Kartesisk ark

Et kartesisk ark er en tredjeordens plan algebraisk kurve , der opfylder en ligning i et rektangulært system . Parameteren er defineret som diagonalen af et kvadrat, hvis side er lig med den største akkord i sløjfen. $x^{3}+y^{3}=3axy$ $3a$

Historie

For første gang blev kurvens ligning studeret af R. Descartes i 1638 , men han byggede kun en løkke i den første koordinatvinkel, hvor og tage positive værdier. Descartes mente, at løkken gentages symmetrisk i alle fire koordinatkvarterer i form af fire blomsterblade. På det tidspunkt blev denne kurve kaldt jasminblomsten ( engelsk jasminblomst , fransk fleur de jasmin ). $x$ $y$

I sin moderne form blev denne kurve først introduceret af H. Huygens i 1692 .

Ligninger

I et rektangulært system pr. definition:

\textstyle x^{3}+y^{3}=3akse.

I det polære system :

\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi )).

Parametrisk ligning i et rektangulært system:

{\begin{cases}x={\dfrac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\dfrac {3at^{2}}{1+t^{3}} }\end{cases}}

, hvor .

t=\operatørnavn {tg} \varphi

Anses ofte for drejet på en kurve. Hendes ligninger ser sådan ud: $135^{\cirkel }$

I et rektangulært system:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

, hvor

l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}.

Parametrisk:

x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1)),\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t ^{2}+1}}.

I polære koordinater:

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}.

Afledning af ligningerne for den roterede kurve
XOY-koordinatsystemet konverteres til UOV-koordinatsystemet, som opnås ved at dreje OX- og OY-akserne med uret med en vinkel og omorientere OX-aksen i den modsatte retning: $\alpha ={\frac {\pi }{4))$ ${\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}$ At udtrykke de gamle XY-koordinater i form af de nye UV'er ser sådan ud: $\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$ $\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$ , eller $\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ $\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ , Efter at have erstattet udtrykkene for de gamle koordinater gennem den nye ligning, konverteres det kartesiske ark til følgende form: $v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}$ . Vi indtaster parameteren , den sidste ligning vil blive omskrevet som følger: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ $v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))$ eller ${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u))))$ . Vi erstatter variablerne u og v med de sædvanlige x og y og får den kartesiske ark-ligning i det nye koordinatsystem: ${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))$ Ved at erstatte den foregående ligning med ligningen får vi den kartesiske arkligning i det polære koordinatsystem: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$ ${\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi ))))$ . Løser vi dette udtryk med hensyn til , får vi: $\rho$ $\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$ .

Afledning af ligningerne for den roterede kurve

XOY-koordinatsystemet konverteres til UOV-koordinatsystemet, som opnås ved at dreje OX- og OY-akserne med uret med en vinkel og omorientere OX-aksen i den modsatte retning:

\alpha ={\frac {\pi }{4))

{\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}

At udtrykke de gamle XY-koordinater i form af de nye UV'er ser sådan ud:

\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha

\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha

, eller

\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}

\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}

Efter at have erstattet udtrykkene for de gamle koordinater gennem den nye ligning, konverteres det kartesiske ark til følgende form:

v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}

Vi indtaster parameteren , den sidste ligning vil blive omskrevet som følger: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))

eller

{\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u))))

Vi erstatter variablerne u og v med de sædvanlige x og y og får den kartesiske ark-ligning i det nye koordinatsystem:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Ved at erstatte den foregående ligning med ligningen får vi den kartesiske arkligning i det polære koordinatsystem: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$

{\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi ))))

Løser vi dette udtryk med hensyn til , får vi: $\rho$

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}

Egenskaber

Den rette linje er symmetriaksen , dens ligning er: . $OA$ $y=x$
Punkt A kaldes toppunkt , dets koordinater er . $\left({\frac {3a}{2)),{\frac {3a}{2}}\right)$

For begge grene er der en asymptote , dens ligning er: . $UV$ $x+y+a=0$

Afledning af asymptoteligningen
For et roteret kartesisk ark: Når vi har $y=0$ $x=0$ eller , $\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ Overvej det andet tilfælde: , det vil sige , det vil sige betyder . $l+x=0$ $x=-l$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ UV-asymptoteligningen bestemmes ud fra udtrykket: $l-3x=0$ derfor, . $\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$ Efter at have drejet akserne til får vi den endelige ligning ${\displaystyle -135^{\circ ))$ $x+y+a=0$

Afledning af asymptoteligningen

For et roteret kartesisk ark:

Når vi har $y=0$

x=0

eller ,

\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0

Overvej det andet tilfælde: , det vil sige , det vil sige betyder . $l+x=0$ $x=-l$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

UV-asymptoteligningen bestemmes ud fra udtrykket:

l-3x=0

derfor, .

