriske funktioner .

Egenskaber og relaterede begreber

Det indre af enhedscirklen kaldes enhedscirklen .

For koordinaterne for alle punkter på enhedscirklen gælder ifølge Pythagoras sætning ligheden . Denne lighed kan ses som ligningen for enhedscirklen. $x^2 + y^2 = 1$

Trigonometriske funktioner

Ved hjælp af enhedscirklen kan trigonometriske funktioner tydeligt beskrives (i sammenhæng med en sådan beskrivelse kaldes enhedscirklen nogle gange for den " trigonometriske cirkel ", hvilket ikke er særlig vellykket, da det er cirklen, der betragtes, og ikke cirklen ).

Sinus og cosinus kan beskrives som følger: Hvis du forbinder et hvilket som helst punkt på enhedscirklen med origo , får du et segment, der er i en vinkel i forhold til abscissens positive halvakse. Så får vi [2] : $(x, y)$ $(0, 0)$ $\alfa$

\cos\alpha = x

\sin\alpha = y

Ved at erstatte disse værdier i cirkelligningen får vi: $x^2 + y^2 = 1$

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(Der bruges følgende almindelige notation: .) $\cos^2x = (\cos x)^2$

Periodiciteten af trigonometriske funktioner er også tydeligt beskrevet, da positionen af segmentet svarende til vinklen ikke afhænger af antallet af "fulde omdrejninger":

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

for alle heltal , det vil sige for . $k$ $k\in \mathbb Z$

Kompleks plan

I det komplekse plan er enhedscirklen mængden af komplekse tal, hvis modul er 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Ethvert ikke-nul komplekst tal kan entydigt skrives som hvor tallet har modul 1 og derfor hører til enhedscirklen, $z$ $z=|z|u,$ $u$

Mængden er en undergruppe af gruppen af komplekse tal ved multiplikation. Til gengæld indeholder endelige grupper af rødder af den -th grad af enhed , vigtig i algebra, som danner hjørnerne af en regulær -gon langs enhedscirklen. $G$ $G$ $n$ $n$

Radianmål

Radianmålet for en vinkel kan defineres som længden af den bue, som en given vinkel skærer ud af en enhedscirkel (cirklens centrum falder sammen med vinklens toppunkt) [3] .

Variationer og generaliseringer

Begrebet en enhedscirkel er generaliseret til -dimensionelt rum ( ), i hvilket tilfælde man taler om en " enhedssfære ". $n$ $n>2$

Noter

↑ Mathworld .
↑ Gelfand et al., 2002 , s. 24-27.
↑ Gelfand et al., 2002 , s. 7-8.

Litteratur

Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometry . - M. : MTSNMO, 2002. - 199 s. — ISBN 5-94057-050-X .

Links

Weisstein, Eric W. Unit Circle (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater