Tangent linje

En tangentlinje er en ret linje, der går gennem et punkt i kurven og falder sammen med det på dette punkt op til første orden.

Strenge definition

Lad funktionen være defineret i et eller andet område af punktet , og være differentierbar i det: . Tangentlinjen til grafen for en funktion i et punkt er grafen for en lineær funktion givet ved ligningen $f\kolon U(x_{0})\delsæt {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R))$ .
Hvis en funktion har en uendelig afledet i et punkt, så er tangentlinjen i dette punkt den lodrette linje givet af ligningen $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ $x=x_{0}.$

Bemærk

Det følger direkte af definitionen, at grafen for tangentlinjen går gennem punktet . Vinklen mellem tangenten til kurven og x-aksen opfylder ligningen $(x_{0},f(x_{0}))$ $\alfa$

\operatørnavn {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,

hvor betegner tangenten og er tangentens hældningskoefficient. Den afledte i et punkt er lig med hældningen af tangenten til grafen for funktionen i det punkt. $\operatørnavn {tg}$ $\operatørnavn {k}$ $x_{0}$ $y = f(x)$

Tangent som grænseposition for en sekant

Lad og derefter den rette linje, der går gennem punkterne og er givet af ligningen $f\kolon U(x_{0})\til \mathbb{R}$ $x_{1}\in U(x_{0}).$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{1},f(x_{1}))$

y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}) .

Denne linje går gennem punktet for enhver , og dens hældning opfylder ligningen $(x_{0},f(x_{0}))$ $x_{1}\in U(x_{0}),$ $\alpha (x_{1})$

\operatørnavn {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

I kraft af eksistensen af den afledede af funktionen i punktet , går vi til grænsen ved , at vi opnår, at der er en grænse $f$ $x_0,$ $x_{1}\til x_{0},$

\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\operatørnavn {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),

og på grund af kontinuiteten af buetangensen og grænsevinklen

\alpha =\operatørnavn {arctg}\,f'(x_{0}).

En ret linje, der går gennem et punkt og har en begrænsende hældningsvinkel, der opfylder, er givet ved tangentligningen: $(x_{0},f(x_{0}))$ $\operatørnavn {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Tangent til cirkel

En ret linje , der har ét fælles punkt med en cirkel og ligger i samme plan med den, kaldes en tangent til cirklen .

Egenskaber

Tangenten til cirklen er vinkelret på radius tegnet til kontaktpunktet.
Segmenterne af tangenter til cirklen tegnet fra et punkt er lige store og danner lige store vinkler med linjen, der går gennem dette punkt og midten af cirklen.
Længden af segmentet af tangenten tegnet til en cirkel med enhedsradius, taget mellem tangentens punkt og skæringspunktet for tangenten med strålen tegnet fra midten af cirklen, er tangenten til vinklen mellem denne stråle og retningen fra centrum af cirklen til tangenspunktet. "Tangens" fra lat. tangens - "tangens".

Variationer og generaliseringer

Ensidige semi-tangenter

Hvis der er en ret afledet, så kaldes den højre halvtangens til grafen for funktionen i et punkt en stråle $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.

Hvis der er en venstreafledt, så kaldes den venstre halvtangens til grafen for funktionen i et punkt en stråle $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.

Hvis der er en uendelig ret afledet, så kaldes den højre halvtangens til funktionsgrafen i et punkt en stråle $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).

Hvis der er en uendelig venstre afledet, så kaldes den højre halvtangens til grafen for funktionen i punktet en stråle $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).

Se også

Litteratur

Toponogov VA Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Tangent // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.