Omskrevet cirkel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. marts 2022; checks kræver 10 redigeringer .

Den omskrevne cirkel af en polygon er en cirkel , der indeholder alle polygonens toppunkter. Centrum er punktet (normalt betegnet ) for skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer på polygonens sider. $O$

Egenskaber

Centrum af den omskrevne cirkel af en konveks n-gon ligger i skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer til dens sider. Som en konsekvens: hvis en cirkel er omskrevet nær en n-gon, så skærer alle vinkelrette halveringslinjer på dens sider i et punkt (cirklens centrum).
I nærheden af enhver regulær polygon (alle vinkler og sider er lige store) er det muligt at beskrive en cirkel, og desuden kun én.
Der er kun en cirkel omkring hver trekant.

Cirkelligninger

Ligningen for den omskrevne cirkel kan udtrykkes i form af de kartesiske koordinater for hjørnerne af trekanten, der er indskrevet i den. Lad os lade som om

\mathbf {A} =(A_{x},A_{y})

\mathbf {B} =(B_{x},B_{y})

\mathbf {C} =(C_{x},C_{y})

er koordinaterne for hjørnerne A , B og C . Så er cirklen stedet for punkterne v = ( v x , v y ) i det kartesiske plan, der opfylder ligningerne

|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}

{\displaystyle |\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2))

{\displaystyle |\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2))

{\displaystyle |\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2))

garanterer, at toppunkterne A , B , C og v er i samme afstand r fra cirklens fælles centrum u . Ved at bruge polarisationsidentiteten kan disse ligninger reduceres til den betingelse, at den lineære afbildning givet af matrixen

{\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&- 2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} | ^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}

har en ikke-nul kerne . Således kan den omskrevne cirkel beskrives som sættet af nuller af determinanten af denne matrix:

\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{ y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{ bmatrix}}=0.

Udvidelse af denne determinant langs den første række og introduktion af notationen

\quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf { B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1} {2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\ C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},

a=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix)) ,\quad b=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}

vi reducerer cirkelligningen til formen a | v | 2 − 2 Sv − b = 0, eller, hvis man antager, at punkterne A , B , C ikke lå på samme rette linje (ellers udarter cirklen sig til en ret linje, der også kan betragtes som en generaliseret cirkel med centrum S i det uendelige), | v − S / a | 2 = b / a + | S | 2 / a 2 , der udtrykker cirklens centrum som S / a og dens radius som √( b / a + | S | 2 / a 2 ). En lignende tilgang gør det muligt at udlede ligningen for en kugle afgrænset omkring et tetraeder .

Parametrisk ligning

Enhedsvektoren vinkelret på det plan, der indeholder cirklen, er angivet som

{\hat {n}}={\frac {\left(P_{2}-P_{1}\right)\times \left(P_{3}-P_{1}\right)}{\ venstre|\left(P_{2}-P_{1}\right)\times \left(P_{3}-P_{1}\right)\right|}}.

Derfor, givet radius r centreret ved P c , er punktet på cirklen P 0 enheden normal til det plan, der indeholder cirklen: , ligningen med én parameter for en cirkel med oprindelse ved P 0 og orienteret i den positive retning ( det vil sige at give vektorerne for højrehåndsreglen ) i denne forstand ser det ud som: $\scriptstyle {\hat {n))$ $\scriptstyle {\hat {n))$

\mathrm {R} \left(s\right)=\mathrm {P_{c)) +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right )\left(P_{0}-P_{c}\right)+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\venstre[{\hat { n}}\times\left(P_{0}-P_{c}\right)\right].

Trilineære og barycentriske cirkelkoordinater

Cirkelligningen i trilineære koordinater x : y : z er [1] :p. 199 a / x + b / y + c / z = 0 . Cirkelligningen i barycentriske koordinater er x : y : z er a 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 . Den isogonale konjugation af en cirkel er en ret linje i det uendelige, skrevet i trilineære koordinater som ax + by + cz = 0 og i barycentriske koordinater som x + y + z = 0 .

Koordinater for midten af den omskrevne cirkel

Cartesiske koordinater for midten

De kartesiske koordinater for midten af den omskrevne cirkel er

U_{x}=\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2 }+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{ y})\right]/D,

U_{y}=\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2} }+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{ x})\right]/D

hvor

D=2\venstre[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y} -B_{y})\right].

Uden tab af generalitet kan dette udtrykkes i en forenklet form efter overførsel af toppunktet A til origo for det kartesiske koordinatsystem, det vil sige når A ′ = A − A = ( A ′ x , A ′ y ) = (0 ,0) . I dette tilfælde er koordinaterne for toppunkterne B ′ = B − A og C ′ = C − A vektorer fra toppunktet A ′ til disse toppunkter. Bemærk, at denne trivielle oversættelse er mulig for alle trekanter og koordinaterne for midten af den omskrevne cirkel af trekanten A ′ B ′ C ′ i følgende form:

\left[C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2} +C_{y}^{'2})\right]/D',

\left[B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2} +B_{y}^{'2})\right]/D'

hvor

D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).

Trilineære koordinater for midten

Centrum af den omskrevne cirkel har trilineære koordinater [1] :s.19

cos α : cos β : cos γ ,

hvor α , β , γ er trekantens indre vinkler. Med hensyn til siderne af trekanten a, b, c har de trilineære koordinater for midten af den omskrevne cirkel formen [2]

a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{ 2}+b^{2}-c^{2}).

Barycentriske koordinater for midten

De barycentriske koordinater for midten af den omskrevne cirkel er

a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):\;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^ {2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),

[3] ,

hvor a , b , c er længderne af siderne ( hhv. BC , CA , AB ) i trekanten. Med hensyn til vinklerne i en trekant har de barycentriske koordinater for midten af den omskrevne cirkel formen [2] $\alpha ,\beta ,\gamma ,$

\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .

Vektoren af midten af den omskrevne cirkel

Da de kartesiske koordinater for et hvilket som helst punkt er det vægtede gennemsnit af disse hjørner, med deres vægte, normaliseres punktets barycentriske koordinater i summen med én, så kan vektoren for midten af den omskrevne cirkel skrives som

U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{ 2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+ c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+ b^{2}-c^{2})}}.

Her er U centrumvektoren af den omskrevne cirkel, A, B, C er toppunktsvektorer. Divisoren her er 16 S 2 , hvor S er arealet af trekanten.

For en trekant

En cirkel kan omskrives om en trekant, og kun én. Dens centrum vil være skæringspunktet for de mediale perpendikulære eller mediatris .

Vinkler

Figuren viser lige store vinkler for en trekant indskrevet i en cirkel.

Vinklerne dannet af den omskrevne cirkel med siderne af trekanten falder sammen med de vinkler, der danner siderne af trekanten, og forbinder med hinanden ved hjørnerne. Siden modsat vinklen α rører cirklen to gange: én gang i hver ende; i hvert tilfælde i samme vinkel α (se fig.) (tilsvarende for de to andre vinkler). Dette er relateret til den alternative segmentsætning, som siger, at vinklen mellem en tangent og en akkord er lig med den vinkel, der er indskrevet i cirklen baseret på denne akkord.

Trekantet centrerer om en omkreds af trekant ABC

I dette afsnit er hjørnernes hjørner betegnet som A , B , C og alle koordinater er trilineære koordinater . Følgende punkter på omkredsen af trekanten ABC:

Steinerpunkt = bc / ( b 2 − c 2 ): ca / ( c 2 − a 2 ): ab / ( a 2 − b 2 ) = ikke-spidspunkt for skæringspunktet mellem den omskrevne cirkel og Steiner-ellipsen. ( Steiner-ellipsen centreret ved tyngdepunktet i trekanten ABC er ellipsen med det mindste areal af alle, der passerer gennem hjørnerne A , B og C . Steiner-ellipsens ligning er: 1/( ax ) + 1/( by ) + 1/ ( cz ) = 0 .)
Tarrypunkt = sek ( A + ω): sek ( B + ω): sek ( C + ω) = diametralt modsat Steiner-punktet
Fokus for Kiepert-parablen (Kiepert-parablen) = csc ( B − C ): csc ( C − A ): csc ( A − B ). (se billede.)

Perspektiverne af parablerne indskrevet i trekanten ligger på den omskrevne Steiner-ellipse [4] . Fokus for den indskrevne parabel ligger på den omskrevne cirkel, og retningslinjen passerer gennem ortocentret [5] . En parabel indskrevet i en trekant, der har Euler-linjen som en retningslinje , kaldes Kiepert-parablen . Dens perspektiv er det fjerde skæringspunkt mellem den omskrevne cirkel og den omskrevne Steiner-ellipse , kaldet Steiner-punktet .

Lesters sætning [6] . I enhver skala-trekant ligger de to Torricelli-punkter , midten af de ni punkter og midten af den omskrevne cirkel på den samme cirkel ( cirklen af Leicester ).

Egenskaber for midten af den omskrevne cirkel i en trekant

For en spidsvinklet trekant ligger midten af den omskrevne cirkel indeni, for en stump trekant ligger den uden for trekanten, for en retvinklet trekant ligger den i midten af hypotenusen .

spidsvinklet
stump
Rektangulær

Vi betegner med bogstavet O skæringspunktet mellem medianvinkelrette sider til dets sider og tegner segmenterne OA , OB og OS . Da punktet O er lige langt fra hjørnerne af trekanten ABC , så er OA \ u003d OB \ u003d OS . Derfor passerer en cirkel med centrum O med radius OA gennem alle tre hjørner af trekanten og er derfor afgrænset omkring trekant ABC .

Centrum af den omskrevne cirkel er isogonalt konjugeret med ortocentret .
3 af de 4 cirkler, der er omskrevet i forhold til de mediale trekanter (dannet af trekantens midtlinjer ) skærer hinanden i et punkt inde i trekanten. Dette punkt er midten af hovedtrekantens omskrevne cirkel.
Centrum af en cirkel omskrevet omkring en trekant fungerer som orthocenter af en trekant med spidser i midtpunkterne af siderne af den givne trekant (kaldet komplementær trekant ).
Afstanden fra trekantens toppunkt til orthocenteret er to gange afstanden fra midten af den omskrevne cirkel til den modsatte side.
Matematisk betyder det sidste udsagn det

afstanden fra midten af den omskrevne cirkel, for eksempel, til siden af trekanten er: $-en$

k_{a}=a/(2tgA);

afstanden fra ortocenteret , for eksempel, til trekantens toppunkt er: $EN$

d_{A}=a/(tgA).

Af de sidste tre udsagn følger det, at summen af afstandene fra orthocentret af en spidsvinklet trekant til dens tre toppunkter er dobbelt så stor som summen af afstandene fra centrum af den omskrevne cirkel til dens tre sider, og er lig med . I en stump trekant skal "-" tegnet tages, hvis vinkelret fra midten af den omskrevne cirkel til siden ligger helt uden for trekanten, eller hvis segmentet tegnet fra orthocentret til toppunktet ligger helt uden for trekanten. Resten af termerne tages med et "+"-tegn. $2(R+r)$
Matematisk betyder det sidste udsagn ( Carnot-formel ) at [7] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

hvor er afstandene fra henholdsvis midten af den omskrevne cirkel til trekantens sider; er afstandene fra henholdsvis orthocenteret til trekantens hjørner . ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a,b,c$ ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C))$ $A,B,C$

Carnots formel (en anden formulering). Lad D være midten af den omskrevne cirkel af trekanten ABC . Så vil summen af afstandene fra D til siderne af trekanten ABC , taget med "-" tegnet, når højden fra D til siden ligger helt uden for trekanten, være lig med , hvor r er radius af indskrevet cirkel, og R er den omskrevne cirkel. Især med det rigtige valg af skilte. $R+r$ $\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,$
Hvis linjen ℓ af orthopolen går gennem midten af trekantens omskrevne cirkel, så ligger orthopolen selv på denne trekants Euler-cirkel . [otte]

Radius

Formler for radius af den omskrevne cirkel

R={\frac {abc}{4S}}

R={\sqrt {\frac {S}{2\cdot \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}}.

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))

, hvor:

a,b,c

- sider af en trekant

\alfa ,\beta ,\gamma

er vinklerne modsat siderne hhv.

a,b,c

S

- areal af en trekant.

s

er trekantens halvperimeter, dvs.

p={\frac {a+b+c}{2}}

Placering af midten af den omskrevne cirkel

== Lad radius-vektorerne af trekantens spidser være radius-vektoren for midten af den omskrevne cirkel. Så == ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{A},{\mathbf {r} }_{B},{\mathbf {r} }_{C))$ $\mathbf {r} _{O}$

\mathbf {r} _{O}=\alpha _{A}\mathbf {r} _{A}+\alpha _{B}\mathbf {r} _{B}+\alpha _{C }\mathbf {r} _{C}

hvor

\alpha _{A}={\frac {a^{2}}{8S^{2}}}({\mathbf {r}}_{A}-{\mathbf {r}}_{B}, {\mathbf {r}}_{A}-{\mathbf {r}}_{C}),\qquad \alpha _{B}={\frac {b^{2}}{8S^{2} ))({\mathbf {r}}_{B}-{\mathbf {r}}_{A},{\mathbf {r}}_{B}-{\mathbf {r}}_{C} ),\qquad \alpha _{C}={\frac {c^{2}}{8S^{2}}}({\mathbf {r}}_{C}-{\mathbf {r}}_ {A},{\mathbf {r}}_{C}-{\mathbf {r}}_{B})

I dette tilfælde er længderne af trekantens sider modsat hjørnerne . $a,b,c$ $A,B,C$

Ligningen for den omskrevne cirkel

Lad koordinaterne for trekantens hjørner i et eller andet kartesisk koordinatsystem på planet være koordinaterne for midten af den omskrevne cirkel. Derefter ligningen for den omskrevne cirkel ${\mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{\mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}) ,{\mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})$ $\mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\\x_{ B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C }&1\end{vmatrix}}=0

Koordinaterne for midten af den omskrevne cirkel kan beregnes

x_{O}={\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\\x_{B}^ {2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1\end{vmatrix}},\quad y_{O}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\\x_{B} ^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1\end{vmatrix}},

hvor

D=2{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

I eksplicit form bestemmes koordinaterne for cirklens centrum af formlerne:

x_{O}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C} ^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A }^{2})+y_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{ x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}

y_{O}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^ {2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A} ^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_ {A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}

Sætninger relateret til den omskrevne cirkel

Trident -sætning , eller trefoil-sætning , eller Kleiners sætning : Hvis er skæringspunktet for vinklens halveringslinjemed den omskrevne cirkel af trekanten,og er centrene for henholdsvis den indskrevne og excirkel, der rører siden, så. $D$ $EN$ $ABC$ $jeg$ $J$ $f.Kr$ $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$
Mansions teorem . Segmentet, der forbinder centrene for de indskrevne og excirkler i en trekant, er halveret af den omskrevne cirkel.
Mansions teorem (fortsat). Midtpunktet af buenaf den omskrevne cirkel af en trekant, der ikke indeholder et toppunkt, er lige langt fra hjørnerneog, midten af den indskrevne cirkel og midten af omkredsen . Midtpunktet af buenaf trekantens, der indeholder toppunktet, er lige langt fra hjørnerneog, og centreneog excirklerne . $AC$ $ABC$ $B$ $EN$ $C$ $jeg$ $I_{2}$ $AC$ $ABC$ $B$ $EN$ $C$ $I_1$ $I_3$
En periferisk-ceviansk trekant er en trekant med toppunkter ved det andet skæringspunkt mellem tre linjer trukket gennem toppunkterne i den subdermale trekant og et givet punkt med den omskrevne cirkel. Sætning . En cevian trekant ligner en subdermal (Proof in: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine ). $P$
Simsons sætning : Baserne af perpendikulærerne faldt fra et punkt i en trekants omskrevne cirkel til siderne eller deres forlængelser ligger på samme linje. Denne linje kaldes Simsons linje . $P$ $ABC$
Ifølge Leicesters sætning ligger midten af ni punkter på den ene cirkel (på Leicesters cirkel) sammen med tre andre punkter - to Torricelli-punkter og midten af den omskrevne cirkel [6] .
Eulers linje går gennem: 1) Midtpunktet for en trekant, 2) Ortocentret af en trekant, 3) midten af den omskrevne cirkel , 4) Midtpunktet for cirklen med ni punkter og andre kendte punkter (se Eulers linje ).
Radius af den omskrevne cirkel, tegnet fra trekantens toppunkt til dens centrum, er altid vinkelret på en af de tre sider af ortotrekanten , som den skærer (Zetel, Corollary 2, § 66, s. 81).

Forbindelse af den omskrevne cirkel med den indskrevne cirkel, med ortocentret og andre punkter

Euler formel : Hvis - afstanden mellem centrene for de indskrevne og omskrevne cirkler i en trekant, og deres radier er lige store og henholdsvis, så . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$

Eller gennem siderne af trekanten:

d=OI=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b ^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

hvor er radius af den omskrevne cirkel (se Furman-cirklen ). $R$

Afstanden fra centrum O til orthocenter H er [9] [10] :p. 449

OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}.

For tyngdepunktet G og midten af ni punkter N har vi:

IG<IO,

2IN<IO,

OI^{2}=2R\cdot IN.

Produktet af radierne af trekantens omskrevne og indskrevne cirkler er relateret til siderne a , b og c på formen [11] : s. 189, #298(d) :

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Forholdet mellem radierne af de indskrevne og omskrevne cirkler i trekanten [12] :

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

Hvis medianen m , højden h og den indre halveringslinje t kommer ud af den samme toppunkt i trekanten, omkring hvilken en cirkel med radius R er omskrevet , så [13] :s.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Centrum af den omskrevne cirkel er isogonalt konjugeret med ortocentret .
Vinkler hævet til siderne af trekanten ved cirklernes kontaktpunkter skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er symmetrisk med midten af den indskrevne cirkel i forhold til midten af den omskrevne cirkel [14] .
En trekant har tre cirkler, der rører to sider af trekanten og den omskrevne cirkel. Sådanne cirkler kaldes semi-indskrevne eller Verrier-cirkler . Linjestykkerne, der forbinder trekantens hjørner og de tilsvarende tangenspunkter i Verrier-cirklerne med den omskrevne cirkel, skærer hinanden i et punkt, kaldet Verrier-punktet . Det tjener som centrum for homoteten , som oversætter den omskrevne cirkel til en indskrevet . Tangenspunkterne for Verrier-cirklerne med siderne ligger på en lige linje, der passerer gennem midten af den indskrevne cirkel .

Thebos sætning 3 siger (se figur):

Lade være en vilkårlig trekant , være et vilkårligt punkt på siden , være centrum af en cirkel tangent til segmenterne og omskrevet om cirklen, være centrum af cirklen tangent til segmenterne og omskrevet om cirklen. Så passerer segmentet gennem punktet - midten af cirklen indskrevet i , og på samme tid , hvor . $ABC$ $D$ $f.Kr$ $I_1$ $AD,BD$ $\Delta ABC$ $I_{2}$ $CD,AD$ $\Delta ABC$ $I_{1}I_{2}$ $jeg$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\operatørnavn {tg}^{2}{\frac {\phi}{2))$ $\phi =\vinkel BDA$

Carnots formel siger, at i trekant ABC er summen af afstandene fra centrum D i den omskrevne cirkel til siderne af trekanten ABC taget med tegnet "-", når højden fra D til siden ligger helt uden for trekanten (ellers med "+" tegnet), vil være lig med , hvor r og R er radierne af de indskrevne og omskrevne cirkler [13] :s.83 . $R+r$

For eksempel vil Carnot-formlen for en figur have formen: . $DG+DH-DF=R+r$

I en anden formulering siger Carnots formel , at [7] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

hvor er afstandene fra henholdsvis midten af den omskrevne cirkel til trekantens sider, er afstandene fra henholdsvis orthocenteret til trekantens hjørner . ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a,b,c$ ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C))$ $A,B,C$

Afstanden fra midten af den omskrevne cirkel, for eksempel, til siden af trekanten er: $-en$

k_{a}=a/(2tgA);

afstanden fra ortocenteret , for eksempel, til trekantens toppunkt er: $EN$

d_{A}=2k_{a}=a/(tgA).

Definitioner for den sidste sætning

En trekant med spidser i projektionerne af et givet punkt på siderne kaldes en subdermal eller pedaltrekant af dette punkt.
En omskreven cirkel-ceviansk trekant er en trekant med tre spidser i det andet skæringspunkt med den omskrevne cirkel af tre rette linjer tegnet gennem spidserne og det givne punkt.

Variationer over et tema

Sætning [15] . Hvis vi tegner en diagonal i en firkant indskrevet i en cirkel og indskriver to cirkler i de resulterende to trekanter, gør det samme ved at tegne den anden diagonal, så er centrene i de fire dannede cirkler hjørnerne af rektanglet (dvs. , de ligger på samme cirkel). Denne sætning kaldes den japanske sætning. (se fig.).

For en firkant

En indskrevet simpel (uden selvskæring) firkant er konveks . En cirkel kan omskrives om en konveks firkant , hvis og kun hvis summen af dens modstående vinkler er 180° ( radianer). Du kan beskrive en cirkel omkring: $\pi$

ethvert antiparallelogram
ethvert rektangel ( firkantet specialtilfælde )
enhver ligebenet trapez
enhver firkant med to modsatte vinkler ret
enhver firkant, hvis sum af modsatte vinkler er 180 grader
enhver firkant, der har fire vinkelrette halveringslinjer på sine sider (eller mediatrikker af sine sider, det vil sige vinkelrette på de sider, der går gennem deres midtpunkter) skærer hinanden i et punkt
Ptolemæus' første sætning . For en firkant indskrevet i en cirkel er produktet af længderne af diagonalerne lig med summen af produkterne af længderne af par af modstående sider : [16] :

|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.

Ptolemæus' anden sætning . En konveks firkant er indskrevet, hvis og kun hvis ligheden holder. [17] :

$\frac{|AC|}{|BD|} = \frac{|AB|\cdot |AD|+|BC|\cdot |CD|}{|AB|\cdot |BC|+|CD|\cdot| AD | }.$

Radius af en cirkel omskrevet om en firkant:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Arealet af en firkant indskrevet i en cirkel kan beregnes ved hjælp af Brahmaguptas formel :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}

Den samme Brahmagupta-formel for arealet af en firkant indskrevet i en cirkel kan skrives i form af determinanten [18] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Du kan læse mere om firkanter indskrevet i en cirkel i artiklen " Indskrevet firkant ".

For en indskrevet-omskrevet firkant

En analog til Eulers sætning for en indskrevet-omskrevet firkant

For radierne R og r for henholdsvis de omskrevne og indskrevne cirkler af en given indskrevet-omskrevet firkant og afstanden d mellem disse cirklers centre, gælder følgende forhold:

{\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

eller

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

For en polygon

Hvis en polygon består af segmenter, vil dens areal være maksimal, når den er indskrevet.

