Rationel normalkurve
En rationel normalkurve er en glat rationel kurve af grad n i et n - dimensionelt projektivt rum. Det er en af de relativt simple projektive varianter , mere formelt er det billedet af den Veronese-indlejring , der er påført den projektive linje.
Definition
Den rationelle normalkurve kan angives parametrisk som billedet af kortlægningen
som tager et punkt med homogene koordinater til et punkt
![[s:t]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc6e62f2a809771917a3b4a9a2af1a6510fff1a)
![[s^{n}:s^{{n-1}}t:s^{{n-2}}t^{2}:\ldots :t^{n}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1a44a9e5a709bba34ea8c52ef8d059d2cbdb61)
I et affint kort er denne kortlægning skrevet på en enklere måde:
Det er let at se, at en rationel normalkurve opnås ved at lukke en affin kurve med et enkelt punkt i uendelig .
Tilsvarende kan en rationel normalkurve defineres som sættet af fælles nuller af homogene polynomier
hvor er homogene koordinater på . Det er ikke nødvendigt at overveje alle disse polynomier; for at definere en kurve er det nok at vælge f.eks .
![[x_{0}:\ldots :x_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a907a6ac3c27e2ede75684e319f497d659c32b69)
Alternativ parametrisering
Lade være forskellige punkter på Så polynomiet
![[a_{i}:b_{i}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a96c034412a69863b126fd175271648df041ed)
er et homogent gradspolynomium med forskellige rødder. Polynomier
danne grundlag for rummet af homogene polynomier af grad n . Skærm
![[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755e88dcc88cbc745183317573b28a34f667502a)
definerer også en rationel normalkurve. Faktisk er monomialer kun en af de mulige baser i rummet af homogene polynomier, og det kan oversættes ved en lineær transformation til enhver anden basis.
Denne afbildning sender polynomiets nuller til "koordinatpunkter", det vil sige punkter, hvis homogene koordinater alle undtagen én er nul. Omvendt kan en rationel normalkurve, der går gennem disse punkter, gives parametrisk ved hjælp af et polynomium
Egenskaber
- Alle punkter på en rationel normalkurve er lineært uafhængige . Omvendt er enhver kurve med denne egenskab rationel normal.
- For alle punkter på sådan, at nogen af dem er lineært uafhængige, er der en unik rationel normalkurve, der går gennem disse punkter. For at konstruere en sådan kurve er det nok at oversætte fra punkter til "koordinat", og derefter, hvis de resterende punkter er gået til , som et polynomium , vælge et polynomium, der forsvinder i punkter
- En rationel normalkurve i tilfældet er ikke et komplet skæringspunkt, det vil sige, det kan ikke specificeres ved antallet af ligninger lig med dets kodimension . [en]
![[c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fbe69cd6652c441d86067364841541f63d0408)
![[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{{-1}}:d_{i}^{{-1}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1c9fc90f6a3dcb6c2195a971da3eebffecd99b)
Noter
- ↑ Ravi Vakil . MATH 216: FOUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY Arkiveret 5. oktober 2013 på Wayback Machine , side 482.
Litteratur
- Harris, J. Algebraisk geometri. Indledende kursus. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 s. - ISBN 5-94057-084-4 .
| Kurver | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definitioner | |||||||||||||||||||
| Forvandlet | |||||||||||||||||||
| Ikke-plan | |||||||||||||||||||
| Flad algebraisk |
| ||||||||||||||||||
| Flad transcendental |
| ||||||||||||||||||
| fraktal |
| ||||||||||||||||||