Tesseract
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. februar 2020; checks kræver 32 redigeringer .| tesseract | |
|---|---|
| Type | Almindelig firedimensionel polytop |
| Schläfli symbol | {4,3,3} |
| celler | otte |
| ansigter | 24 |
| ribben | 32 |
| Toppe | 16 |
| Vertex figur | almindelig tetraeder |
| Dobbelt polytop | 16-celler |
Tesseract (fra andet græsk τέσσαρες ἀκτῖνες - "fire stråler") er en firedimensionel hyperkube , en analog af en konventionel tredimensionel terning i firedimensionelt rum . Andre navne: 4-terning , tetrakube , otte -celle [1] , octahor (fra anden græsk οκτώ "otte" + χώρος "sted, mellemrum"), hyperkube (hvis antallet af dimensioner ikke er angivet). Tesseract er en af seks regulære multiceller i firedimensionelt rum.
Ifølge Oxford Dictionary blev ordet "tesseract" opfundet af Charles Howard Hinton (1853-1907) og brugt første gang i 1888 i hans bog A New Age of Thought.
Geometri
En almindelig tesserakt i det euklidiske firedimensionale rum er defineret som det konvekse skrog af punkter (±1, ±1, ±1, ±1). Med andre ord kan det repræsenteres som følgende sæt:
![{\displaystyle [-1,1]^{3}\equiv \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,:\,-1\leq x_{i }\leq 1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8c67e8a25ba7e20e385c85f816c4700d899935)
Tesserakten er begrænset af otte hyperplaner , hvis skæringspunkt med selve tesserakten definerer dens tredimensionelle ansigter (som er almindelige terninger). Hvert par ikke-parallelle 3D-ansigter skærer hinanden for at danne 2D-flader (firkanter) og så videre. Endelig har en tesseract 8 3D-flader, 24 2D, 32 kanter og 16 hjørner.
Det firedimensionelle hypervolumen af en tesserakt med sidelængde a beregnes med formlen:
Volumenet af Tesseract-hyperoverfladen kan findes ved formlen:
Radius af den omskrevne hypersfære:
Radius af en indskrevet hypersfære:
Populær beskrivelse
Lad os prøve at forestille os, hvordan hyperkuben vil se ud uden at forlade det tredimensionelle rum .
I et-dimensionelt "rum" - på en linje - vælger vi et segment AB med længden L. På et todimensionalt plan i en afstand L fra AB tegner vi et segment DC parallelt med det og forbinder deres ender. Du får en firkantet CDBA . Ved at gentage denne operation med et plan får vi en tredimensionel terning CDBAEGHF. Og ved at flytte terningen i den fjerde dimension (vinkelret på de tre første) med en afstand L, får vi CDBAGHFEKLJIOPNM hyperkuben .
Det endimensionelle segment AB er siden af det todimensionelle kvadrat CDBA, kvadratet er siden af kuben CDBAEGHF, som igen vil være siden af den firedimensionelle hyperkube. Et lige linjestykke har to grænsepunkter, et kvadrat har fire hjørner, og en terning har otte. I en firedimensionel hyperkube vil der således være 16 hjørner: 8 hjørner af den oprindelige terning og 8 knudepunkter forskudt i den fjerde dimension. Den har 32 kanter - 12 giver hver den oprindelige og endelige position for den originale terning, og 8 flere kanter "tegner" otte af dens hjørner, der er flyttet ind i den fjerde dimension. Det samme ræsonnement kan gøres for hyperkubens ansigter. I todimensionelt rum er det én (selve firkanten), kuben har 6 af dem (to flader fra den flyttede firkant og fire mere vil beskrive dens sider). En firedimensionel hyperkube har 24 kvadratiske flader - 12 kvadrater af den originale terning i to positioner og 12 kvadrater fra tolv af dens kanter.
Da siderne af en firkant er 4 endimensionelle segmenter, og siderne (fladerne) af en terning er 6 todimensionelle firkanter, så for den "firedimensionelle terning" (tesserakt) er siderne 8 tredimensionelle terninger. Mellemrummene i modstående par af tesseract-terninger (det vil sige de tredimensionelle rum, som disse terninger tilhører) er parallelle. På figuren er det terninger: CDBAEGHF og KLJIMOPN, CDBAKLJI og GHEOPNM, EFBAMNJI og GHDCOPLK, CKIAGOME og DLJBHPNF.
På lignende måde kan vi fortsætte ræsonnementet for hyperkuber af et større antal dimensioner, men det er meget mere interessant at se, hvordan en firedimensionel hyperkube vil se ud for os, indbyggere i det tredimensionelle rum. Lad os bruge den allerede velkendte analogimetode til dette.
Lad os tage trådterningen ABCDHEFG og se på den med det ene øje fra siden af ansigtet. Vi vil se og kan tegne to firkanter på planet (dets nære og fjerne flader), forbundet med fire linjer - sidekanter. På samme måde vil en firedimensionel hyperkube i tredimensionelt rum ligne to kubiske "kasser", der er sat ind i hinanden og forbundet med otte kanter. I dette tilfælde vil selve "kasserne" - tredimensionelle flader - blive projiceret på "vores" rum, og linjerne, der forbinder dem, vil strække sig i retning af den fjerde akse. Du kan også prøve at forestille dig en terning ikke i projektion, men i et rumligt billede.
Ligesom en tredimensionel terning er dannet af en firkant, der er forskudt med længden af en flade, vil en terning, der er forskudt til den fjerde dimension, danne en hyperkube. Den er begrænset af otte kuber, som i fremtiden vil ligne en ret kompleks figur. Selve den firedimensionelle hyperkube består af et uendeligt antal terninger, ligesom en tredimensionel terning kan "skæres" til et uendeligt antal flade firkanter.
Ved at skære seks flader af en tredimensionel terning kan du nedbryde den til en flad figur - et net . Det vil have en firkant på hver side af det originale ansigt, plus en mere - ansigtet modsat det. En tredimensionel udvikling af en firedimensionel hyperkube vil bestå af den originale terning, seks terninger, der "vokser" fra den, plus en mere - den endelige "hyperface".
Egenskaberne ved en tesserakt er en udvidelse af egenskaberne for geometriske figurer af en mindre dimension til et firedimensionelt rum.
Tesseract udfoldelser
Ligesom overfladen af en terning kan foldes ud til en polygon bestående af seks kvadrater , kan overfladen af en tesserakt foldes ud til et tredimensionelt fast stof bestående af otte terninger [2] .
Der er 261 udfoldelser af tesserakten [3] . Hyperkube-udfoldninger kan findes ved at opregne "parrede træer", hvor et "parret træ" ( parret træ ) er et træ med et lige antal hjørner, der er parret, så intet par består af to tilstødende hjørner. Der er en en-til-en-korrespondance mellem "dobbelttræer" med 8 hjørner og udfoldelser af tesserakten . I alt er der 23 træer med 8 toppunkter, ved opdeling af toppunkterne i par af ikke-tilstødende toppunkter opnås 261 "dobbelttræer" med 8 toppunkter [4] .
Den korsformede udfoldelse af tesserakten er et element i Salvador Dalis maleri " Corpus Hypercubus " (1954) [5] .
I Robert Heinleins novelle " The House That Teel Built " bygger den californiske arkitekt Quintus Teel et hus i form af en hyperkube, der udfolder sig, som foldes til en tesserakt under et jordskælv [5] .
Projektioner
På et todimensionelt rum
Denne struktur er svær at forestille sig, men det er muligt at projicere en tesserakt ind i 2D- eller 3D-rum . Derudover gør projektion på et plan det nemt at forstå placeringen af hyperkubens hjørner. På denne måde kan der opnås billeder, der ikke længere afspejler de rumlige forhold inden for tesserakten, men som illustrerer toppunktets forbindelsesstruktur, som i de foregående eksempler:
Til tredimensionelt rum
En af projektionerne af tesseracten på det tredimensionelle rum er to indlejrede tredimensionelle terninger, hvis tilsvarende hjørner er forbundet med segmenter. De indre og ydre terninger har forskellige størrelser i 3D-rum, men de er lige store terninger i 4D-rum. For at forstå ligheden mellem alle terninger af tesseracten blev der lavet en roterende model af tesseracten.
- Seks afkortede pyramider langs tesseraktens kanter er billeder af lige seks terninger. Disse terninger er dog til tesserakten ligesom firkanter (ansigter) er til terningen. Men faktisk kan en tesserakt opdeles i et uendeligt antal terninger, ligesom en terning kan opdeles i et uendeligt antal kvadrater, eller et kvadrat kan opdeles i et uendeligt antal segmenter.
En anden interessant projektion af tesserakten på det tredimensionelle rum er et rombisk dodekaeder med dets fire diagonaler tegnet, der forbinder par af modsatte hjørner ved store vinkler af romber. I dette tilfælde er 14 af de 16 hjørner af tesserakten projiceret ind i 14 spidser af det rombiske dodekaeder , og projektionerne af de resterende 2 falder sammen i midten. I en sådan projektion på det tredimensionelle rum bevares ligheden og paralleliteten af alle endimensionelle, todimensionelle og tredimensionelle sider.
Stereopair
Et stereopar af en tesserakt er afbildet som to projektioner på et plan af en af de tredimensionelle repræsentationer af en tesserakt. Et stereopar ses på en sådan måde, at hvert øje kun ser et af disse billeder, der opstår en stereoskopisk effekt, som gør det muligt bedre at opfatte projektionen af tesserakten på det tredimensionelle rum.
Tesseract i kultur
- I historien " The house that Teel built " ( eng. And He Built a Crooked House ; "Og han byggede sig et skævt hus") beskriver Heinlein et otteværelses hus i form af en udfoldet tesserakt.
- Historien Mimsy Were the Borogoves af Henry Kuttner beskriver et pædagogisk legetøj til børn fra en fjern fremtid, der i struktur ligner en tesserakt.
- I Robert Sheckleys historie "Miss Mouse and the Fourth Dimension" forsøger en esoterisk forfatter, en bekendt af forfatteren, at se tesserakten og kigger i timevis på den enhed, han designede: en bold på et ben med stænger stukket ind i den. , hvorpå der er plantet terninger, limet med alskens esoteriske symboler. Historien nævner Hintons arbejde.
- I Mark Cliftons fantasyhistorie "On a Möbius Strip" rejser vidunderbørn gennem rum og tid ved hjælp af modeller af en Möbius-strimmel , en Klein-flaske og en tesserakt.
- I Marvel Cinematic Universe er Tesseract artefaktbæreren af en af de seks Infinity Stones .
- Handlingen i Andrzej Sekulas Cube 2: Hypercube foregår inde i en labyrint af rum placeret i en hypercube.
- I science fiction-filmen Interstellar befinder hovedpersonen Joseph Cooper og robotten TARS sig efter at have krydset begivenhedshorisonten Gargantua - et supermassivt sort hul - inde i en massiv tesserakt bygget af fremtidens mennesker.
Noter
- ↑ D.K. Bobylev . Firedimensionelt rum // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
- ↑ Gardner, 1989 , s. 48-50.
- ↑ Gardner 1989 , s. 272: "Peter Turney bruger i sit papir "Unfolding the Tesseract" fra 1984 grafteori til at vise, at der er 261 forskellige udfoldelser.
- ↑ Peter Turney. Unfolding the Tesseract (engelsk) // Journal of Recreational Mathematics : journal. - 1984-85. — Bd. 17 , nr. 1 . Arkiveret fra originalen den 25. juli 2018.
- ↑ 12 Gardner , 1989 , s. halvtreds.
Litteratur
- Charles H Hinton. Fjerde dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
- Gardner M. Matematisk karneval. - Washington, DC: MAA , 1989. - P. 41-54, 272. - ISBN 0-88385-448-1 .
- Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7
- Galperin G.A. Multidimensionel terning. — M. : MTsNMO , 2015. — 80 s. - ISBN 978-5-4439-0296-8 .
- Duzhin S., Rubtsov V. Firedimensionel terning // Kvant . - 1986. - Nr. 6 . - S. 3-7 .
Links
På russisk- Afledt af et sweep
- hyperkube
- Transformator4D program. Dannelse af modeller af tredimensionelle projektioner af firedimensionelle objekter (inklusive Hypercube).
- Et program, der implementerer konstruktionen af en tesseract og alle dens affine transformationer, med C++ kilder.
- Stereopair af tesseract med ribben af samme længde.
- Rotation af tesseract - projektion i tredimensionelt rum
- Tesseract
- Klip knuden! Tesseracten
- Charles Howard Hinton
- En firedimensionel version af Rubik's Cube
- Fjerde dimension: Tetraspace
- Mushware Limited er et tesseract-outputprogram ( Tesseract Trainer , GPLv2-kompatibel licens) og et 4D first-person shooter ( Adanaxis ; grafik, for det meste 3D; der er en GPL-version i OS-lagrene).
| Schläfli symbol | |
|---|---|
| Polygoner | |
| stjerne polygoner | |
| Flade parketgulve _ | |
| Almindelige polyedere og kugleformede parketgulve | |
| Kepler-Poinsot polyedre | |
| honningkager | {4,3,4} |
| Firedimensionelle polyedre | |
| Dimension af rummet | |
|---|---|
| Rum efter dimension |
|
| Polytoper og figurer |
|
| Typer af rum |
|
| Andre dimensionelle begreber |
|
| Matematik | |