Hvis punktet er lige langt fra polygonens hjørner, så falder det sammen med midten af cirklen beskrevet omkring denne polygon.

I en sfærisk trekant

Den omskrevne cirkel for en sfærisk trekant er den cirkel, der indeholder alle dens hjørner.

Hvis A , B , C er vinklerne i en sfærisk trekant, P er deres halvsum, så vil tangenten af radius [19] af den omskrevne cirkel være lig med [20] :78,83

{\displaystyle \operatorname {tg} R={\sqrt {\frac {-\cos P}{\cos(PA)\cos(PB)\cos(PC)))))

Den omskrevne cirkel hører til kuglen. En radius trukket fra kuglens centrum gennem midten af den omskrevne cirkel vil skære kuglen i skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer (sfærens store cirkler vinkelret på siderne i deres midte) til siderne af den kugleformede trekant [20] :21-22 .

Se også

Noter

↑ 12 Whitworth , William Allen. Trilineære koordinater og andre metoder til moderne analytisk geometri af to dimensioner , Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Arkiveret 24. marts 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Arkiveret 19. april 2012 på Wayback Machine
↑ Wolfram-side om barycentriske koordinater . Hentet 29. april 2016. Arkiveret fra originalen 20. juli 2017. (ubestemt)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 110.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 27-28.
↑ 12 Yiu , 2010 , s. 175-209.
↑ 1 2 Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. problem på s. 120-125. afsnit 57, s.73.
↑ Ortopolen (21. januar 2017). Hentet 22. juni 2020. Arkiveret fra originalen 22. juni 2020. (ubestemt) (Engelsk)
↑ Marie-Nicole Gras, "Afstande mellem extoucheringstrekantens cirkumcenter og de klassiske centre", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Arkiveret 28. april 2021 på Wayback Machine
↑ Smith, Geoff og Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, november 2007, 436-452.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover, 2007 (orig. 1929).
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Om forholdet mellem inradius og cirkumradius af en trekant", Mathematical Gazette 87, marts 2003, 119-120.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Myakishev A. G. Elementer i en trekants geometri. Serie: "Bibliotek" Matematisk Uddannelse "". M.: MTSNMO, 2002. c. 11, punkt 5.
↑ Omkring problemet med Arkimedes. Eks. 8, fig. 13, s. 6 Arkiveret 29. april 2016 på Wayback Machine // geometry.ru
↑ Ptolemæus' sætning . Hentet 15. marts 2009. Arkiveret fra originalen 10. maj 2009. (ubestemt)
↑ Quadrilaterals Arkiveret 16. september 2015 på Wayback Machine . Indskrevne firkanter.
↑ Starikov V.N. Noter om geometri // Videnskabelig søgning: humanitære og socioøkonomiske videnskaber: en samling af videnskabelige artikler. Nummer 1 / Kap. udg. Romanova I. V. Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. S. 37-39
↑ Her måles cirklens radius langs kuglen, det vil sige, at den er gradmålet for den store cirkelbue, der forbinder skæringspunktet for kuglens radius, trukket fra kuglens centrum gennem midten af kuglen. cirkel, med kuglen og spidsen af trekanten.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Litteratur

Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry og deres generaliseringer // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.

Omskrevet cirkel

Egenskaber

Koordinater for midten af ​​den omskrevne cirkel

For en trekant

Vinkler

Trekantet centrerer om en omkreds af trekant ABC

Egenskaber for midten af ​​den omskrevne cirkel i en trekant

Sætninger relateret til den omskrevne cirkel

Forbindelse af den omskrevne cirkel med den indskrevne cirkel, med ortocentret og andre punkter

Definitioner for den sidste sætning

Variationer over et tema

For en firkant

For en indskrevet-omskrevet firkant

En analog til Eulers sætning for en indskrevet-omskrevet firkant

For en polygon

I en sfærisk trekant

Se også

Noter

Litteratur

Links

Koordinater for midten af den omskrevne cirkel

Egenskaber for midten af den omskrevne cirkel i en trekant