Lemniscate Buta

Booths lemniscat er enfjerde-ordens flad algebraisk kurve , et specialtilfælde af Perseus-kurven . Opkaldt efter James Booth .

(x^2 + y ^2)^2 - (2m^2 + c)x^2 + (2m^2 - c)y^2 = 0.

Arter

Formen på kurven afhænger af forholdet mellem parametrene og . Hvis , så tager lemniscat-ligningen formen $m$ $c$ $c > 2m^2$

(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2

, hvor og

a^2 = 2m^2 + c

b^2 = c - 2m^2.

I dette tilfælde er Booths lemniscate ellipsens linje omkring dens centrum og kaldes elliptisk . Dens ligning i polære koordinater er

\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .

Hvis , så tager lemniscat-ligningen formen $c < 2m^2$

(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2

, hvor og

a^2 = 2m^2 + c

b^2 = 2m^2 - c.

I dette tilfælde er Booths lemniscat subradium af hyperbelen i forhold til dens centrum og kaldes hyperbolsk . Dens ligning i polære koordinater er

\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .

Under Booths lemniscat degenererer til to cirkler $c = 2m^2$ $x^2 + y^2 \pm 2mx = 0.$
Under Booths lemniscat degenererer det til Bernoullis lemniscat . $c=0$

Booths lemniscat er en ortogonal projektion på xOy-planet af skæringslinjen mellem overfladen af paraboloiden og overfladen af keglen $x^2 + y^2 = cz$ $a^2x^2 + b^2y^2 = c^2z^2.$
Booths lemniscat kan opnås ved at vende en anden-ordens kurve centreret ved origo. $a^2x^2 \pm b^2y^2 = k^4$

Ved hjælp af den polære ligning af et lemniscat kan du bestemme det område, det begrænser. For en elliptisk lemniscat:

2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2} \phi )d\phi ={\frac {\pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).

For et hyperbolsk lemniscat:

\int \limits _{0}^{\operatørnavn {arctg} {\frac {a}{b))}(a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\ sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}\operatørnavn {arctg} {\frac {a}{b}}+{\ frac {ab}{2}}.

A. A. Savelov. Perseus-kurver // Flade kurver: systematik, egenskaber, anvendelser / red. A. P. Norden. - M .: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur , 1960. - S. 144-146. — 294 s.
Matematisk encyklopædi / under. udg. I. M. Vinogradova . - "Sovjetisk encyklopædi" , 1977. - T. 1. - S. 566.
Weisstein, Eric W. Hippoped (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Courbe de Booth (fransk)

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

Tilnærmelse

Andet

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe