Chasar polyeder

Chasar-polyederet  er et ikke-konveks polyeder , topologisk ækvivalent med en torus , med 14 trekantede flader.

Dette polyeder har ingen diagonaler  - ethvert par af hjørner er forbundet med en kant. De syv hjørner og 21 kanter af Chasars polytop danner en indlejring af hele grafen i en topologisk torus . Af de 35 mulige trekanter dannet af polyederens hjørner er kun 14 flader. Hvis de syv hjørner er nummereret fra 1 til 7, kan torusen skæres til et blad, der topologisk svarer til følgende:

Dette mønster kan bruges til at tesselere et fly. På figuren ovenfor er ansigterne som følger (top 1 øverst på figuren):

• Blå:

(1, 2, 3) (1, 3, 4) (1, 4, 5) (1, 5, 6) (1, 6, 7) (1, 7, 2)

• Rød

(2, 3, 6) (6, 3, 5)

• gul

(3, 5, 7) (7, 5, 2)

• Grøn

(6, 2, 4) (4, 2, 5)

• Blå

(4, 6, 7) (4, 7, 3)

Med denne nummerering er placeringen af ​​hjørnerne i slutningen af ​​videoklippet (med uret, startende fra 1) som følger: 1, 2, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 2, 7, 3, 4 , 5, 6, 7.

Der er en vis frihed i arrangementet af hjørner, men nogle arrangementer fører til skæringen af ​​ansigter, og hullet er ikke dannet.

Alle toppunkter er topologisk ækvivalente, som det kan ses af flisebelægningen af ​​planet i illustrationen ovenfor.

Tetraeder- og Császár-polyederet er de eneste to polyedere (som har en grænsemanifold ) uden diagonaler, selvom der er andre polyedere, såsom Schoenhardt-polyederet , som ikke har nogen indvendige diagonaler (dvs. alle diagonalerne i et polyeder er uden for polyederet) , samt overflader uden diagonaler, der ikke er manifold [1] [2] . Hvis et polyeder med v hjørner er indlejret i en overflade med h huller på en sådan måde, at ethvert par knudepunkter er forbundet med en kant, indebærer Euler-karakteristikken , at

Denne lighed gælder for et tetraeder med h = 0 og v = 4, og for et Chasar-polyeder med h = 1 og v = 7. Den næste mulige løsning, h = 6 og v = 12, kunne svare til et polyeder med 44 flader og 66 kanter, men det kan ikke implementeres. Det vides ikke, om polyedre med større slægt eksisterer [3] . Generelt kan denne lighed kun opfyldes, når v er lig med 0, 3, 4 eller 7 modulo 12 [4] .

Csasar-polyederet er opkaldt efter den ungarske topolog Akos Csasarsom opdagede polyederet i 1949. Silashi polytop, dobbelt til Chasar polytop , blev fundet i 1977 af Lajos Silashi.. Den har 14 hjørner, 21 kanter og syv sekskantede flader, hvor hver anden flader deler en kant. Ligesom Chasar-polytopen har Silashi-polytopen topologien som en torus.

Noter

1. ↑ Szabó, 1984 .
2. ↑ Szabó, 2009 .
3. ↑ Ziegler, 2008 .
4. ↑ Lutz, 2001 .

Litteratur

• A. Csaszar. Et polyeder uden diagonaler // Acta Sci. Matematik. Szeged. - 1949. - T. 13 . - S. 140-142.
• Martin Gardner. Tidsrejser og andre matematiske forvirringer . - W. H. Freeman and Company, 1988. - S.  139-152 . — ISBN 0-7167-1924-X .
  • Martin Gardner. Kapitel 11 "Chasar Polyhedron" // Tidsrejse. - Moskva: "Mir", 1990. - S. 165-178. — ISBN 5-03-001166-8 .
• Martin Gardner. Fractal Music, Hypercards og mere: Matematiske genskabelser fra Scientific American . - W. H. Freeman and Company, 1992. - S.  118-120 . — ISBN 0-7167-2188-0 .
• Frank H. Lutz. Császárs Torus  // Elektroniske geometrimodeller. – 2001.
• Sandor Szabo. Polyeder uden diagonaler // Periodica Mathematica Hungarica. - 1984. - T. 15 , no. 1 . - S. 41-49 . - doi : 10.1007/BF02109370 .
• Sandor Szabo. Polyeder uden diagonaler II // Periodica Mathematica Hungarica. - 2009. - T. 58 , no. 2 . - S. 181-187 . - doi : 10.1007/s10998-009-10181-x .
• Günter M. Ziegler. Diskret differentialgeometri / AI Bobenko, P. Schröder, JM Sullivan, GM Ziegler. - Springer-Verlag, 2008. - T. 38. - S. 191-213. — (Oberwolfach Seminarer). - ISBN 978-3-7643-8620-7 . - doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 .

Links

• Weisstein, Eric W. Csaszar Polyhedron  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .