Apollonius' omkreds

Cirklen af Apollonius er stedet for punkter i planet, forholdet mellem afstandene, hvorfra til to givne punkter er en konstant værdi, ikke lig med en.

Bipolære koordinater er et ortogonalt koordinatsystem på et plan baseret på Apollonius' cirkler.

Definition

Lad to punkter og gives på flyet . Overvej alle punkter i dette plan, for hver af dem forholdet $EN$ $B$ $P$

k={\frac {PA}{PB}}

er et fast positivt tal. Når disse punkter fylder medianen vinkelret på segmentet ; i andre tilfælde er det angivne sted en cirkel kaldet Apollonius' omkreds . $k=1$ $AB$

Noter

Punkterne og kaldes fokus for Apollonius' cirkel. $EN$ $B$

Egenskaber

Radius af Apollonius' cirkel er $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.$
Linjestykket mellem et punkt på en cirkel og skæringspunktet for en cirkel med en linje er halveringspunktet for selve vinklen eller den vinkel, der støder op til den . $pc$ $AB$ $\angle APB$
Inversion om Apollonius' cirkel bytter punkter og steder. $EN$ $B$
Centrum af denne cirkel ligger på linjen, der forbinder disse to punkter.

Om beviser

Et af beviserne er baseret på egenskaben for de indre og ydre halveringslinjer i en trekant, nemlig at halveringslinjen deler den modsatte side i et forhold, der er proportionalt med siderne, der støder op til den. [en]
Der er et bevis baseret på inversionsegenskaben . [2]
Der er også et ret simpelt bevis ved direkte beregning i koordinater.

Ansøgninger

Anvendes ofte til analyse af konstruktioner med kompas og rette . Især er en af løsningerne på Brahmagupta-problemet baseret på konstruktionen af Apollonius-cirklen.

Cirklen af Apollonius finder anvendelse ved at løse rendezvous-problemet på et fly ved hjælp af strategien for parallel rendezvous .

Se også

Elliptiske koordinater

Det ligner definerede kurver
- Hyperbola - en kurve med konstant forskel i afstande mellem foci;
- Ellipse er en kurve med konstant sum af afstande mellem brændpunkter;
- Cassini oval er en kurve af konstant produkt af afstande mellem brændpunkter.

Noter

↑ § 228 , 1914-udgaven af Kiselevs Elementære Geometri .
↑ §124 "Geometries" af A. Yu. Davidov .