Quadratrix

Quadratrix  er en plan transcendental kurve , defineret kinematisk . Det blev foreslået i oldtiden (5. århundrede f.Kr.) for at løse problemer med at kvadrere en cirkel og tredele en vinkel . Quadritrixen blev den første transcendentale kurve i matematik [1] .

Definition

Den kinematiske definition af en kvadratisk er som følger: overvej et kvadrat (fig. 1), hvori en sektor på en fjerdedel af en cirkel er indskrevet. Lad punktet bevæge sig ensartet langs buen fra punkt til punkt ; samtidig bevæger segmentet sig ensartet fra position til position . Endelig kræver vi, at begge bevægelser starter og slutter på samme tid. Så vil skæringspunktet for radius og segmentet beskrive kvadratisk (se figur 1 og 2, fremhævet med rødt).

Gamle matematikere var fordomme over for de kinematiske definitioner af kurver, idet de betragtede dem som uværdige til geometrisk videnskab. Derfor foreslog de to andre definitioner, der ikke bruger begrebet mekanisk bevægelse; disse definitioner er givet i Pappus af Alexandrias skrifter og repræsenterer firkanten som en projektion af nogle kurver forbundet med en helix eller spiral af Arkimedes [2] . Disse konstruktioner er ret komplicerede og bruges ikke i praksis.

I moderne tid blev andre konstruktioner opdaget, hvor en kvadratisk optræder; overveje for eksempel skæringspunktet mellem en spole af en helicoide med et plan, der indeholder denne overflades akse. Så er projektionen af ​​skæringslinjen på et plan vinkelret på aksen en gren af ​​kvadratisk [3] .

Historie

Den første omtale af quadratrixen blev gjort af Pappus af Alexandria [4] og Iamblichus i slutningen af ​​det 3. århundrede. Papp gav også en detaljeret beskrivelse af metoderne til dens konstruktion. Kurven blev ifølge Proclus Diadochus opdaget af sofisten Hippias i det 5. århundrede f.Kr. e. og blev brugt af ham til at løse problemet med tredeling af en vinkel . Et andet gammelt geometer, Dinostratus , udført i det 4. århundrede f.Kr. e. undersøgelse af denne kurve og viste, at den også giver en løsning på cirkelkvadreringsproblemet . I kilderne kaldes denne kurve for "Dinostratus quadritrix" eller "Hippias quadritrix" [5] .

Papp skriver, at matematikeren fra det 3. århundrede fra den nikenske kontrovers rejste to alvorlige indvendinger mod brugen af ​​en firkant til at kvadrere en cirkel, som Papp er helt enig i [6] :

1. Det er umuligt præcist at koordinere bevægelsen af ​​segmenterne BC og AB, hvis du ikke på forhånd kender forholdet mellem længden af ​​buen af ​​en kvart cirkel og radius, så en ond cirkel opnås .
2. Punktet K kan ikke konstrueres, fordi segmentet og radius i det tilsvarende tidspunkt falder sammen. I moderne terminologi er punktet K grænsen for quadritrixens punkter - et begreb fremmed for oldtidens matematik.

I moderne tid blev kurven udforsket af Roberval (1636), Fermat , Barrow (1670) og andre kendte matematikere. Descartes viede mange sider til studiet af kvadratisk i sin " Geometri " (1637) [7] . Newton i 1676 bestemte længden af ​​quadritrix-buen, dens krumning og arealet af dens segment i form af en serie , og angav også metoden til at tegne tangenter [8] .

Kurveligninger

• I polære koordinater :

Konklusion

Lad være  radius af cirklen,  være den aktuelle vinkel , og være den  polære radius. For nemheds skyld introducerer vi tid , som ændres fra 0 til 1 i løbet af bevægelsesperioden. Derefter kan den ensartede bevægelse af et punkt langs en længdebue udtrykkes med ligningen: Den ensartede bevægelse af segmentet er udtrykt ved ligningen: Ved at erstatte værdien fra den første ligning med den anden, får vi endelig:

• I rektangulære koordinater :

Konklusion
Vi bringer ligningen i polære koordinater til formen: I betragtning af , får vi Af geometriske årsager: . Så vil ligningen se sådan ud: Vi tager tangenten fra begge dele: det er

Hovedejendom

Den andengradsligning i polære koordinater kan skrives som:

Dette indebærer hovedegenskaben for denne kurve [9] :

En quadratrix er den eneste (ikke-degenererede) kurve i den første koordinatkvadrant, der har denne egenskab (det er let at bevise dette ved at gentage ovenstående ræsonnement i omvendt rækkefølge).

Andre egenskaber

Det kvadratiske segmentareal bestemmes af formlen [3] :

Ansøgning

Vinkel tresnit

Vinkeltrisektion , det vil sige opdelingen af ​​en vilkårlig vinkel i tre lige store dele, ved hjælp af en kvadratisk, udføres elementært. Lad (fig. 1) være en bestemt vinkel, hvoraf en tredjedel skal konstrueres. Divisionsalgoritmen er som følger:

1. Vi finder et punkt på firkanten og dens ordinat .
2. Afsæt sin tredje del på segmentet; få noget point .
3. Vi finder et punkt med ordinat på firkanten .
4. Vi passerer strålen . Vinklen  er ønsket.

Beviset for denne algoritme følger umiddelbart af quadritrixens hovedegenskab. Det er også indlysende, at det på lignende måde er muligt at opdele vinklen ikke kun i tre, men også i et hvilket som helst andet antal dele [10] .

Kvadring af en cirkel

Problemet med at kvadrere en cirkel er stillet som følger: konstruer et kvadrat med samme areal som en given cirkel med radius . Algebraisk betyder dette løsning af ligningen :.

Lad os konstruere en kvadratisk for den indledende cirkel, som i fig. 1. Ved at bruge den første bemærkelsesværdige grænse , opnår vi, at abscissen af ​​dets nedre punkt (i fig. 3 er dette segmentet ) er lig med . Vi udtrykker dette som en proportion: , hvor  er cirklens omkreds. Ovenstående relation giver dig mulighed for at konstruere et længdesegment . Et rektangel med sider vil have det ønskede areal, og at bygge et kvadrat med lige areal er en simpel sag, se artiklen Kvadratur (matematik) eller fig. 3.

Variationer

Ud over Dinostratus-kvadraturen, der er omtalt ovenfor, er der en række andre kurver, som kan bruges til at kvadraturere en cirkel, og de kaldes derfor også kvadricer [3] .

• Quadratrix af Chirnhaus (eller Chirnhausen), affiner til den sædvanlige sinusoide [11] :

• Ozanams quadritrix :

• Cochleoid [11] med polær ligning .

Derudover foretrækker en række forfattere at bytte x og y i Dinostrat andengradsligningen [12] :

Denne mulighed ( fuld kvadratisk ) har den fordel, at funktionen er defineret på hele den reelle akse, undtagen for entalspunkter (Ved punktet defineres funktionen yderligere ved at gå til grænsen; se dens plot i fig. 4). I polære koordinater er den centrale gren af ​​denne version af kurven beskrevet med formlen [12] :

Denne kurve har et uendeligt antal grene, for hvilke de lodrette linjer i enkeltpunkter er asymptoter . Punkter i en kurve med en ordinat (bortset fra et punkt på y-aksen) er bøjningspunkter [12] .

Noter

1. ↑ Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af ​​den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I. - S. 84-85.
2. ↑ Prasolov V.V., 1992 , s. 58-61.
3. ↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , s. 230.
4. ↑ Pappus af Alexandria . Matematisk Samling, Bog IV, 30-34.
5. ↑ Savelov A. A., 1960 , s. 227.
6. ↑ Prasolov, 2018 , s. 71.
7. ↑ Prasolov V.V., 1992 , s. 61-62.
8. ↑ Isaac Newton. Matematiske værker / Oversættelse og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky . - M. - L. : ONTI, 1937. - S.  31 , 87-89, 99, 166, 227, 287. - 452 s. - (Klassikere af naturvidenskab).
9. ↑ Tre berømte antikkens problemer, 1963 , s. 34-35.
10. ↑ Tre berømte antikkens problemer, 1963 , s. 35-37.
11. ↑ 1 2 Vileitner G. Matematikkens historie fra Descartes til midten af ​​det 19. århundrede. - M. : GIFML, 1960. - S. 284. - 468 s.
12. ↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , s. 228.

Litteratur

• Zhukov A. V. "On the number π" Arkivkopi af 29. februar 2008 på Wayback Machine . M.: MTSNMO, 2002, 32 s ISBN 5-94057-030-5
• Prasolov VV Matematikkens historie, i to bind. - M. : MTSNMO , 2018. - T. 1. - 296 s. - ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9.
• Prasolov VV Tre klassiske konstruktionsproblemer. Fordobling af en terning, tredeling af en vinkel, firkant af en cirkel . — M .: Nauka, 1992. — 80 s. - ( Populære forelæsninger om matematik , hæfte 62).
• Proshletsova I. L. Om Dinostrats quadritrix // Historiske og matematiske undersøgelser . St. Petersborg: Forlaget for International Foundation for the History of Science. Problem. 35 (1994). s. 220-229.
• Savelov A. A. Plane Kurver: Systematik, Egenskaber, Anvendelser (Referencevejledning). - M. : Fizmatlit, 1960. - S. 227-230. — 293 s. Genudgivet i 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
• Chistyakov V.D. Tre berømte problemer fra antikken. - M . : Stat. uch.-ped. forlag under RSFSR's undervisningsministerium, 1963. - S. 33-37. — 96 s.
• Shchetnikov A. I. Hvordan blev nogle løsninger på tre klassiske problemer fra antikken fundet? // Matematisk uddannelse. - 2008. - Nr. 4 (48) . - S. 3-15 .
• Shchetnikov A.I. Hippias quadritrix og dens forbindelse med problemerne med tredeling af en vinkel og kvadraturen af ​​en cirkel  // Proceedings of the VIII International Kolmogorov Readings. - Yaroslavl: Publishing House of YaGPU, 2010. - S. 392 -396 . - ISBN 978-5-87555-630-2 .

Links

• Quadratrix of Hippias Arkiveret 4. februar 2012 på Wayback Machine i MacTutor-arkivet.  (Engelsk)
• Quadratrix af Hippias ved konvergens .  (Engelsk)