Superellipse

Superellipse ( Lame curve ) er en geometrisk kurve defineret i kartesiske koordinater af ligningen

hvor n , a og b  er positive tal.

Formlen definerer en lukket kurve afgrænset af et rektangel − a ≤ x  ≤ + a og − b  ≤  y  ≤ + b . Parametrene a og b kaldes semi-akser eller semi-diametre af kurven.

Når n er mellem 0 og 1, ligner superellipsen en firetakkede stjerne med konkave sider. Især for n  = 1/2 er stjernens sider parabler .

Når n  = 1, er kurven en rombe med toppunkter (± a , 0) og (0, ± b ). For n mellem 1 og 2 ligner kurven en rombe med konvekse sider.

For n = 2 bliver kurven til en ellipse (især for a  =  b bliver den til en  cirkel). For n  > 2 ligner kurven et rektangel med afrundede hjørner. Ved punkterne (± a , 0) og (0, ± b ) er kurvens krumning nul.

For n  < 2 kaldes kurven undertiden en "hypoellipse", og for n  > 2 en "hyperellipse".

Superellipsens yderpunkter er lig med (± a , 0) og (0, ± b ), og koordinaterne for "hjørnerne" (det vil sige skæringspunkterne med diagonalerne i det omskrevne rektangel) er (± sa, ±sb ), hvor [1] ).

Algebraiske egenskaber

Når n er et ikke-nul rationelt tal p / q , er superellipsen en algebraisk kurve . For positiv n er rækkefølgen pq , for negativ n er den 2 pq . Især når a = b = 1 og n er et lige helt tal, er superellipsen en Fermat-kurve af grad n . I dette tilfælde er det ikke ental, selvom det generelt er ental ..

For eksempel, hvis x 4/3  +  y 4/3  = 1, så er kurven en algebraisk kurve af grad 12 af den tredje slags givet af den implicitte ligning

eller parametrisk ligning

eller

Arealet af en superellipse er udtrykt ved formlen

Generaliseringer

Superellipsen kan generaliseres som:

eller

(her  er en parameter, der ikke skal tolkes som en vinkel).

Historie

Superellipsen i form af en ligning i kartesiske koordinater som en generalisering af den sædvanlige ellipse blev først foreslået af Gabriel Lame (1795-1870).

"Opfindelsen" af superellipsen tilskrives nogle gange fejlagtigt den danske digter og videnskabsmand Piet Hein (1905-1996). I 1959 udskrev Stockholms arkitektkontor en konkurrence om at designe en rundkørsel omkring Sergelstorgspladsen . Piet Hein vandt konkurrencen ved at foreslå en superellipse transportring med n = 2,5 og a / b = 6/5 [2] . Rekonstruktionen af ​​pladsen blev afsluttet i 1967. Hein brugte superellipsen i andre designs - senge, tallerkener, borde [3] . Ved at dreje superellipsen rundt om dens lange akse producerede han " superægget ", som blev et populært legetøj, fordi det i modsætning til et almindeligt æg kunne stå på en flad overflade.

I 1968, da delegationerne ved Vietnamkrigsforhandlingerne i Paris ikke kunne blive enige om bordets form, blev der foreslået et superellipsebord [2] . Azteca Stadium i Mexico City , hovedstadionet ved de olympiske lege i 1968, har en superelliptisk form .

Waldo Tobler udviklede i 1973 en kortprojektion kendt som Toblers hyperelliptiske projektion , hvor meridianerne er superellipser [4] .

Melior- skrifttypen , skabt af Hermann Zapf i 1952, har superelliptiske "o"'er. Det menes, at Zapf valgte bogstavets form intuitivt uden at have nogen idé om det matematiske indhold af denne form, og først senere bemærkede Piet Hein ligheden mellem elementerne i nogle bogstaver i skrifttypen med superellipser. 30 år senere indbyggede Donald Knuth i sin Computer Modern skrifttype-familie muligheden for at vælge mellem ægte ellipser og superellipser (begge former tilnærmet med kubiske splines ).

Pittsburgh Steelers fodboldholdslogo har tre firkantede stjerner, som er superellipser med n = 0,5.

I iOS -mobiloperativsystemet , siden version 7, er superellipser brugt til at danne det ydre omrids af ikoner (i stedet for firkanter med afrundede hjørner) og gruppering af ikoner (i stedet for rektangulære rektangler). [5] iOS bruger parametrene a = b = 60 og n = 5.

Se også

Noter

  1. ↑ Donald Knuth: The METAFONTbook , s. 126
  2. ↑ 1 2 Gardner, Martin (1977), Piet Heins superellipse, matematisk karneval. En ny samling af tantalizers og puslespil fra Scientific American , New York: Vintage Press, s. 240-254, ISBN 978-0-394-72349-5 
  3. ↑ The Superellipse Arkiveret 10. marts 2005 ved Wayback Machine , i The Guide to Life, The Universe and Everything af BBC (27. juni 2003)
  4. ↑ Tobler, Waldo (1973), The hyperelliptical and other new pseudocylindrical even area map projections , Journal of Geophysical Research bind 78 (11): 1753–1759 , DOI 10.1029/JB078i011p01753 
  5. ↑ Opdaterede app-ikoner // Kyle Begeman. Applikationsudvikling i iOS 7 . Packt Publishing Ltd, 2014.

Links