\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Efter at have drejet akserne til får vi den endelige ligning ${\displaystyle -135^{\circ ))$

x+y+a=0

Arealet af området mellem buerne og $ACO$ $ABO$ $\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$

At finde området $S_{1}$
Arealet indesluttet mellem buerne ACO og ABO beregnes som følger: ${\displaystyle S_{1))$ ${\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx$ , hvor . ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ Dette integral beregnes ved hjælp af substitutionen: $u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du$ . Integrationsgrænser: $x=-l\Højrepil \;u=4l,\qquad x=0\Højrepil \;u=l$ Integralet omdannes til formen: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du$ eller ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$ Det første integral fra denne ligning er: ${\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du$ . Udskiftning: $u=v^{2},\qquad du=2vdv$ . Integrationsgrænser: $u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))$ . Integralet omdannes til formen: ${\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=$ $={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\venstre[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg \|}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Andet integral: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \,du$ Udskiftning: $u=v+2l,\qquad du=dv$ . Integrationsgrænser: $u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l$ . Integralet omdannes til formen: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}- v^{2}}}\,dv=$ $=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\right)\right] {\Bigg \|}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Så: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Området er $S_{1}$ $S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$ .

At finde området

S_{1}

Arealet indesluttet mellem buerne ACO og ABO beregnes som følger:

{\displaystyle S_{1))

{\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx

, hvor .

{\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))

Dette integral beregnes ved hjælp af substitutionen:

u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du

Integrationsgrænser:

x=-l\Højrepil \;u=4l,\qquad x=0\Højrepil \;u=l

Integralet omdannes til formen:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du

eller

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du

Det første integral fra denne ligning er:

{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du

Udskiftning:

u=v^{2},\qquad du=2vdv

Integrationsgrænser:

u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))

Integralet omdannes til formen:

{\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=

={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\venstre[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg |}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]

Andet integral:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \,du

Udskiftning:

u=v+2l,\qquad du=dv

Integrationsgrænser:

u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l

Integralet omdannes til formen:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}- v^{2}}}\,dv=

=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\right)\right] {\Bigg |}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac {4}{3}}\pi \right]

Så:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\venstre[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]

Området er $S_{1}$

S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}

Arealet af området mellem asymptoten og kurven er lig med løkkens areal . $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$

At finde området $S_{2}$
Arealet mellem kurvens grene og UV-asymptoten beregnes på nøjagtig samme måde som arealet ; integralet tages i området fra 0 til . $S_{2}$ ${\displaystyle S_{1))$ $\textstyle {\frac {l}{3))$ ${\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx$ Dette integral beregnes på samme måde som i det foregående tilfælde. $S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$ , det vil sige arealerne og er lig med hinanden. ${\displaystyle S_{1))$ $S_{2}$

At finde området

S_{2}

Arealet mellem kurvens grene og UV-asymptoten beregnes på nøjagtig samme måde som arealet ; integralet tages i området fra 0 til .

S_{2}

{\displaystyle S_{1))

\textstyle {\frac {l}{3))

{\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx

Dette integral beregnes på samme måde som i det foregående tilfælde.

S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}

, det vil sige arealerne og er lig med hinanden.

{\displaystyle S_{1))

S_{2}

Kroppens volumen dannet ved drejning af buen omkring x-aksen $ACO$ $\textstyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$

Finde rotationsvolumen
Volumenet ( ) af legemet dannet af buens rotation omkring abscisseaksen beregnes som følger: $V_{1}$ $ACO$ $V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=$ $=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=$ $={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Så: $V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Det volumen ( ) af kroppen, der dannes ved rotation af en gren omkring x-aksen, har en tendens til uendelig. Dette volumen er beregnet ud fra det tidligere integral i området fra til . Dette integral er lig med uendelighed, dvs $V_{2}$ $0$ ${\frac {t}{3))$ $V_{2}=\infty$ .

Finde rotationsvolumen

Volumenet ( ) af legemet dannet af buens rotation omkring abscisseaksen beregnes som følger:

V_{1}

ACO

V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=

=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=

={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Så:

V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Det volumen ( ) af kroppen, der dannes ved rotation af en gren omkring x-aksen, har en tendens til uendelig. Dette volumen er beregnet ud fra det tidligere integral i området fra til . Dette integral er lig med uendelighed, dvs $V_{2}$ $0$ ${\frac {t}{3))$

V_{2}=\infty

Kurveundersøgelse

Når vi har eller , eller , dvs. $y=0$ $x=0$ ${\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ ${\displaystyle l+x=0\Højrepil x=-l\Højrepil x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

UV-asymptoteligningen bestemmes ud fra udtrykket:

l-3x=0\Rightarrow x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Afledt

For at finde den maksimale værdi af funktionen og tangentligningen, beregner vi den afledede af funktionen:

y'=\left(x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))}\right)'

{\displaystyle y'={\frac {2lx}{\left(l-3x\right)\left({\sqrt {l-3x}}{\sqrt {l+x}}\right)))+{ \sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Sæt lighedstegn mellem den afledte y' med nul og løs den resulterende ligning for x. Vi får :. For denne værdi af x har funktion (2) et maksimum på det øvre buepunkt og et minimum på det nederste buepunkt . Værdien af funktionen på disse punkter er: ${\displaystyle x=-{\frac {l}{\sqrt {3))))$ $ACO$ $C$ $ABO$ $B$

y\left(-{\frac {l}{\sqrt {3}}}\right)=\pm {\frac {l}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\frac {3 } -{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}+1}}}

Værdien af den afledte y' i punktet er , det vil sige, at tangenterne i punktet er indbyrdes vinkelrette og hælder på x-aksen i en vinkel . $O$ $\pm 1$ $O$ $\pm {\frac {\pi }{4}}$

Se også

Oval Descartes

Links

D. K. Bobylev . Kartesisk ark // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe