Deltoid

Deltoid (eller Steiner - kurve ) er en plan algebraisk kurve, der beskrives ved et fast punkt i en cirkel, der ruller langs indersiden af ​​en anden cirkel, hvis radius er tre gange radius af den første.

Deltoideus er et specialtilfælde af hypocykloiden ved .

Historie

Almindelige cykloider blev studeret af Galileo Galilei og Marin Mersenne allerede i 1599, men specielle cykloidale kurver blev først overvejet af Ole Rømer i 1674, mens han studerede den bedste form for tandhjulstænder. Leonhard Euler nævner første gang en rigtig deltoide i 1745 i forbindelse med et problem inden for optik.

Kurven har fået sit navn for sin lighed med det græske bogstav Δ . Dens egenskaber blev først undersøgt af L. Euler i det 18. århundrede og derefter af J. Steiner i det 19. århundrede .

Ligninger

• Deltoiden kan repræsenteres (op til rotation og parallel translation) ved følgende parametriske ligning :

hvor a er radius af den rullende cirkel, b er radius af den større cirkel, langs hvilken den førnævnte cirkel ruller. (I figuren ovenfor er b = 3a .)

• I komplekse koordinater tager det formen

• Implicit ligning i et rektangulært system:

• Parametrisk:

• I polære koordinater tager det formen

Egenskaber

• Kurven har tre singulariteter ( cusp ) svarende til den parametriske ligning ovenfor.
• De 3 hjørner af deltoideus er de 3 spidser i en ligesidet trekant .
• Deltoideus er en rationel kurve af slægten nul .
• Længden af ​​skæringspunktet mellem det område, der er afgrænset af deltoiden med nogen af ​​dets tangenter, er fast og lig med , hvor  er radius af den faste cirkel.
• Deltoid er en algebraisk kurve af orden 4.
• Længden af ​​kurven , hvor  er radius af den faste cirkel.
• Området afgrænset af deltoideus ,.
• Deltoider tangerer to grene (i figuren er alle tre grene sorte), tegnet ved to punkter af enderne af segmentet af tangenten til dens tredje gren (kaldet to forbundne punkter, de er blå i figuren), skærer altid hinanden i rette vinkler (ikke vist på figuren) . Toppunktet af denne rette vinkel ligger altid på cirklen af ​​en lille cirkel (i samme figur er en lille cirkel rød og beskrives med en rød prik i midten af ​​det blå segment), og rører ved de tre angivne grene [1] .

Ansøgninger

Deltoider opstår inden for flere områder af matematikken. For eksempel:

• Sættet af komplekse egenværdier af tredjeordens unistokastiske matricer danner en deltoide .
• Tværsnittet af sættet af unistochastiske (unstokastiske) matricer af tredje orden danner en deltoideus.
• Sættet af mulige spor af enhedsmatricer, der tilhører SU (3)-gruppen, danner en deltoide.
• Skæringspunktet mellem to deltoider parametriserer en familie af komplekse Hadamard-matricer (Complex Hadamard-matrix) af sjette orden.
• Alle Simsons linjer i den givne trekant danner kuverter i form af en deltoid. Det er kendt som Steiners deltoid eller Steiners hypocykloid efter Jakob Steiner , der beskrev kurvens form og symmetri i 1856 [2] .
• Konvolutten for familien af ​​linjer, der halverer trekantens areal, er en deltoidlignende kurve med spidser i midtpunkterne af de tre medianer . Buerne af denne "deltoide" er buerne af en hyperbel , der har asymptoter , der går gennem trekantens sider [3] [4] .
• Deltoideus er blevet foreslået som en løsning på nåleproblemet .

Se også

• Astroiden  er en hypocykloid ved .
• Hypocykloid
• Deltoid 
• Nåleproblem
• Simsons lige linje
• Cycloid

Noter

1. ↑ Savelov, 1960 , s. 127.
2. ↑ Lockwood, 1961 .
3. ↑ Dunn, JA og Pretty, JA, "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, maj 1972, 105-108.
4. ↑ Arealhalveringslinjer for en trekant . Hentet 29. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 21. november 2017. (ubestemt)

Litteratur

• Savelov  A.A. _ Flade kurver: Systematik, egenskaber, anvendelser. Referencevejledning / Red. A.P. Norden . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
• V. Berezin. Deltoid  // Kvant . - 1977. - Nr. 3 . - S. 19 . (Russisk)
• EH Lockwood. Kapitel 8: The Deltoid // A Book of Curves  (engelsk) . - Cambridge University Press , 1961.